2021年福建省福州市闽侯县六校中考数学联考试卷（3月份）

这是一份2021年福建省福州市闽侯县六校中考数学联考试卷（3月份），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年福建省福州市闽侯县六校中考数学联考试卷（3月份）
一、选择题（共10小题，每小题4分）
1．（4分）下列的四个数中，是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
2．（4分）下列图形一定是轴对称图形的是（　　）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰三角形 D．六边形
3．（4分）已知一个不透明的袋子中装有2个白球和1个黑球，对于“从中摸出一个球是白球”这个事件，下列说法正确的是（　　）
A．是随机事件 B．是不可能事件
C．是必然事件 D．是确定性事件
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．2a+3a2＝5a2 D．a7÷a4＝a3
5．（4分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．（4分）八年级一班的平均年龄是12.5岁，方差是40，过一年后该班学生到九年级时，下列说法正确的是（　　）
A．平均年龄不变 B．年龄的方差不变
C．年龄的众数不变 D．年龄的中位数不变
7．（4分）今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则下列等式成立的是（　　）
A．x+y＝y+x B．y+y＝x+x
C．x﹣y＝y﹣x D．y﹣y＝x﹣x
8．（4分）如图，⊙O中，＝，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D，若∠ABC＝46°，则∠ADC的度数是（　　）

A．74° B．67° C．66° D．60°
9．（4分）若不等式ax+b＞0的解集是x＜2，则下列各点可能在一次函数y＝ax+b图象上的是（　　）
A．（4，1） B．（1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4）
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是BC边上一点，作点B关于AE的对称点F，P为CF中点，则DP的最小值为（　　）

A．4﹣4 B． C．2﹣2 D．2﹣2
二、填空题（共6小题，每小题4分）
11．（4分）计算：+（﹣2）0＝　 　．
12．（4分）不等式组的解集是　 　．
13．（4分）一个凸多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是　 　边形．
14．（4分）如图，已知数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣4，﹣3，﹣，0.5，从A，B，C，D四点中任意取两点，则所取两点之间的距离大于2的概率是　 　．

15．（4分）如图，已知扇形AOB，C为OA中点，点D在上，将沿直线CD折叠，点A恰好落在点O，若∠AOB＝120°，OA＝2，则图象中阴影部分的面积是　 　．

16．（4分）已知过原点O的直线与双曲线y＝在一三象限分别交于A，B两点，点C在x轴上，且∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，则△ABC的面积为　 　．

三、解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）解方程组：．
18．（8分）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且BE＝CF，AB∥DE，AB＝DE．求证：AC＝DF．

19．（8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝．
20．（8分）如图，已知△ABC，求作ABC的角平分线AD，及作AD的垂直平分线分别交AD，BC的延长线于E，F两点；并证明FD2＝FB•FC．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

21．（8分）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，点D的对应点是点E，连接BE．将AC平移得到DF．
（点A与点D对应），连接AF．
（1）若AB＝3，BD＝2，求BE的长；
（2）判断BE，AF的数量关系和位置关系，并证明．

22．（10分）某水果店购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（单位：元/千克）与时间（单位：天）之间的关系如图所示的直线上，销售量Q（单位：千克）与时间（天）的函数解析式为：Q＝﹣2x+120．
（1）求P关于x的函数解析式；
（2）求该水果店销售利润最大时的x的值；
（3）为响应政府“精准扶贫”的号召，该店决定每销售1千克水果就捐赠n（n为正整数）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，求捐赠额n的值．

23．（10分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种：
方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次（多次抽奖，取最优惠奖项）．具体规则是依次从装有2个红球、1个白球的甲箱，装有1个红球，2个白球的乙箱，以及装有1个红球、1个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
（1）某顾客选择方案二、抽奖一次，利用列举法求这一次抽奖获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为360元，用所学统计与概率知识比较哪一种方案更划算？
24．（12分）已知AB是⊙O的直径，DA、DC分别切⊙O于点A、C，射线DO分别交⊙O于点E，F，CF，BE交于点G
（1）求证：∠CGE＝2∠F；
（2）若DE＝4，EF＝12，求CG的长．

25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx．
（1）求抛物线顶点Q的坐标；（用含b的代数式表示）
（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A，B，与x轴交于点K．
①判断△AOB的形状，并说明理由；
②已知E（﹣2，0），F（0，4），设△AOB的外心为M，当点K在线段EF上时，求点M的纵坐标m的取值范围．

2021年福建省福州市闽侯县六校中考数学联考试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分）
1．（4分）下列的四个数中，是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
【分析】根据有理数的定义选出即可．
【解答】解：π，，是无理数，＝2是有理数．
故选：C．
2．（4分）下列图形一定是轴对称图形的是（　　）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰三角形 D．六边形
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、直角三角形，不一定是轴对称图形；
B、平行四边形，不一定是轴对称图形；
C、等腰三角形，一定是轴对称图形；
D、六边形，不一定是轴对称图形；
故选：C．
3．（4分）已知一个不透明的袋子中装有2个白球和1个黑球，对于“从中摸出一个球是白球”这个事件，下列说法正确的是（　　）
A．是随机事件 B．是不可能事件
C．是必然事件 D．是确定性事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：一个不透明的袋子中装有2个白球和1个黑球，对于“从中摸出一个球是白球”这个事件是随机事件，
故选：A．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．2a+3a2＝5a2 D．a7÷a4＝a3
【分析】直接利用整式的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、（a2）3＝a6，故此选项错误；
C、2a+3a2，无法计算，故此选项错误；
D、a7÷a4＝a3，故此选项正确．
故选：D．
5．（4分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．
【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．
所以图中的小正方体最多5块．
故选：C．
6．（4分）八年级一班的平均年龄是12.5岁，方差是40，过一年后该班学生到九年级时，下列说法正确的是（　　）
A．平均年龄不变 B．年龄的方差不变
C．年龄的众数不变 D．年龄的中位数不变
【分析】根据题意求出一年后该班学生的平均年龄和方差，根结合选项得到答案．
【解答】解：过一年后该班学生到九年级时，平均年龄是13.5岁，方差是40，
故选：B．
7．（4分）今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则下列等式成立的是（　　）
A．x+y＝y+x B．y+y＝x+x
C．x﹣y＝y﹣x D．y﹣y＝x﹣x
【分析】根据甲的钱数+×乙的钱数＝50＝×甲的钱数+乙的钱数可得答案．
【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
根据题意，得：x+y＝50，x+y＝50，
∴x+y＝y+x，
故选：A．
8．（4分）如图，⊙O中，＝，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D，若∠ABC＝46°，则∠ADC的度数是（　　）

A．74° B．67° C．66° D．60°
【分析】连接OA，由圆周角定理求出∠OCB＝∠OBC＝23°，由切线的性质求出∠OCD＝90°，由平行线的性质可求出答案．
【解答】解：连接OA，

∵＝，
∴∠BOC＝∠AOB，
∵OB＝OC，OB＝OA，
∴∠BCO＝∠OBC，∠OAC＝∠OBA，
∴∠OBA＝∠CBO，
∵∠ABC＝46°，
∴∠OCB＝∠OBC＝23°，
∵CD是圆的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠BCD＝∠BCO+∠OCD＝113°，
∵CB∥AD，
∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣113°＝67°．
故选：B．
9．（4分）若不等式ax+b＞0的解集是x＜2，则下列各点可能在一次函数y＝ax+b图象上的是（　　）
A．（4，1） B．（1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4）
【分析】首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果．
【解答】解：根据不等式ax+b＞0的解集是x＜2可得一次函数y＝ax+b的图象大致为：

∴可能在一次函数图象上的是（1，4）．
故选：B．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是BC边上一点，作点B关于AE的对称点F，P为CF中点，则DP的最小值为（　　）

A．4﹣4 B． C．2﹣2 D．2﹣2
【分析】根据勾股定理和三角形中位线，可以得到OP的长和OD的长，然后再根据图形可知当点P在线段OD上时，DP取得最小值，然后计算即可．
【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接AF，OP，
∵四边形ABCD是矩形，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，
∴点O为AC的中点，BD＝＝4，
又∵点P是CF的中点，
∴OP是△CAF的中位线，
∵点B关于AE的对称点F，AB＝4，
∴AF＝4，
∴OP＝2，
∵BD＝4，
∴OD＝2，
∵OP+DP＞OD，OP＝2，OD＝2，
∴当点P在OD上时，DP取得最小值，此时DP＝OD﹣OP＝2﹣2，
故选：D．

二、填空题（共6小题，每小题4分）
11．（4分）计算：+（﹣2）0＝　4　．
【分析】根据根式的性质与零指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝3+1＝4，
故答案为：4
12．（4分）不等式组的解集是　x＞9　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x＞3，得：x＞9，
解不等式x﹣3＜2x+1，得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为x＞9，
故答案为：x＞9．
13．（4分）一个凸多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是　6　边形．
【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和是它的外角和的2倍，则多边形的内角和是720度，根据多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解答】解：设多边形边数为n．
则360°×2＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6．
故答案为：6．
14．（4分）如图，已知数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣4，﹣3，﹣，0.5，从A，B，C，D四点中任意取两点，则所取两点之间的距离大于2的概率是　　．

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到所取两点之间的距离大于2的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下，

﹣4
﹣3
﹣
0.5
﹣4

1
4﹣
4.5
﹣3
1

3﹣
3.5
﹣
4﹣
3﹣

+0.5
0.5
4.5
3.5
+0.5

由表可知，共有12种等可能结果，其中所取两点之间的距离大于2的有8种结果，
∴所取两点之间的距离大于2的概率为＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，已知扇形AOB，C为OA中点，点D在上，将沿直线CD折叠，点A恰好落在点O，若∠AOB＝120°，OA＝2，则图象中阴影部分的面积是　　．

【分析】连接DA，根据中点的性质得到DA＝DO，证明△AOD为等边三角形，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接DA，
由题意得，CD是线段OA的垂直平分线，
∴DA＝DO，
∵OA＝DO，
∴OA＝DA＝DO，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形OAD＝S扇形BOD，
∴图像中阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣（S扇形OAD﹣S△AOD）
＝S△AOD
＝×2×2×sin60°
＝，
故答案为：．

16．（4分）已知过原点O的直线与双曲线y＝在一三象限分别交于A，B两点，点C在x轴上，且∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，则△ABC的面积为　5　．

【分析】设点A为（，a），想办法构建方程即可解决问题．
【解答】解：由题意可知OA＝OB，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∵点C为x轴上一点，∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵∠OCB+∠ACD＝∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠ABC，
设点A为（，a），则OD＝，AD＝a，
∵tan∠ABC＝，
∴tan∠CAD＝＝，
∴CD＝，
∴OA＝OC＝+a，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴（+a）2＝（）2+a2，
解得，a＝2或﹣2（舍弃），
∴OC＝，AD＝2
∴S△ABC＝2S△AOC＝2×××2＝5，
故答案为5．

三、解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）解方程组：．
【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：，
①×2+②，可得5x＝15，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y＝﹣1，
∴原方程组的解是．
18．（8分）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且BE＝CF，AB∥DE，AB＝DE．求证：AC＝DF．

【分析】由BE＝CF可求得BC＝EF，由AB∥DE可得∠B＝∠DEF，结合条件可利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC＝DF．
19．（8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝﹣，
当m＝时，
原式＝﹣
＝﹣1﹣．
20．（8分）如图，已知△ABC，求作ABC的角平分线AD，及作AD的垂直平分线分别交AD，BC的延长线于E，F两点；并证明FD2＝FB•FC．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【分析】通过证明△ACF∽△BAF，可得，可得结论．
【解答】解：由题意画出图形，如图所示：连接FA，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∴∠B+∠BAD＝∠CAD+∠CAF，
∴∠B＝∠CAF，
又∵∠BFA＝∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴，
∴FA2＝FB•FC，
又∵DF＝AF，
∴FD2＝FB•FC．
21．（8分）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，点D的对应点是点E，连接BE．将AC平移得到DF．
（点A与点D对应），连接AF．
（1）若AB＝3，BD＝2，求BE的长；
（2）判断BE，AF的数量关系和位置关系，并证明．

【分析】（1）由旋转的性质可得BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，由勾股定理可求解；
（2）由“SAS”可证△ABE≌△DFA，可得BE＝AF，∠DAF＝∠AEB，由余角的性质可证BE⊥AF．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝AB＝6，
∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∴BE＝＝＝2；
（2）BE＝AF，BE⊥AF，
理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠BAE+∠DAC＝180°，
∵AC平移得到DF，
∴AC＝DF＝AB，AC∥DF，
∴∠ADF+∠DAC＝180°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（SAS），
∴BE＝AF，∠DAF＝∠AEB，
∵∠DAF+∠FAE＝90°，
∴∠AEB+∠FAE＝90°，
∴BE⊥AF．
22．（10分）某水果店购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（单位：元/千克）与时间（单位：天）之间的关系如图所示的直线上，销售量Q（单位：千克）与时间（天）的函数解析式为：Q＝﹣2x+120．
（1）求P关于x的函数解析式；
（2）求该水果店销售利润最大时的x的值；
（3）为响应政府“精准扶贫”的号召，该店决定每销售1千克水果就捐赠n（n为正整数）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，求捐赠额n的值．

【分析】（1）利用待定系数法即可求出求P关于x的函数解析式；
（2）设该水果店销售利润为y元，根据总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出y关于x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）设捐赠后的利润为w（元），根据总利润等于（每千克的利润﹣捐赠额）乘以销售量，列出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质及欲使捐赠后不亏损，且利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，可列出不等式，求得n的值．
【解答】解：（1）设P关于x的函数解析式为P＝kx+b（k≠0），
将（0，30），（12，33）代入，得：，
解得：，
∴P关于x的函数解析式为P＝x+30；
（2）设该水果店销售利润为y元，由题意得：
y＝（P﹣20）Q
＝（x+10）（﹣2x+120）
＝﹣x2+10x+1200
＝﹣（x﹣10）2+1250，
∴当x＝10时，ymax＝1250，
∴该水果店销售利润最大时的x的值为10；
（3）设捐赠后的利润为w（元），由题意得：
w＝（P﹣20﹣n）Q
＝（x+10﹣n）（﹣2x+120）
＝﹣x2+（2n+10）x+1200﹣120n，
∵二次项系数为﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2n+10，
∴当x≤2n+10时，w随x的增大而增大；当x＞2n+10时，w随x的增大而减小；
∵欲使捐赠后不亏损，且利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，
∴当x＝1时，w＝﹣×1+（2n+10）×1+1200﹣120n≥0，2n+10≥30，
解得10≤n≤10.25，
∵n为正整数，
∴n＝10．
23．（10分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种：
方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次（多次抽奖，取最优惠奖项）．具体规则是依次从装有2个红球、1个白球的甲箱，装有1个红球，2个白球的乙箱，以及装有1个红球、1个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
（1）某顾客选择方案二、抽奖一次，利用列举法求这一次抽奖获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为360元，用所学统计与概率知识比较哪一种方案更划算？
【分析】（1）根据题意，可以写出所有的可能性，从而可以得到这一次抽奖获得半价优惠的概率；
（2）根据表格中的数据和题意、可以分别计算出两种方案各需要花费多少元，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
出现的所有可能性是：（红红红）、（红红白）、（红白红）、（红白白）、（红白红）、（红白白）、
（红红红）、（红红白）、（红白红）、（红白白）、（红白红）、（红白白）、
（白红红）、（白红白）、（白白红）、（白白白）、（白白红）、（白白白），
由上可得，这一次抽奖获得半价优惠的概率是＝；
（2）由题意可得，
方案一需要花费：360﹣50＝310（元），
方案二需要花费：360×0.5×+360×0.7×+360×0.8×+360×＝270（元），
∵310＞270，
∴方案二更划算．
24．（12分）已知AB是⊙O的直径，DA、DC分别切⊙O于点A、C，射线DO分别交⊙O于点E，F，CF，BE交于点G
（1）求证：∠CGE＝2∠F；
（2）若DE＝4，EF＝12，求CG的长．

【分析】（1）连接OC，通过说明Rt△ODA≌Rt△ODC，得到圆心角相等，利用同圆的半径相等，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得结论；
（2）在Rt△DAO中求得AD的长，得出∠DOA的三角函数值，利用∠EGC＝∠EOA，得到∠EGC的三角函数值，在Rt△EOH中利用直角三角形的边角关系列出关系式，CG可求．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，

∵DA、DC分别切⊙O于点A、C，
∴OA⊥DA，OC⊥DC．
∴∠DAO＝∠DCO＝90°．
在Rt△ODA和Rt△ODC中，
．
∴Rt△ODA≌Rt△ODC（HL）．
∴∠EOA＝∠EOC．
∴．
∴∠B＝∠F．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB．
∴∠OEB＝∠F．
∵∠CGE＝∠F+∠OEB，
∴∠CGE＝2∠F．
（2）∵EF是⊙O的直径，
∴∠ECF＝90°．
∵EF＝12，
∴OA＝OE＝EF＝6．
∵DE＝4，
∴DO＝DE+EO＝10．
在Rt△DAO中，DA2+AO2＝DO2．
∴．
在Rt△ADO中，tan∠DOA＝，sin∠DOA＝，cos∠DOA＝．
∵∠EOA＝∠OEB+∠B＝2∠B，
由（1）知：∠CGE＝2∠F，∠B＝∠F．
∴∠EGC＝∠EOA．
∴tan∠EGC＝tan∠EOA＝．
过点E作EH⊥AB于点H，
在Rt△EOH中，OH＝OE•cos∠DOA＝6×＝．
∴EH＝OE•sin∠DOA＝6×．
∴AH＝AO﹣OH＝6﹣．
在Rt△EHA中，EA2＝AH2+EH2．
∴EA＝．
∵，
∴AE＝CE＝．
∵tan∠EGC＝，
∴CG＝．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx．
（1）求抛物线顶点Q的坐标；（用含b的代数式表示）
（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A，B，与x轴交于点K．
①判断△AOB的形状，并说明理由；
②已知E（﹣2，0），F（0，4），设△AOB的外心为M，当点K在线段EF上时，求点M的纵坐标m的取值范围．
【分析】（1）y＝x2+bx＝（x+b）2﹣b2，即可求解；
（2）①求出抛物线的表达式为y＝x2，联立y＝x2和y＝kx+2并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，证明△ADO∽△OEB，即可求解；
②△AOB的外心为M，则点M是AB的中点，MN是Rt△ABH的中位线，则m＝y1﹣MN＝（y1+y2）＝k2+2，进而求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx＝（x+b）2﹣b2，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣b，﹣b2）；

（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△＝b2﹣4××0＝0，解得b＝0，
∴抛物线的表达式为y＝x2，如下图，
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，

设经过点（0，2）的直线的表达式为y＝kx+2，
联立y＝x2和y＝kx+2并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，
则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4，
∴y1＝x12，y2＝x22，
则y1y2＝x12x22＝4＝﹣x1x2，
∵AD＝y1，DO＝﹣x2，BE＝y2，OE＝x1，
∴，
∴∠ADO＝∠BEO＝90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠OBE+∠BOE＝90°，
∴∠BOE+∠DOD＝90°，即AO⊥BO，
∴△AOB为直角三角形；
②过点A作x轴的平行线交BE的延长线于点H，过点M与y轴的平行线于点N，
∵△AOB的外心为M，MN∥y轴∥BH，
∴点M是AB的中点，MN是Rt△ABH的中位线，
∴MN＝BH＝（y2﹣y1），
则m＝y1﹣MN＝（y1+y2）＝（kx1+2+kx2+2）＝[k（x1+x2）+4]＝k2+2，
令y＝kx+2＝0，解得x＝﹣，即点K的坐标为（﹣，0），
由题意得：2≤﹣≤4，解得﹣1≤k≤且k≠0，
∴≤k2+2≤3，
即点M的纵坐标m的取值范围≤m≤3．