全国统考2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第1讲三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系与诱导公式1备考试题（含解析）

第四章　三角函数、解三角形

第一讲　三角函数的基本概念、同角

三角函数的基本关系与诱导公式

练好题·考点自测 

1.已知下列命题:

①第二象限角大于第一象限角;

②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;

③若sin α=sin β,则α与β的终边相同;

④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.

其中正确的个数是 (　　)

A.1 B.2  C.3  D.4

2.sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)

A.小于0 B.大于0 

C.等于0 D.不存在

3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α-cos α= (　　)

A. B.

C. D.

4.[2019全国卷Ⅰ,7,5分][文]tan 255°= (　　)

A.-2- B.-2+

C.2- D.2+

5.[2020全国卷Ⅱ,2,5分]若α为第四象限角,则 (　　)

A.cos 2α>0 B.cos 2α<0

C.sin 2α>0 D.sin 2α<0

6.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则= (　　)

A.- B. 

C. D.-

7.[2019北京,8,5分][文]如图4-1-1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为              (　　)

A.4β+4cos β 　　B.4β+4sin β

C.2β+2cos β 　　D.2β+2sin β

图4-1-1

8.[2018全国卷Ⅰ,11,5分][文]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=              (　　)

A. B. 

C. D.1

拓展变式

1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形,现有如图4-1-3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短,则方案　　　　更优. 

图4-1-3

2.(1)[2021洛阳市联考]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线y=3x重合,且sin α<0,P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=(O为坐标原点),则m-n等于              (　　)

A.2 B.-2 C.4 D.-4

(2)[2017北京,9,5分][文]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=　　　　. 

3.(1)[2020全国卷Ⅰ,9,5分]已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= (　　)

A. B. C. D.

(2)[2017全国卷Ⅲ,4,5分][文]已知sin α-cos α=,则sin 2α= (　　)

A.- B.- C. D.

4.(1)[2017全国卷Ⅲ,6,5分][文]函数f(x)=sin(x+)+cos(x)的最大值为 (　　)

A. B.1 C. D.

(2)设f(α)=(1+2sin α≠0),则f()=　　　　. 

5.已知tan α=2,则cos(π+2α)= (　　)　　

A. B. C.- D.-

答  案

第四章　三角函数、解三角形

第一讲　三角函数的基本概念、同角

三角函数的基本关系与诱导公式

1.A　举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;易知②正确;由于sin =sin ,但与的终边不相同,故③错;当θ=π时,cos θ=-1,此时θ既不是第二象限角,也不是第三象限角,故④错.综上可知只有②正确,故选A.

2.A　因为<2<3<π<4<,所以2 rad和3 rad的角是第二象限角,4 rad的角是第三象限角,所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,所以sin 2·cos 3·tan 4<0.

3.D　由点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,可得sin α-cos α=sin 300°-cos 300°=.

4.D　由正切函数的周期性可知,tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(30°+45°)==2+,故选D.

5.D　∵α为第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,∴sin 2α=2sin αcos α<0.故选D.

6.A　解法一　sin α+cos α=,两边同时平方得1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=<0,又α∈(0,π),所以sin α>0,则cos α<0,所以sin α-cos α>0.因为(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,所以sin α-cos α=.所以=,故选A.

解法二　因为sin α+cos α=,所以sin(α+)=,sin(α+)=,又α∈(0,π),故α+∈(,π),则cos(α+)==.所以tan(α+)==,所以=.

7.B　如图D 4-1-1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一点C,则阴影区域面积为△ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当△ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧APB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时△ABP面积最大,阴影区域面积也最大.下面计算当点P为优弧APB的中点时阴影区域的面积.

因为∠APB为锐角,且∠APB=β,所以∠AOB=2β,∠AOP=∠BOP=180°-β,则阴影区域的面积S=S△AOP+S△BOP+S扇形OAB=2××2×2sin(180°-β)+×22×2β=4β+4sin β,故选B.

图D 4-1-1

8.B　由题意知,即b=2a.因为cos 2α=2cos2α-1=,所以cos2α=,即()2=,所以a2=,则|a-b|=|-a|=|a|=.

1.一　由已知可知A=B=,AM=BN=1,AD=2,则方案一中扇形的弧长为2×,方案二中扇形的弧长为1×;方案一中扇形的面积为×22×,方案二中扇形的面积为×12×.由此可见:两种方案中利用废料面积相等,方案一中切割时间更短.因此方案一更优.

2.(1)A　因为P(m,n)在直线y=3x上,所以n=3m　①,又sin α<0,所以m<0,n<0.由|OP|=,得m2+n2=10　②.联立①②,并结合m<0,n<0,可得m=-1,n=-3,所以m-n=2.

(2)　解法一　设角α的终边经过点(x,y),则sin α=,因为角α,角β的终边关于y轴对称,所以角β的终边经过点(-x,y),则sin β==sin α=.

解法二　由已知可得,sin β=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sin α=(k∈Z).

3.(1)A　∵3cos 2α-8cos α=5,∴3(2cos2α-1)-8cos α=5,∴3cos2α-4cos α-4=0,解得cos α=2(舍去)或cos α=.∵α∈(0,π),∴sin α=.故选A.

(2)A　将sin α-cos α=的两边同时平方,得sin2α-2sin αcos α+cos2α=,即sin 2α=,故选A.

4.(1)A　因为cos(x)=cos[(x+)]=sin(x+),所以f(x)=sin(x+),于是f(x)的最大值为,故选A.

(2)　因为f(α)=,所以f()=.

5.D　由诱导公式可得,cos(+2α)=cos[2π+(+2α)]=cos(+2α)=-sin 2α==.故选D.