黑龙江省实验中学2021届高三下学期第三次模拟考试（三模）数学（理）（含答案）

黑龙江省实验中学2020—2021学年度下学期高三学年

第三次模拟考试数学试卷（理科）

考试时间：120分钟   满分：150分

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合，则 (      )

A.         B.            C.          D.

2．等差数列的前15项和，则（     ）

A．           B．6              C．10             D．14

3.已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（     ）

A.            B.              C.            D.    

4．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”，周角等于密位，记作周角，直角．如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（    ）

A． B．       C．         D．

5. 2021年强基计划开始申报，省实验中学有4所不同学校的校荐名额，每所学校有一个。分给学年前三名的同学，名额不能浪费，每个人至少一个，共有分配方法（    ）

   A.3种            B.4种           C.24种             D.36种

6.已知直线与轴交于点，与曲线交于点，为原点，记线段，及曲线围成的区域为．在内随机取一个点，已知点取在内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

7.正三棱柱中，，则异面直线与成角余弦值为（     ）

A.           B.             C.              D.

8．已知且且且，则（    ）

A．     B．         C．          D．

9.如图所示三棱锥中，，为等边三角形，二面角为直二面角，，则该三棱锥外接球体积为（    ）

A.            B.          C.            D.

10．已知椭圆的左焦点为，上顶点为B，平行于直线FB的直线 交椭圆于M、N两点，若线段的中点坐标为，P为椭圆上任意一点，的最大值为，则椭圆的长轴长为（    ）

A．8             B．4            C．              D．

11. 已知函数的最大值为2，且满足，则（     ）

A.           B.              C.或          D.或

12．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围是（    ）

A．   B．C．     D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．若平面向量内单位向量满足，则在上投影为           .

14．的展开式中系数的为           .

15．已知双曲线：(，)的左焦点为，过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于点、，且满足的值为虚轴长，则该双曲线离心率为               .

16．在数列中，，记是数列的前项和，则__________．

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题.第22,23题为选考题.）

17.（本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是已知．

（1）求角的大小；

（2）若角的平分线交边于点D，长为，求的面积的最小值．

18.（本小题满分12分）如图，四棱锥，面，底面是直角梯形，，.

（1）证明：；

（2）若，求直线与平面成角正弦值。

19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，，．

（1）求动点Q的轨迹的方程；

（2）直线与曲线交于A，B两点，是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由．

20．（本小题满分12分）近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升．下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：

（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的线性回归方程；

（2）据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数服从正态分布，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2021年该校最低提档分数线为540分.

（i）若该大学2021年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2021年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金。一等奖学金分数线应该设定为多少分？请说明理由.

（ii）若A同学2021年高考考了562分，他很想报考这所大学的数学专业，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给该同学一个合理的建议．（第一志愿录取可能性低于60%，则建议谨慎报考）

参考公式：，．

参考数据：，，

21．（本小题满分12分）已知函数．

（1）设函数，当时，求函数零点的个数；

（2）求证：．

请考生在第22、23题中任取一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时请写清题号.

22.【选修4-4坐标系与参数方程】

（本小题满分10分）在平面直角坐标系内，曲线C1的参数方程为，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，点A和点B的极坐标分别是，且A,B关于直线l对称，

（1）求直线l的极坐标方程并把曲线C1化为极坐标方程；

（2）若直线l与曲线C1和C2在第一象限分别交于M,N两点，求的值.

23.【选修4-5不等式选讲】

（本小题满分10分）已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为m，且正数a,b满足，求的最小值.

2021届高三第三次模拟考试理科数学答案

一、选择题

1— —5  6— —10  11、12

DBBCD  CCABA    DD

二、填空题

13.        14.-160        15.          16.1720

三、解答题

17.（1）

由正弦定理可得

（2）

∴

∴

即，

当且仅当时取等号

最小值为

（1）18.证明：由题可知，，，即,面，，，

（2）

如图，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

，设平面法向量为

得，

直线与平面成角为，

所以，直线与平面成角的正弦值为

19.（1）如图，是线段与轴的交点，直线l和y轴平行，故R是线段PF的中点，又，故是线段PF的中垂线，所以，结合知，动点到点F的距离等于到直线l的距离，故动点的轨迹是开口向右的抛物线，F是焦点，l是准线，依题意动点不能与O重合，故方程为；

（2）设，，，

联立得，，则，故，

故为定值0．

20.（1）由题意知，，

，，

所以，，

故所求线性回归方程为．       

（2）i)由（1）知，当时，，

故该大学2021年的数学专业录取平均分约为540+32=572．即μ＝572

该大学每年数学专业的录取分数，则μ＝572，σ＝4.

(1)P(560＜X≤584)＝P(572－3×4＜X≤572＋3×4)＝0.997 .

∴P(X＞584)＝[1－P(560＜X≤584)]＝0.001 5

∴本专业2021年录取学生共(人)．

成绩排在前46名的学生数占总数2000人的0.023.设一等奖学金分数线应该设定为x0.

则P(X≥x0)＝0.023.

∴P(1144－x0＜x＜x0)＝1－2×0.023＝0.954 .

又知P(572－2×4＜x＜572＋2×4)＝0.954 .

∴x0＝572＋2×4＝580(分)．

∴一等奖学金分数线应该设定为580分

ii)因为，又，

所以该同学被录取的概率，

故建议该同学谨慎报考该大学的数学专业．

21.（1）由题意得：，则，

；

①当时，，，，，

在上单调递增；

②当时，，，，，

在上单调递增，

又，且的图象在内连续，

，使得，

则当时，；当时，；

在内单调递减，在内单调递增，

综合①②可知：在内单调递减，在内单调递增，

又，，，且的图象在内连续，

，，使得，

函数在内零点的个数是个．

（2）要证明：，即证：，

即证：…（*）

设，则，

在内单调递减，，，

要证（*）成立，只需证：.

方法一：设，则，

设，，在内单调递减，

又，，使得，即，，

当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；

，则原命题得证．

方法二：设，则，

在单调递减，在单调递增，

，，

，，即成立，则原命题得证．

22.解：（1）因为点A和点B的极坐标分别为所以点A和点B的直角坐标分别为又点A和点B关于直线l对称，故直线l的普通方程为y=x,化为极坐标方程为曲线C1的参数方程为为参数化为普通方程为化为极坐标方程即

（2）若直线l与曲线C1和C2在第一象限分别交于M, N点，则故

23.解：（1）当x>6时，f(x)=2x-10<4,解得x<7,故6<x<7；当时，f(x)=2<4恒成立；当x<4时，f(x)=10-2x<4, 解得x>3, 故3<x<4.综上可得不等式f(x)<4的解集为(3,7).

（2）当且仅当时等号成立，故m=2, 因此有即当且仅当时等号成立，故的最小值为