全国卷Ⅲ衡水金卷2021年高三先享题信息卷（五）数学（文）（含答案）

（全国卷Ⅲ，衡水金卷）2021年高三先享题信息卷（五）

文科数学

本试卷共4页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡，上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则复数z在复平面内对应的点在

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

2.已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－3≤x≤－1}，则a＝

A.－3     B.－1     C.1     D.3

3.设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2，则a8＝

A.8     B.15     C.17     D.23

4.已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，点P的坐标为(1，4)，则|PF|＝

A.     B.     C.2     D.5

5.下列命题中，正确的是

A.若a>b，则a2>b2              B.若a，c同号，且，则bc－ad<0

C.若a>b，c>d，则a－c>b－d     D.若a>b，c>d，则ac>bd

6.如图所示的正四面体A－BCD中，E，F分别为棱BC，AC的中点，给出下列说法：①EF//CD；②EF//平面ABD；③EF⊥AD；④EF与AD所成的角为60°，其中正确的是

A.①②     B.②③     C.②④     D.①④

7.港珠澳大桥是一座“圆梦桥、同心桥、自信桥、复兴桥”，体现了我国的综合国力，自主创新能力。为此某校团委组织了一场与“港珠澳大桥”有关的知识大赛，赛后甲、乙、丙、丁四位同学去了解他们四人的排名顺序，有如下一段对话，甲说：我不是最好的也不是最差的；乙说：与甲相反；丙说：乙不可能是最好的；丁说：我比甲要好一些，试根据他们的对话，他们的成绩从高到低的排序可以为

A.丙、丁、甲、乙     B.丙、甲、丁、乙

C.乙、丙、丁、甲     D.乙、甲、丙、丁

8.将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移φ(|φ|≤)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(－x)＝－g(＋x)，则φ的值可以为

A.－     B.－     C.     D.

9.“更相减损术”是出自我国古代数学名著《九章算术》中的一种求最大公约数的算法，后来随着科技的发展，特别是计算机的出现，对解决“更相减损术”算法思路提供了简便的方法，下面是利用该算法思想设计的一个计算运行次数的程序框图，若输人的a，b的值分别为2020，2019，当运行结束时，输出的i的值为

A.2018     B.2019     C.2020     D.2021

10.过双曲线C：的右焦点F的直线l与C的两个交点分别位于第三象限与第四象限，若直线l的斜率为e－(其中e为C的离心率)，则离心率e的取值范围是

A.(，＋∞)     B.(2，＋∞)     C.(1，)     D.(1，2)

11.如图所示，在三棱锥P－ABC中，AC⊥CB，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABC。已知三棱锥P－ABC外接球的半径为4，则该三棱锥体积的最大值为

A.     B.6     C.4     D.24

12.已知定义在R上的可导函数f(x)，对任意的实数x，都有f(x)－f(－x)＝2x，且当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>1恒成立，若不等式f(a)－f(1－a)≥2a－1恒成立，则实数a的取值范围是

A.[，＋∞)     B.(0，]     C.(－∞，)     D.(－，0)

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.已知sinα＝，α∈(0，2)，则tanα－＝          。

14.某企业一种型号的针孔打印机，出厂时打印正点率为100%，但经过一段时间工作后，发生了微小的误差，需进行重新调整。经统计连续三天的误差情况，第一天打印50个点的正点率为0.98，第二天打印80个点的正点率为0.97，第三天打印100个点的正点率为0.96，则这三天打印的平均正点率的误差估计值约为          (结果保留2位小数)。

15.在△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，BC＝，点D在边AB上，且AD＝2BD，则CD＝           ；sin∠BCD＝          。(本题第一空2分，第二空3分)

16.如图，正方形ABCD的边长为1，E是以CD为直径的半圆弧。上一点，则的最大值为          。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知等差数列{an}中，a3＋a7＝12，a4＝5，正项等比数列{bn}中，b1＝，b3＝。

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn。

18.(本小题满分12分)

由于受新冠疫情影响，某厂的甲、乙两家员工餐厅用餐量直线下降，效益快速下滑，因此该厂对甲、乙两家员工餐厅除加强卫生标准的检查与落实外，拟将其中一家餐厅改为既可提供员工用餐，还可对外承接用餐业务，增加效益，为此厂务办对两家餐厅进行综合考核。考核从两方面进行，并且各占50%，相加得分高者可对外承接用餐业务。

考核一：从在甲、乙两家餐厅都用过餐的员工中随机抽取100人，每人分别对这两家餐厅进行菜品的口味评分(满分均为100分，以平均分作为最终得分)，统计评分数据，并统计了甲餐厅分数的频数分布表，绘制了乙餐厅分数的频率分布直方图；

甲餐厅评分频数分布表：

乙餐厅评分频率分布直方图：

考核二：专家从用餐环境、卫生及对经营管理者的理念角度给甲、乙两家餐厅的评分分别为80分，82分。

(1)请问哪家餐厅可以对外承接用餐业务？

(2)厂务办从对甲餐厅评分在[90，100]内及对乙餐厅评分在[60，70)内的评分中，按分层抽样抽取4个评分，再从4个评分中随机抽取2个，征求打分员工今后改进餐厅管理的建设性意见，求甲。乙两家餐厅的评分都被抽到的概率。

19.(本小题满分12分)

如图1所示的平行四边形ABCD中，点E为边AB的中点，AB＝2，AD＝1，DAB＝60°，现将△ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，得到四棱锥P－BCDE(如图2)，使得PC＝2。

(1)证明：CE⊥平面PED；

(2)求三棱锥P－CDE的体积。

20.(本小题满分12分)。

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆过椭圆的上、下顶点，长轴长为4。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P(4，t)(t≠0)，过点P的直线AP与BP分别交椭圆于点C，D，证明：直线CD必过x轴上的一定点。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝。

(1)当a＝1时，判断函数f(x)在区间(0，2)内极值点的个数；

(2)当a>时，证明：方程f(x)＝x＋＋1－a在区间(0，)上有唯一解。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆O1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆O2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。

(1)将圆O1的参数方程化为普通方程，圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设圆O1与x轴的正半轴的交点为A，点P在圆O1与圆O2公共弦所在的直线上，求|PA|＋|PO1|的最小值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－2|＋|x－a|。

(1)若不等式f(x)≤x－1的解集为[2，4]，求实数a的值；

(2)若a>2，f(x)的最小值为1，且m>0，n>0，＝a，求2m＋n的最小值。