安徽省合肥市2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份安徽省合肥市2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省合肥市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．要使二次根式有意义，则x的值可以为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．下列等式成立的是（　　）
A．3+4＝7 B．＝ C．÷＝2 D．＝3
4．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
5．估计﹣1的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　）

A．5 B．7 C． D．
8．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l，从P出发向北走6km也到达l，下列说法错误的是（　　）

A．公路l的走向是南偏西45°
B．从点P向北偏西45°走3km到达l
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达
9．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？
译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2
C．x2＝42+（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2+22
10．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
二、选择题（每小题3分，共15分）
11．2　 　3．（填：“＞”、“＜”或“＝”）
12．一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为　 　．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为　 　．
14．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝　 　．
15．等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝45°，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90°，则点B到CD的距离为　 　．
三、解答题（共55分）
16．计算：×﹣4××（1﹣）0．
17．解方程：x2﹣x﹣3＝0．
18．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边是有理数，另外两边长是无理数．

19．已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x1，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．
20．如图，将AB＝5cm，AD＝4cm的长方形ABCD，沿过顶点A的直线AP为折痕折叠，使顶点B落在边CD上的点q处．
（1）求DQ的长；
（2）求AP：PB．

21．合肥市今年1月份新房销售量约为6000套，3月份销售量约为5400套．
（1）如果2、3两个月平均下降率相同，求每月平均下降的百分率是多少？（参考数据：≈0.95）
（2）如果销售继续回落，按此下降百分率，你预测5月份是否会跌破4500套？请说明理由．
22．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿边BC向点C以1cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动时间为ts．
（1）当t＝1时，△PBQ的周长＝　 　cm．
（2）当t为多少时，△PBQ的面积等于4cm2？请说明理由．
（3）当t＝　 　s时，PQ的长度最小，最小值为　 　cm？



参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A、是最简二次根式；
B、＝＝2，不是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：A．
2．要使二次根式有意义，则x的值可以为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，再解即可．
解：由题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故选：D．
3．下列等式成立的是（　　）
A．3+4＝7 B．＝ C．÷＝2 D．＝3
【分析】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．
解：A．3与4不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．×＝，此选项计算错误；
C．÷＝×＝3，此选项计算错误；
D．＝3，此选项计算正确；
故选：D．
4．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
5．估计﹣1的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【分析】正确估算出6＜＜7，据此即可求解．
解：∵6＜＜7，
∴5＜﹣1＜6，
故选：C．
6．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　）

A．5 B．7 C． D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵×AC×BC＝×CD×AB，
∴×3×4＝×5×CD，
解得CD＝．
故选：C．
8．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l，从P出发向北走6km也到达l，下列说法错误的是（　　）

A．公路l的走向是南偏西45°
B．从点P向北偏西45°走3km到达l
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达
【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解．
解：如图，
由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB＝＝6km，∠BAP＝45°，
过P点作AB的垂线PC，
则AC＝BC，
∴PC＝3km，
则从点P向北偏西45°走3km到达l，故B符合题意；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项A，C不符合题意；
则从点P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为△PAB的中位线，故CD＝AP＝3，故再向西走3km到达l，故D不符合题意；
故选：B．

9．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？
译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2
C．x2＝42+（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2+22
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
解：根据勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，
故选：A．
10．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断△＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，
∵△＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
二、选择题（每小题3分，共15分）
11．2　＞　3．（填：“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】根据2＝，3＝，应用实数大小比较的方法，判断出28、27的大小关系，即可判断出2、3的大小关系．
解：2＝，3＝，
∵28＞27，
∴＞，
∴2＞3．
故答案为：＞．
12．一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为　x1＝2，x2＝　．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
解：4x（x﹣2）＝x﹣2
4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0
（x﹣2）（4x﹣1）＝0
x﹣2＝0或4x﹣1＝0
解得x1＝2，x2＝．
故答案为：x1＝2，x2＝．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为　x＝﹣2　．
【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．
解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，
∴x1•x2＝＝﹣2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为x＝﹣2÷1＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
14．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝　　．
【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
解：12⊕4＝＝．
故答案为：．
15．等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝45°，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90°，则点B到CD的距离为　3或6﹣3　．
【分析】根据题意画出图形，分两种情况根据等腰直角三角形的性质即可求得点B到CD的距离．
解：本题有两种情况：
如图1，过点A作AE⊥CD于点E，
∵△ACD等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD，
∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离，
∴AE＝AC•sin45°＝6×＝3，
∴点B到CD的距离为：3．

如图2，AB、CD交于点E，
∵△ACD等腰直角三角形，
∴∠ACD＝∠BAC＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝AC•sin45°＝6×＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣3．
∴点B到CD的距离为6﹣3
综上所述：点B到CD的距离为3或6﹣3．
故答案为：3或6﹣3．

三、解答题（共55分）
16．计算：×﹣4××（1﹣）0．
【分析】首先利用二次根式的乘法法则和零指数幂的性质计算，然后再化简二次根式，最后再合并同类二次根式即可．
解：原式＝
＝﹣
＝．
17．解方程：x2﹣x﹣3＝0．
【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
解：x2﹣x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴x＝，
则x1＝，x2＝．
18．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边是有理数，另外两边长是无理数．

【分析】（1）画边长分别为3，4，5的直角三角形即可．
（2）画边长为2，2，4的直角三角形即可．
解：（1）如图①中，△ABC即为所求作．
（2）如图②中，△DEF即为所求作．

19．已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x1，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值，再利用非负数的性质判断△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，则由x1+x2+2x1x2＝3得到﹣（m+2）+2m＝3，然后解关于m的方程即可．
【解答】（1）证明：∵△＝（m+2）2﹣4m
＝m2+4m+4﹣4m
＝m2+4＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，
∵x1+x2+2x1x2＝3，
∴﹣（m+2）+2m＝3，解得m＝5，
即m的值为5．
20．如图，将AB＝5cm，AD＝4cm的长方形ABCD，沿过顶点A的直线AP为折痕折叠，使顶点B落在边CD上的点q处．
（1）求DQ的长；
（2）求AP：PB．

【分析】（1）由折叠的性质可知△ABP≌AQP，根据全等三角形的性质可知AB＝AQ＝5，利用勾股定理即可求出线段DQ的长度；
（2）由（1）可知DQ＝6，所以CQ＝DC﹣DQ＝4，设PQ＝x，则PB＝PQ＝x，所以CP＝BC﹣BP＝8﹣x，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据翻性质得PB的长度，计算比值即可．
解：（1）由折叠的性质可知△ABP≌AQP，
∴AB＝AQ＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵AD＝4cm，
∴DQ＝＝3cm，
∴线段DQ的长度是3cm；
（2）由（1）可知DQ＝3，
∴CQ＝DC﹣DQ＝2，
设PQ＝x，则PB＝PQ＝x，
∴CP＝BC﹣BP＝4﹣x，
∴x2＝22+（4﹣x）2，
解得：x＝2.5，
∴线段PQ的长度是2.5．
∴PB＝2.5，
∴＝，
∴AP：PB＝．
21．合肥市今年1月份新房销售量约为6000套，3月份销售量约为5400套．
（1）如果2、3两个月平均下降率相同，求每月平均下降的百分率是多少？（参考数据：≈0.95）
（2）如果销售继续回落，按此下降百分率，你预测5月份是否会跌破4500套？请说明理由．
【分析】（1）根据今年1月份及3月份的住房销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
解：（1）设该公司这两个月住房销售量的平均下降率为x，
依题意，得：6000（1﹣x）2＝5400，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.05（不合题意，舍去）．
答：每月平均下降的百分率是5%；

（2）如果按此降低的百分率继续回落，估计5月份的商品房成交均价为：
5400（1﹣x）2＝5400×0.952＝4873.5＞4500
由此可知5月份该市的商品房成交均价不会跌破4500元/m2．
22．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿边BC向点C以1cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动时间为ts．
（1）当t＝1时，△PBQ的周长＝　+6　cm．
（2）当t为多少时，△PBQ的面积等于4cm2？请说明理由．
（3）当t＝　3　s时，PQ的长度最小，最小值为　3　cm？

【分析】（1）分别求出t＝1时，PB、BQ的值，关键勾股定理求出PQ，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形的面积公式列出方程，利用因式分解法解出方程即可；
（3）利用勾股定理用t表示出PQ，利用配方法和偶次方的非负性解答即可．
解：（1）当t＝1时，AP＝1cm，BQ＝1cm，则PB＝AB﹣AP＝5（cm），
由勾股定理得，PQ＝＝＝（cm），
则△PBQ的周长＝（+6）（cm），
故答案为：+6；
（2）当t为2或4时，△PBQ的面积等于4cm2，
理由如下：设运动时间为ts时，△PBQ的面积等于4cm2，
由题意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，则PB＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，
则×（6﹣t）×t＝4，
整理得，t2﹣6t+8＝0，
解得，t1＝2，t2＝4，
答：当t为2或4时，△PBQ的面积等于4cm2，
（3）由勾股定理得，PQ＝＝＝＝，
∴当t＝3时，PQ的最小值为＝3（cm），
故答案为：3；3．