专题2.13 交点零点有没有，极最符号异与否-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

导数研究函数图象交点及零点问题 

利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：

①构造函数；

②求导；

③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；

④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；

⑤解不等式得解.

探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

【典例指引】

例1．已知函数，．

（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；

（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．

例2．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数)

（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）

例3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数的零点个数．

例4．已知函数，．

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．

【新题展示】

1．【2019黑龙江大庆二模】已知函数.

（Ⅰ）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；

（Ⅱ）讨论函数零点的个数，并说明理由.

2．【2019北京房山区上学期期末】已知函数

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；[来源:学_科_网Z_X_X_K]

（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

3．【2019浙江名校新高考研究联盟联考】设，已知函数，．

Ⅰ若恒成立，求的范围

Ⅱ证明：存在实数，使得有唯一零点．

4．【2019甘肃、青海、宁夏上学期期末】已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；[来源:Zxxk.Com]

（2）当时，讨论函数的零点个数.

5．【2019安徽芜湖上学期期末】已知函数，.

（1）求的极值点；

（2）若函数在区间内无零点，求的取值范围.

6．【2019山东济南上学期期末】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【同步训练】

1．已知函数．

（Ⅰ）若在处取极值，求在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若有唯一的零点，求证：

2．已知函数 ．

（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．

3．已知函数

(I)若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值；

(Ⅱ)若函数不存在零点，求实数a的取值范围；

4．已知函数，其中是自然数的底数， ．

（Ⅰ）求实数的单调区间．

（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由．

5．已知函数， ．[来源:学&科&网]

（Ⅰ）求曲线在处的切线方程．

（Ⅱ）求的单调区间．

（Ⅲ）设，其中，证明：函数仅有一个零点．

6．设函数

（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；

（Ⅱ）若函数存在唯一零点，求的取值范围．

7．已知函数．

（1）若，求函数的极值；[来源:学|科|网Z|X|X|K]

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．

8．已知， ．

（1）求函数的增区间；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由；

（3）设正实数，满足当时，求证：对任意的两个正实数，总有

．

(参考求导公式： )

9．已知函数，．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）令，讨论函数的零点的个数；

（3）若，正实数满足，证明

10．已知函数（）．

（1）判断函数在区间上零点的个数；

（2）当时，若在（）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

[来源:Zxxk.Com]

11．已知函数．

（1）求在处的切线方程；

（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数．[来源:学+科+网Z+X+X+K]

12．已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数．

13．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围．

14．已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数．

15．已知函数．[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:Z.xx.k.Com]

（1）求函数的极值；[来源:学_科_网]

（2）若，试讨论关于的方程的解的个数，并说明理由．[来源:学,科,网]