福建省泉州市2021届高三下学期5月质量检测（五）数学（含答案）

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泉州市2021届高中毕业班质量监测（五）
2021.05
数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．A 7．C 8．B

二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．ABD 10．BC 11．ACD 12．ABD

三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。
13． 14． 15． 16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性．满分10分．
解法一：（1）依题意，得 2分
解得或（舍去）， 4分
所以. 5分
（2） 选条件①，，
当时，, 6分
又也满足上式，所以. 7分
所以, 8分
当时，，
又单调递增 ，，. 9分
所以存在正整数，使得，的最小值为. 10分
解法二：（1）依题意，得， 1分
解得或（舍去）， 3分
所以， 4分
所以. 5分
（2） 选条件②，，
当时，，
则，
整理，得， 6分
所以为常数列，即，. 7分
所以， 8分
因为单调递增 ，，， 9分
所以存在正整数，使得，的最小值为. 10分
解法三：（1）同解法一； 5分
（2）选条件③，
当时，，， 6分
当时，，
则，
整理，得， 7分
所以是首项为，公比为的等比数列，即. 8分
所以， 9分
所以不存在正整数，使得. 10分


18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等，体现基础性和综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．满分12分．
解法一：（1）在中，由正弦定理可得， 1分
又，，所以． 2分
所以， 3分
， 4分
所以，
即， 5分
所以或. 6分

（2） 由已知，设，所以，另设.
由，
可得， 7分
所以，因为，所以， 8分
所以， 9分
又，， 10分
又，所以， 11分
所以，所以. 12分
解法二：（1）同解法一；
（2）由已知，设，，所以，
因为， 7分
故可设，
在和中，分别由余弦定理可得
，，
即①，
②， 8分
联立①②可得，， 9分
所以，
又，， 10分
又，所以， 11分
所以，所以. 12分

解法三：（1）同解法一；
（2） 由已知，设，，所以，
因为， 7分
故可设，
在和中，分别由余弦定理可得：
，，
即①， ②，
联立①②可得， 8分
所以， 9分
又，， 10分
又，所以， 11分
所以，所以. 12分

解法四：（1）同解法一；
（2）由已知，设，，所以，
因为， 7分
所以，所以， 8分
所以，
即， 9分
所以，又，， 10分
又，所以， 11分
所以，所以. 12分


解法五：（1）同解法一；
（2） 由已知，设，，所以，
因为， 7分
过作交于点，则，
所以在中，有 8分
由余弦定理有 9分
所以，
又，， 10分
又，所以， 11分
所以，
所以. 12分


19．本小题主要考查空间几何体点线面位置关系、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想等；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养，体现基础性与综合性. 满分12分．
解法一：（1）连结交于点，连结． 1分
因为分别为中点，所以为的重心，． 2分
又为中点，为中点，所以， 3分
即，所以． 4分
又因为平面，平面， 5分
所以平面． 6分
（2）根据题意，所以平面， 7分
如图所示，以为坐标原点，分别以，为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，则，，，，，，，，，
． 8分
设平面的法向量为，
则即 9分
取, 10分
设直线与平面所成的角为，
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为． 12分
解法二：
（1） 取中点,连结.
因为分别为中点，所以. 1分
因为平面，平面，
所以平面. 2分
又因为分别为中点，
所以，所以. 3分
因为平面，平面，
所以平面. 4分
因为，所以平面平面. 5分
因为平面，所以平面. 6分
（2） 取的中点，连结，则，.
根据题意，
所以平面，
所以平面. 7分

如图所示，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，
则，，，
，，，，，， . 8分
设平面的法向量为，
则即 9分
取, 10分
设直线与平面所成的角为.
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为. 12分
解法三：（1）同解法二； 6分
（2） 在上取点，使，连结，，，则，
根据题意，
所以平面 ，则平面， 7分
所以， . 8分
设，， 9分
，
设到平面的距离为.
由，得，解得， 10分
因为为中点，所以到平面的距离为. 11分
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为. 12分
解法四：（1）同解法二； 6分
（2）连结，取的中点，的中点，连结.设，
则，且.
根据题意，
所以平面，因此平面. 7分









所以，， 8分
，
， 9分
， 10分
设到平面的距离为.
由，得，解得. 11分
设直线与平面所成的角为.
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为. 12分

20．本小题主要考查独立性检验、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、应用意识和创新意识等，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注．满分12分．
解：（1）依题意，

产生利润效益
未产生利润效益
总计
甲地
24
6
30
乙地
10
10
20
总计
34
16
50
2分
． 4分
故有的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关． 5分
（2）这样的判断是错误的．理由如下（考生只要回答接近参考答案，就可给分）
6分
残差平方和是反映回归模型预报值与实测值的偏差，同一对象（如对甲地而言）统计数据的实测值相同，故可以通过残差平方和的大小来比较不同模型的拟合度的高低；但是不同对象（如甲地、乙地）统计数据因为量级上的不同，实测值、预报值都可能存在数量上的差异，这种差异并无法比较模型的拟合度的高低．通过计算两个模型的相关指数，甲地对应模型的相关指数，乙地对应模型的相关指数，，故乙地的模型拟合度高于甲地． 8分
（3）假设甲地投入（单位：十万）元，则乙地投入（单位：十万）元，
9分
故两地总的年利润
， 10分
（）． 11分
由得，即，解得．







单调递增
单调递减
故当时，即甲地投入万元，乙地投入万元时，两地总的年利润达到最大．
12分
（评分说明：其他解法类比给分）

21．本小题主要考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．
解法一：（1）根据题意， 1分
所以． 2分
根据题意，，
所以为抛物线的准线，且， 3分
所以，即，． 4分
故抛物线的方程为． 5分
（2）设，则在上的投影， 6分
直线的斜率为， 7分
直线的方程为，即.
代入椭圆方程，得. 8分
设，线段的中点为，
所以， 9分
所以的横坐标为，
当时，直线的方程为，
与直线联立可得的横坐标为. 10分
令得，此时为中点，满足.
当时切线为轴，当也满足. 11分
综上所述，存在，使得恒成立. 12分
解法二：（1）根据题意， 1分
所以． 2分
由为等边三角形可得点的坐标为， 3分
代入抛物线方程，得，
解得（舍去）， 4分
所以抛物线的方程为． 5分
（2）设，则在上的投影，当时，， 6分
直线的斜率为， 7分
设，线段的中点为.
则两式相减，得. 8分
整理，得，即，. 9分
当时，，
此时三点共线，满足. 10分
当时切线为轴，当也满足. 11分
综上所述，存在，使得恒成立. 12分
解法三：（1）根据题意， 1分
所以． 2分
根据题意，为的准线，
设，则，
又，， 3分
解得， 4分
所以抛物线的方程为. 5分
（2）设，则在上的投影，向量， 6分
直线的斜率为， 7分
直线的方程为，即，
代入椭圆方程，得． 8分
设，线段的中点为，
所以． 9分
所以的横坐标为，
代入直线方程求出． 10分
向量，
当时，，此时三点共线． 11分
故存在，使得恒成立． 12分
解法四：（1）同解法一； 5分
（2）设，则在上的投影， 6分
直线的斜率为， 7分
直线的方程为，又，
即，所以.
代入椭圆方程，得，
即. 8分
设，线段的中点，
所以， 9分
所以， 10分
所以直线的方程为，
以代入，可得， 11分
所以存在，使得恒成立. 12分

22．本小题主要考查函数的单调性、极值，不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现综合性和创新性；导向对数学抽象，数学建模，数学运算核心素养的关注．满分12分.
解法一：（1）当时， ，
. 1分
令，则，所以在单调递增，
又因为，，
所以存在，使得. 3分
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增. 4分
所以的最小值为. 5分
（2），
当时，，在单调递增，
故至多一个零点，舍去； 6分
当时，，，单调递减；
，，单调递增. 7分
若函数存在两个零点，则，所以.
这时.
①当时，，
令，，
，，
所以递增， ，所以递增，
所以.
此时，，在和分别存在一个零点.
②当时，，
此时，，在和分别存在一个零点.
综合①②得，若存在两个零点，的取值范围为. 8分
不妨设，因为，即
两式相减，得； 9分
两式相加得. 10分
欲证，只需证，
即证， 11分
令 ，，
，则在单调递增，
所以，
又因为，所以得证. 12分
解法二：（1）同解法一； 5分
（2），
当时，，在单调递增，
故至多一个零点，舍去； 6分
当时，，，单调递减；
，，单调递增. 7分
若函数存在两个零点，则，所以.
这时.
①当时，，
令，，
，，
所以递增， ，所以递增，
所以.
此时，，在和分别存在一个零点.
②当时，，
此时，，在和分别存在一个零点.
综合①②得，若存在两个零点，的取值范围为. 8分
不妨设，因为，即
两式相加得， 9分
欲证，只需证，只需证，
因为，当时，单调递增，且，
所以只需证， 10分
令，
，
所以在单调递减， 11分
所以 时，，
所以，命题得证. 12分