上海市嘉定区2021届高三下学期4月第二次质量调研测试（二模）数学试题（含答案）

这是一份上海市嘉定区2021届高三下学期4月第二次质量调研测试（二模）数学试题（含答案），共22页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试数 学 试 卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合，，则____________．2．已知复数满足（为虚数单位），则____________．3．已知等差数列满足，则____________．4．若实数、满足，则的最大值为_____________．5．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．6．《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为_____________．7．已知正数、满足，则的最小值为___________．8．设数列的前项和为，且满足，则___________．9．将的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为_______．10．已知点、是双曲线 （，）的左、右顶点，点是该双曲线上异于、的另外一点，若是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_____________．11．已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______________．12．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在    答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．“函数 （、，且）的最小正周期为”是“”的（    ）．（A）充分非必要条件                   （B）必要非充分条件 （C）充要条件                         （D）既非充分又非必要条件   14．已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的方差是            （    ）．（A）               （B）             （C）             （D）15．设直线与椭圆交于、两点，点在直线上．若，则实数的取值范围是                                    （    ）．（A）  （B）  （C）  （D）16．已知函数，则不等式的解集为        （    ）．（A）  （B）  （C）  （D） 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．       18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．     19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．     20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．（1）求抛物线的方程；（2）若，求点的坐标；（3）过点 （）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、、、四点，且点、分别为线段、的中点，求的面积的最小值．    21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列满足：，，，为数列的前项和．（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；（3）已知，对于给定正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．                  嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试数 学 试 卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合，，则____________．【答案】【解析】因为，所以.  2．已知复数满足（为虚数单位），则____________．【答案】【解析】因为，所以，所以3．已知等差数列满足，则____________．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，因为，        所以，整理得，即.4．若实数、满足，则的最大值为_____________．【答案】【解析】画出可行性区域，由图可知直线在过点时最大，即 5．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．【答案】【解析】由题意得的图像经过点，所以，        所以，所以. 6．《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为_____________．【答案】【解析】由三视图得该几何体是底面为直角边为3和4的直角三角形，高为4的三棱锥，故体积.  7．已知正数、满足，则的最小值为___________．【答案】【解析】因为，所以，        当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为. 8．设数列的前项和为，且满足，则___________．【答案】【解析】（*），当时，，即；        当时，（**），        （*）和（**）相减得，所以数列是的等比数列，        所以. 9．将的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为_______．【答案】【解析】的展开式的通项为，        当时，为有理项，一共4项，        当时，为无理项，一共4项，        要使得有理项互不相邻，采用插空法，先把无理项排好，再把有理项插到无理项的5个空档中，共有种情况，全部的情况有种，故所求概率.10．已知点、是双曲线 （，）的左、右顶点，点是该双曲线上异于、的另外一点，若是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_____________．【答案】【解析】根据对称性，不妨设在第一象限，因为是顶角为的等腰三角形，所以，所以点的坐标为，即代入双曲线方程，解得，故双曲线的渐近线方程为.11．已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】【法1】当时，．因为，而，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是．由题意及函数的图像与性质可得     或 ，如右上图所示．解得 或 ，所以所求实数的取值范围是 ．【法2】当时，，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是；当时，（1）若，则  （），它是增函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得 ，又，所以 ；（2）若，则．函数在上是增函数，此时的取值范围是；而函数在上是减函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得，又 ，所以 ．综上，所求实数的取值范围是 ．12．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．【答案】【解析】由题意可得的夹角为．可设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，如图所示．根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值，即 （点、分别是点、在直线上的射影点）；同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、，则，当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立．所以，即所求实数的最大值是．  二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．“函数 （、，且）的最小正周期为”是“”的（    ）．（A）充分非必要条件                   （B）必要非充分条件 （C）充要条件                         （D）既非充分又非必要条件   【答案】B【解析】最小正周期，故，故为必要非充分条件，选B. 14．已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的方差是            （    ）．（A）               （B）             （C）             （D）【答案】A【解析】由题意得，        所以方差，故选A.15．设直线与椭圆交于、两点，点在直线上．若，则实数的取值范围是                                    （    ）．（A）  （B）  （C）  （D）【答案】A【解析】椭圆方程为，易得关于原点对称，所以，        所以，故原点到直线的距离，        解得或，故选A. 16．已知函数，则不等式的解集为        （    ）．（A）  （B）  （C）  （D）【答案】A【解析】设函数，则函数是定义域为，且单调递增的奇函数，所以是定义域为的增函数，且其图像关于点对称，即有，即 ．由得 ，即，即，所以 ，解得 ．所以选A． 
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解析】解：（1）由题意知，…………2分因为是圆柱的一条母线，所以垂直于圆柱的底面，则得 ，即…………………………………4分又因为 ，且 、平面，所以 平面，因为 平面，所以 ．  ………………………………………………6分（2）联结．由题意知，∥，所以异面直线与所成的角等于直线与直线所成的角．…………………………………………2分在中，，，,……………………………4分由余弦定理得 ,．   …………………………………………………………7分所以异面直线与所成的角的大小为．  ……………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．【解析】（1）【法1】函数的定义域为．因为函数是奇函数，所以．设，则得 ，即 ，即 ，代入，得，解得 ．…………………………………………………4分此时．又因为 ，即 ，所以是奇函数．因此所求实数的值为 ．……………………………………6分【法2】函数的定义域为．因为函数是奇函数，所以．即 ，……………2分即 ，即 ，即 对任意都成立，所以 ，解得 ．因此所求实数的值为………………………………………6分（2）解：设，即关于的方程在区间上有实数解．……2分设，因为 ，所以 ，于是原问题等价于关于的方程（*）在区间上有实数解．……………………4分当时，方程（*）不成立，所以，于是方程（*）可化为   （），即函数与函数 （）的图像有公共点．……………………………………………6分因为函数 （）为增函数，则得该函数的值域为 ，所以 ，解得 ，即所求的实数的取值范围是 …………………………………………………8分 
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．【解析】解：（1）在中，,，由正弦定理得，即 ，即……2分则停车场面积（平方米），即停车场面积约为平方米．……………………………………6分（2）在中，,．由正弦定理得，即 ，即 ． ……………………………2分则停车场面积，即 ，其中 ．……………………………4分即 ，即 ．…………………6分因为，所以 ，则当，即 时，停车场面积取得最大值．所以当时，停车场面积取得最大值．    …………………………………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．（1）求抛物线的方程；（2）若，求点的坐标；（3）过点 （）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、、、四点，且点、分别为线段、的中点，求的面积的最小值．       【解析】（1）解：因为抛物线的焦点为，即 ，解得………2分所以所求抛物线的方程为 …………………………4分（2）解：设点．由抛物线的定义得 ……………………2分令 ，解得……………………………………3分因为点在抛物线上，所以，把代入，解得 ，………5分因此所求点的坐标为或………………6分（3）【法1】根据题意，直线、的斜率存在，且不为零，可设直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，设、．由消去，并整理得 ，  ………………2分由一元二方程根与系数的关系得 ，所以，即 ，因此．…………………………………………3分同理可得 ……………………………………4分所以，，于是，当且仅当，即时，等号成立．所以的面积的最小值等于． …………………………………………6分【法2】根据题意得、的斜率存在，且不为零．可设直线的方程为，则直线的方程为，设、．由得 ， ……………………………………………2分由一元二方程根与系数的关系得 ，则得 ，，所以． ……………………………………………………………3分同理可得 ．  …………………………………………………4分所以，，于是，当且仅当，即时，等号成立．所以的面积的最小值等于 ． …………………………………6分 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列满足：，，，为数列的前项和．（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；（3）已知，对于给定正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）因为是递增数列，所以．因为，所以 ，．…………………………………2分又因为成等差数列，所以，即即，解得或．当时，，这与是递增数列相矛盾，所以．…………………4分 （2）因为是递增数列，则有，于是  ①因为，所以       ②由①、②得，，因此，即      ③   …………………2分又因为是递减数列，则有，于是  ④因为，所以      ⑤由④、⑤得，，因此，即    ⑥由③、⑥可得． …………………………………4分于是当时，即 ．………………………………………………………5分当时，代入上式得，与已知条件相吻合．所以所求数列的通项公式是 ，．……………6分（3）当或 （）时，存在数列，使得．…………2分此时数列满足，则有，，即．  ……………………………………………………………………4分当或 （）时，不存在数列，使得．……6分理由如下：因为，所以 ；又因为为奇数，则当时，为奇数，为偶数， ……………7分所以当时，为奇数，为偶数，因此，均不可能成立．于是当或 （）时，不存在数列，使得．…8分