甘肃省白银市靖远县2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（word版 含答案）

这是一份甘肃省白银市靖远县2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（word版 含答案），共15页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（ ）
A． B．
C． D．
4．用1、2、3、4这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个
A．48B．24C．12D．6
5．的展开式中的的系数是（ ）
A．14B．C．16D．
6．若复数，|z|＝（ ）
A．B．C．1D．2
7．如图，中的阴影部分是由曲线与直线所围成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．
C．D．
8．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
9．个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
10．已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A．3B．4C．6D．7
11．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则（ ）
A．B．C．D．以上三种情况都有可能
12．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共4小题，每小题5分）
13．＝________.
14．将名学生分配到个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有__________种．（用数字填写答案）
15．西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．
16．已知一个母线长米的圆锥形容器，则当该容器的容积最大时，其高为___________米.
三．解答题（共6小题，17题10分，其余各题12分）
17．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，求：
（1）2人都未解决的概率；
（2）问题得到解决的概率.
18．设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
19．新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，湖北除武汉以外的地市，医疗资源和患者需求之间也存在矛盾.国家卫健委宣布建立16个省支援武汉以外地市的一一对口支援关系，以“一省包一市”的方式，全力支持湖北省加强对患者的救治工作.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴湖北新冠肺炎防治一线.
（1）设所选3人中女医生人数为，求的分布列及期望；
（2）设“男医生甲被选中”为事件，“女医生乙被选中”为事件，求和.
20．已知函数(为实数).
（1）若，求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
21．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
（1）求物理原始成绩在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
（附：若随机变量，则，，）
22．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）判断函数的单调性；
（2）当时，求证： ．
参考答案
1．D
【分析】
根据独立事件概率公式计算即可．
【详解】
设A＝“第一次摸出的是白球”，B＝“第二次摸出的是白球”，则P(AB)＝×＝．
故选：D
2．D
【分析】
由复数运算法则及虚部概念得解.
【详解】
因为，
所以的虚部为.
故选: D.
3．D
【分析】
根据与的变化趋势结合导数的几何意义判断即可；
【详解】
解：不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；
当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；
从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．
由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．
故选：D．
4．C
【分析】
第一步，先把2、4挑一个排在个位， 第二步，再把剩余三个数排在其他三个位置，从而可得结果.
【详解】
第一步，先把2、4挑一个排在个位，有2种方法；
第二步，再把剩余三个数排在其他三个位置，有种方法，
所以，用1、2、3、4这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有个，
故选C.
【点睛】
本题主要考查分步计数乘法原理以及简单的排列问题，属于基础题.
5．A
【分析】
只要求出中和前的系数即可求出答案.
【详解】
，
所以其展开式中含项的系数为.
故选：A.
6．C
【分析】
利用复数的除法和乘方求解.
【详解】
复数，
，
，
故选：C
7．D
【详解】
试题分析：阴影部分面积为，所求概率为选D.
考点：定积分，几何概型概率
【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.
2.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.
8．D
【详解】
则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】
判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
9．C
【分析】
先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，利用分步乘法计数原理可求得排法种数.
【详解】
先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
故选：C.
【点睛】
本题考查捆绑法与插空法的综合应用，同时也考查了分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.
10．D
【详解】
∵随机变量X服从二项分布B，∴E(X)＝4×＝2，则E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝7.故选D.
11．B
【分析】
分别计算和，再比较大小.
【详解】
方法一：每箱中的黑球被选中的概率为，所以至少摸出一个黑球的概率．
方法二：每箱中的黑球被选中的概率为，所以至少摸出一个黑球的概率．
，则．
故选：B.
【点睛】
概率计算的不同类型：
（1）古典概型、几何概型直接求概率；
（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率；
（3）利用对立事件求概率；
（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率.
12．C
【详解】
根据题意可构造函数，所以F(x)在R上单调递减，所以可以变形为，即解集为，选C.
【点睛】
本题关键在于构造函数一般>(或<)0，我们常构造函数若>(或<)0，我们常构造函数．
13．
【分析】
根据以及定积分的几何意义可得答案.
【详解】
，
因为表示的是圆在x轴及其上方的面积，
所以，
所以＝.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.
14．
【分析】
根据人数先进行分组，有3，1，1或2，2，1两种情况，求出每一种的情况数目，结合分步计数原理，即可求解，
【详解】
当一个社区3人其他社区各有1人时，方案有（种）；当一个社区1人其他社区各人时，方案有（种），故不同的分配方案共有种.
【点睛】
本题考查排列组合的应用，结合条件先分组，再分配，属基础题．
15．420
【分析】
根据题意，分别分析5个省的涂色方法的数目，进而由分步、分类计数原理，计算可得答案．
【详解】
对于新疆有5种涂色的方法，
对于青海有4种涂色方法，
对于西藏有3种涂色方法，
对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；
若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；
根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法．
故答案为420.
【点睛】
本题考查分类、分步计数原理，对于计数原理的应用，解题的关键是分清要完成的事情分成几部分及如何分类，注意做到不重不漏．
16．
【分析】
设圆锥的高为米，可得出底面圆的半径为，求出圆锥形容器的体积关于的表达式，利用导数可求得的最大值及其对应的的值.
【详解】
设圆锥形容器的高为米，半径为米，由勾股定理可得，，其中，
圆锥形容器的体积为，
则，令，由于，可得.
当时，；当时，.
所以，当时，圆锥形容器的体积取得最大值.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.
17．（1）；（2）
【分析】
（1）由两个独立事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率乘积，即可求出2人都未解决的概率；
（2）根据问题能得到解决的对立事件为两人都未解决问题，再根据对立事件概率和等于，即可求解.
【详解】
解：（1）由题意知：甲、乙两人都未能解决的概率为：；
（2）问题能得到解决，即至少有人能解决问题，
其对立事件为两人都未解决问题，
问题得到解决的概率为：.
18．（1）；（2）增区间，减区间.
【分析】
（1）先求出 再由求导公式和法则求出导数, 再求出切线的斜率的值, 求出切线方程；
（2 )由(1)求出 再令, 求得函数的单调递增区间，令, 求得函数的单调递减区间.
【详解】
（1）由题意得，则切点为，又，
则，则切线的斜率，故在点 处的切线方程为
（2）的定义域为，由（1）知,
令得, 即，则函数单调递增区间是 ，
令得, 即，则函数单调递减区间是 ，
故的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，利用导数求函数的单调性， 属于基础题.
19．（1）分布列见解析，（人）；（2），.
【分析】
（1）根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，再求出取每一个值的概率，可得的分布列。
（2）求出男医生甲被选中的概率、男医生甲、女医生乙都被选中的概率，即可得出结论.
【详解】
解：（1）的所有可能取值为0，1，2.
，
，
.
所以的分布列为：
的期望（人）.
（2），
,
.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量及其分布列,考查随机事件与条件概率,属于基础题.
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用导数直接求出函数的单调区间，即可求出的最小值
（2）若恒成立，则，即恒成立，令，利用导数研究函数单调性，进而得最值，可得实数a取值的范围即可
【详解】
（1）当时，，.
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则函数的最小值为.
（2）由题得，若恒成立，则，即恒成立.
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
故的取值范围为.
21．（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．
【分析】
（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．
【详解】
（Ⅰ）因为物理原始成绩，
所以
．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．
（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
所以 ，
，
，
．
所以的分布列为
所以数学期望．
【点睛】
（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．
22．（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）先求出分别讨论和 ．
（2）将不等式可化为．令函数利用导函数判断单调递增进而得出结论．
【详解】
（1）由题意，得函数的定义域为，且．
①若，则，函数在上单调递减；
②若，由，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增．
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）不等式可化为．
记函数，则，
设，由（1）知，函数在上单调递增．
所以当时，，
所以，函数在上单调递增，
所以，即．
【点睛】考察了利用导数判断函数单调性，分类讨论思想，构造函数，属于常规题型．0
1
2
0
1
2
3