安徽省合肥市2020-2021学年高一下学期阶段性大联考数学试题（word版 含答案）

2020~2021学年高一阶段性大联考

数    学

本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

A.                 B.                  C.                 D.

2.如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为

A.                B.                  C.                  D.

3.设向量，，且，则

A.                  B.                 C.                    D.1

4.以下命题正确的是

A.过空间三点有且仅有一个平面                   B.平行于同一直线的两个平面互相平行

C.平行于同一直线的两条直线互相平行             D.分别在两个平行平面内的两条直线互相平行

5.在中，若，，，则

A.                B.                 C.                    D.

6.已知向量，为非零向量，有以下四个命题：

甲：            乙：             丙：与的方向相反     丁：

若以上关于向量，的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是

A.甲                  B.乙                    C.丙                    D.丁

7.已知向量，的夹角为，，，则

A.1                    B.2                    C.3                     D.4

8.复数，则的最大值为

A.1                   B.2                     C.3                     D.4

9.长，宽，高分别为6cm，8cm，10cm的长方体水槽置于水平桌面上，该水槽内装在高度为8cm的水，若将一半径为3cm的球放入该水槽中（假设球与水槽的底面相切，以水槽内溢出的水的体积约为（）

A.16              B.12                C.10               D.2

10.已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为2，则球的内接正方体的棱长为

A.1                    B.                C.2                     D.

11.已知是边长为2的等边三角形，，分别、的两点，，，与交于点，则下列说法不正确的是

A.                                 B.

C.                        D.在方向上的投影为1

12.已知正方形的边长为1，，分别为，的中点，沿将三角形折起到的位置，则三棱锥体积的最大值

A.                 B.                 C.                  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若复数是纯虚数，则实数___________.

14.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处外都能见到5G基站的身影.如图，某同学正西方向山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离）.该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站顶端的仰角为，该同学向南走米后到达处，此时没得基站顶端的仰角为，则山高___________米.

l5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为___________.

l6.如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则___________；若的面积为，则的最小值为___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知复数的共轭复数为，且满足.

（1）求；

（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.

18.（12分）

已知向量，，.

（1）若，求角的值；

（2）判断三角形可否为直角三角形，并说明理由.

19.（12分）

如图，在正四棱锥中，.

（1）求正四棱锥的体积；

（2）若为三角形的重心，在边上是否存在点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由；

20.（12分）

从以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

①，②，③.

问题：在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，__________.

注；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

21.（12分）

如图，在边长为2的正方体中，点为的中点，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若为侧面内一点，且平面，求的最小值.

22.（12分）

如图，四边形中，已知对角线，且满足，.

（1）求证：；

（2）若为锐角三角形，设四边形面积为，求证：.

2020-2021学年“江南五校”高一阶段性大联考

数学参考答案

1.【解析】.

2.【解析】由题意知，A，B，C均正确.

3.【解析】，因为，所以，得.

4.【解析】由立体几何的有关判定，可得C正确，其余均错误.

5.【解析】由余弦定理可得，得，所以，.

6.【解析】由题意知，甲与乙肯定有一个不正确，若甲正确，则丙不正确，乙丙丁可以同时正确，故甲不正确.

7.【解析】由题意知，所以.

8.【解析】已知，所以

，当时，的最大值为3.

9【.解析】该长方体的体积为，放入的球的体积，原先正方体内水的体积为，正方体内剩余的水量为，所以溢出的水量为.

10.【解析】设该球的半径为，可得，所以，设内接正方体的棱长为，所以，所以.

11.【解析】取中点为，连接，为中点，，所以，A正确；所以，且，得，所以，即为中点，，，因为，所以，C正确；可以计算在方向上的投影为，D不正确.

12.【解析】因为三棱锥体积，且三角形的面积为定值，所以当到平面距离最大时，三棱锥的体积取得最大值，所以当平面平面时，三棱锥的体积最大，可求得当平面平面时，到平面距离为，所以.

13.【答案】1

【解析】，所以，得

14.【答案】101.5

【解析】设，则，，所以在直角三角形中，，所以得，得，所以山高等于米．

15.【答案】

【解析】由题意可知，半圆的弧长为，设该圆锥的底面半径为，则，得，所以该圆锥的表面积为.

16.【答案】，

【解析】，所以

，得到，，所以，的面积为，得到，得到，所以

.

17.【解析】（1）因为，

所以，

所以；

（2），

因为复数在复平面内对应的点在第二象限，

所以，

得，所以的取值范围为.

18.【解析】（1）已知，，

所以，

因为，所以，得，，

又因为，所以；

（2）若为直角，则，得，

即，，无解；

若为直角，则，得，

即，，无解；

若为直角，则，得，

即，，

因为，，，

故必存在一个值，使得三角形为直角三角形.

19.【解析】（1）由，可得，

因为为正四棱锥，所以，

因为，所以，

所以，所以该正四棱锥的高为，

所以正四棱锥的体积；

（2）存在这样的点，使得平面，

如图，连接延长交于点，连接，

因为平面，所以，

因为为三角形的重心，所以.

所以；所以.

20．【解析】因为，所以，

由正弦定理得，

又因为，

所以，

所以，

所以，

又因为，所以，所以，

得；

若选择①，得，

由余弦定理，得，

得，

所以；

若选择②因为，所以，得，

又由余弦定理，可得 ，

得，

从而得或.

若选择③因为，且，

所以，即，

因为，所以，

，，这与三角形的内角和等于相矛盾，所以这样的三角形不存在.

21.【解析】（1）如图，取为，连接，，

因为为的中点，为中点，

所以，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

平面，平面，

所以平面；

（2）如图，取中点，连接，，

由第（1）问知，，

在正方形中，为中点，为中点，

所以，

因为，所以平面平面，

所以点必在线段上，所以的最小值即为点到线段的距离，

在三角形中，，，所以点到的距离，

所以的最小值为.

22.【解析】（1）略

（2）设，所以，所以，

在三角形中，，且，所以，

设的面积为，

，

因为为锐角三角形，所以，所以，得，

因为为增函数，，

设的面积为，因为，，所以由余弦定理得

得，

所以，所以.