2022版新教材高考数学一轮复习15导数的概念几何意义及其运算训练含解析新人教B版
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这是一份2022版新教材高考数学一轮复习15导数的概念几何意义及其运算训练含解析新人教B版,共7页。试卷主要包含了已知函数f=x3+x-16.等内容,欢迎下载使用。
十五 导数的概念、几何意义及其运算(建议用时:45分钟)A组 全考点巩固练1.曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为( )A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0C 解析:因为y′=ex-,所以y′|x=1=e-1.故曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0.2.(2021·本溪模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+ln x(其中e为自然对数的底数),则f′(e)=( )A.1 B.-1C.-e D.-e-1D 解析:由已知得f′(x)=2f′(e)+,令x=e,可得f′(e)=2f′(e)+,则f′(e)=-.故选D.3.若f(x)=a-2+asin 2x为奇函数,则曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为( )A.-2 B.-4 C.2 D.4D 解析:因为f(x)是奇函数,所以a-2=0,a=2.所以f(x)=2sin 2x,f′(x)=4cos 2x.所以f′(0)=4.所以曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为4.4.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图像如图所示,那么y=f(x),y=g(x)的图像可能是( )D 解析:由y=f′(x)的图像知,y=f′(x)在(0,+∞)上是单调递减的,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也是单调递减的,故可排除A,C;又由图像知y=f′(x)与y=g′(x)的图像在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图像在x=x0处的切线的斜率相等,故可排除B.故选D.5.(多选题)(2020·青岛三模)已知曲线f(x)=x3-x2+ax-1上存在两条斜率为3的不同切线,且切点的横坐标都大于0,则实数a可能的取值为( )A. B.3 C. D.AC 解析:f′(x)=2x2-2x+a.因为曲线y=f(x)上存在两条斜率为3的不同切线,所以f′(x)=3有两个不同的根,即2x2-2x+a-3=0有两个不同的根.所以Δ=(-2)2-4×2×(a-3)>0.①设两切点的横坐标分别为x1,x2.因为切点的横坐标都大于0,所以x1>0,x2>0,所以联立①②,解得3<a<.故选AC.6.(2019·天津卷)曲线y=cos x-在点(0,1)处的切线方程为________.x+2y-2=0 解析:因为y′=-sin x-,所以y′|x=0=-sin 0-=-,故所求的切线方程为y-1=-x,即x+2y-2=0.7.(2020·全国卷Ⅰ)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为________.y=2x 解析:设该切线的切点坐标为(x0,y0).由y=ln x+x+1得y′=+1,则在该切点处的切线斜率k=+1,即+1=2,解得x0=1.所以y0=ln 1+1+1=2,即切点坐标为(1,2).所以该切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.8.已知函数f(x)=x3-x2+x,则曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程为________.y=x或y=x- 解析:由f(x)=x3-x2+x得f′(x)=x2-2x+1.令f′(x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=.又f(0)=0,f=,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x或y-=x-,即y=x或y=x-.9.已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线方程.解:(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x+1.所以直线l的方程为y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16.又因为直线l过点(0,0),所以0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16,整理,得x=-8.所以x0=-2.所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f′(-2)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x+1=4,所以x0=±1.所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).所以,切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.B组 新高考培优练10.(多选题)若函数f(x)=ln x与g(x)=x2+ax的图像有一条与直线y=x平行的公共切线,则实数a的值可能为( )A.1 B.2 C.3 D.-1CD 解析:设函数f(x)=ln x图像上的切点为(x,y).根据导数的几何意义得k==1,所以x=1.故切点为(1,0),切线方程为y=x-1.而直线y=x-1和g(x)=x2+ax的图像也相切,令x2+ax=x-1,化简得到x2+(a-1)x+1=0,需满足Δ=(a-1)2-4=0,解得a=-1或a=3.11.(2020·广州综合测试一)已知函数f(x)=x3+mx2-4x+2.当x0≠时,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))和点(1-x0,f(1-x0))处的切线总是平行的,则曲线y=f(x)在点(2m+2,f(2m+2))处的切线方程为( )A.4x-2y+11=0 B.y=-3C.4x+2y-11=0 D.y=-A 解析:f′(x)=3x2+2mx-4,由题意得f′(x0)=f′(1-x0)且x0≠恒成立,化简得(1-2x0)(3+2m)=0,所以m=-.而2m+2=-1,所以f(-1)=,f′(-1)=2,所以切线方程为4x-2y+11=0.12.(2020·济南一模)已知直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1<x2,则2x1+x2=( )A.-1 B.0 C.1 D.aB 解析:由题意知,要使直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点,则直线与曲线相切于点A(x1,y1),如图所示.由y=x3,得y′=3x2,则切线方程为y-x=3x(x-x1),即y=3xx-2x.又点B(x2,y2)也在切线上,所以x=3xx2-2x,即x=3xx2-3x+x,即x-x=3xx2-3x,整理得(x1-x2)2(2x1+x2)=0.因为x1<x2,所以2x1+x2=0.故选B.13.已知曲线y=x3-2x2+2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ny-1=0(其中m>0,n>0)上,则+的最小值为________.6+4 解析:设A(s,t),y=x3-2x2+2的导数为y′=3x2-4x,可得切线的斜率为3s2-4s.由切线方程为y=4x-6,可得3s2-4s=4,t=4s-6,解得s=2,t=2或s=-,t=-.由点A在直线mx+ny-1=0(其中m>0,n>0)上,得2m+2n=1,则+=(2m+2n)·=2≥2=6+4,当且仅当n=m时,得最小值为6+4.14.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是________________.①②③ 解析:-表示区间端点连线斜率的相反数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,①正确;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,②正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,③正确;甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,④错误.15.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.(1)求a的值.(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)由已知得f′(x)=3ax2+6x-6a.因为f′(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.由已知得,直线m恒过定点(0,9).若直线m是曲线y=g(x)的切线,则可设切点坐标为(x0,3x+6x0+12).因为g′(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0).将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11.①由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18;在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9.所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由f′(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10.所以y=12x+9不是y=f(x)与y=g(x)的公切线.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.