2021年四川省泸州市泸县中考数学一诊试卷
展开
这是一份2021年四川省泸州市泸县中考数学一诊试卷,共23页。试卷主要包含了填空题,解答题.,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.(3分)方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=x2=0B.x1=x2=2C.x1=0,x2=2D.x1=0,x2=﹣2
2.(3分)已知关于x的方程x2+x+2a﹣4=0的一个根是﹣1,则a的值是( )
A.﹣2B.﹣1C.1D.2
3.(3分)下列事件中,是必然事件的是( )
A.将油滴入水中,油会浮在水面上
B.车辆随机到达一个路口,遇到红灯
C.如果a2=b2,那么a=b
D.掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上
4.(3分)下面4个图案中,是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
5.(3分)将一元二次方程x2﹣2x=1配方,其正确的结果是( )
A.(x+1)2=2B.(x﹣2)2=5C.(x﹣1)2=1D.(x﹣1)2=2
6.(3分)抛物线y=2(x﹣1)2+3的顶点坐标是( )
A.( 1,3)B.(﹣1,3)C.(1,﹣3)D.(﹣1,﹣3)
7.(3分)从,0,π,3.14,这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是( )
A.B.C.D.
8.(3分)如图,点A、B、C在⊙O上,∠BOC=130°,则∠A的度数是( )
A.65°B.60°C.55°D.50°
9.(3分)如图,PA是⊙O的切线,切点为A,OP=4,∠APO=30°,则⊙O的半径长为( )
A.1B.C.2D.3
10.(3分)如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A'B'C的位置,且A、C、B'三点在同一条直线上,则点A经过的路线的长度是( )
A.8B.4C.πD.π
11.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣2(k+2)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2,则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是( )
A.﹣8B.﹣5C.1D.2
12.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.(3分)⊙O的半径为2cm,则⊙O的内接正方形的面积是 cm2.
14.(3分)抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是 .
15.(3分)如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一动点,那么OP长的取值范围是 .
16.(3分)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,方程ax2+bx+c=0的解是 .
三、解答题(每小题6分,共18分).
17.(6分)解方程:x(x﹣1)=4x﹣4.
18.(6分)已知关于x的一元二次方程x2+7x+11﹣m=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当m为负整数时,求方程的两个根.
19.(6分)如图,△ABC是⊙O的内接等边三角形,弦AD交BC于点E,连接DC.
(1)求∠D的度数;
(2)若AE=8cm,DE=2cm,求AB的长.
四、解答题(每小题7分,共14分)
20.(7分)如图,正方形网格中,△ABC为格点三角形(顶点都是格点),将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1.
(1)在正方形网格中,作出△AB1C1;(不要求写作法)
(2)设网格小正方形的边长为1cm,求线段AB所扫过的图形的面积.(结果保留π)
21.(7分)某服装经营户以20元/件的价格购进一批衣服,以30元/件的价格出售,每天可售出20件.为了促销,该经营户决定降价销售,经调查发现,这种衣服每件降价1元,每天可多售出5件.另外,每天的房租等固定成本共25元,该经营户要想每天盈利200元,应将每件衣服的售价降低多少元?
五、解答题(每小题8分,共16分)
22.(8分)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=﹣5x2+20x,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
23.(8分)为发展学生的核心素养,培养学生的综合能力,某学校计划开设四门选修课:乐器、舞蹈、绘画、书法.学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行整理,绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有 人,在扇形统计图中,m的值是 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在被调查的学生中,选修书法的有2名女同学,其余为男同学,现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动,请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
六、解答题(每小题12分,共24分)
24.(12分)如图,直线AB经过⊙O上的点C,直线AO与⊙O于点E和点D,OB与⊙O交于点F,连接DF,DC.已知OA=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.
(1)求证:①直线AB是⊙O的切线;
②∠EDC=∠FDC;
(2)求CD的长.
25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P,与直线BC相交于点M,连接AC,PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设对称轴与x轴交于点N,在对称轴上是否存在点G,使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在,请求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等,若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2021年四川省泸州市泸县中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分)在每小题给出的四个选项中,有且只有一个是正确的,请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上
1.(3分)方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=x2=0B.x1=x2=2C.x1=0,x2=2D.x1=0,x2=﹣2
【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案.
【解答】解:x2﹣2x=0
x(x﹣2)=0,
解得:x1=0,x2=2.
故选:C.
2.(3分)已知关于x的方程x2+x+2a﹣4=0的一个根是﹣1,则a的值是( )
A.﹣2B.﹣1C.1D.2
【分析】把x=﹣1代入方程x2+x+2a﹣4=0得1﹣1+2a﹣4=0,然后解关于a的方程.
【解答】解:把x=﹣1代入方程x2+x+2a﹣4=0得1﹣1+2a﹣4=0,
解得a=2.
故选:D.
3.(3分)下列事件中,是必然事件的是( )
A.将油滴入水中,油会浮在水面上
B.车辆随机到达一个路口,遇到红灯
C.如果a2=b2,那么a=b
D.掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
【解答】解:A、将油滴入水中,油会浮在水面上是必然事件,故A符合题意;
B、车辆随机到达一个路口,遇到红灯是随机事件,故B不符合题意;
C、如果a2=b2,那么a=b是随机事件,
D、掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上是随机事件,
故选:A.
4.(3分)下面4个图案中,是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
【分析】根据中心对称图形的概念:把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心求解.
【解答】解:A、是中心对称图形,故此选项正确;
B、不是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是中心对称图形,故此选项错误;
D、不是中心对称图形.故此选项错误.
故选:A.
5.(3分)将一元二次方程x2﹣2x=1配方,其正确的结果是( )
A.(x+1)2=2B.(x﹣2)2=5C.(x﹣1)2=1D.(x﹣1)2=2
【分析】两边都加上1,左边化为完全平方式,右边合并即可得到结果.
【解答】解:x2﹣2x=1,
配方得:x2﹣2x+1=1+1,即(x﹣1)2=2.
故选:D.
6.(3分)抛物线y=2(x﹣1)2+3的顶点坐标是( )
A.( 1,3)B.(﹣1,3)C.(1,﹣3)D.(﹣1,﹣3)
【分析】根据抛物线的顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),可直接写出顶点坐标.
【解答】解:由y=2(x﹣1)2+3,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(1,3).
故选:A.
7.(3分)从,0,π,3.14,这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是( )
A.B.C.D.
【分析】从所列五个实数中找到有理数的个数,利用概率公式求解即可.
【解答】解:在所列的5个实数中,有理数的有0,3.14,这3个数,
所以随机抽取一个数,抽到有理数的概率是,
故选:C.
8.(3分)如图,点A、B、C在⊙O上,∠BOC=130°,则∠A的度数是( )
A.65°B.60°C.55°D.50°
【分析】利用圆周角定理计算即可.
【解答】解:∵∠A=∠BOC,∠BOC=130°,
∴∠A=65°.
故选:A.
9.(3分)如图,PA是⊙O的切线,切点为A,OP=4,∠APO=30°,则⊙O的半径长为( )
A.1B.C.2D.3
【分析】连接OA,如图,根据切线的性质得∠OAP=90°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可.
【解答】解:连接OA,如图,
∵PA是⊙O的切线,切点为A,
∴OA⊥PA,
∴∠OAP=90°,
∵∠APO=30°,
∴OA=OP=×4=2,
即⊙O的半径长为2.
故选:C.
10.(3分)如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A'B'C的位置,且A、C、B'三点在同一条直线上,则点A经过的路线的长度是( )
A.8B.4C.πD.π
【分析】由旋转可知,点A经过的路线是弧长,计算出半径和圆心角即可.
【解答】解:Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∵∠BAC=30°,BC=2,
∴∠ACB=60°,
AC=2BC=4,
∵A、C、B'三点在同一条直线上,
∴∠ACA′=120°,
由弧长公式可知:
点A经过的路线长度为:.
故选:D.
11.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣2(k+2)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2,则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是( )
A.﹣8B.﹣5C.1D.2
【分析】先根据△≥0得到k的范围;再将所求式子变形,用韦达定理把它表示成k的代数式;最后根据k的范围得到所求代数式的最小值.
【解答】解:∵x2﹣2(k+2)x+k2+2k=0有两个实数根,
∴△≥0即4(k+2)2﹣4(k2+2k)≥0,
解得k≥﹣2;
∵x1、x2是x2﹣2(k+2)x+k2+2k=0的两个实数根,
∴x1+x2=2k+4,x1•x2=k2+2k,
x12+x22﹣x1•x2+1=(x1+x2)2﹣3x1•x2+1=(2k+4)2﹣3(k2+2k)+1=k2+10k+17=(k+5)2﹣8,
当k≥﹣2时,(k+5)2﹣8的值随k的增大而增大,
∴k=﹣2时,x12+x22﹣x1•x2+1的值最小为(﹣2+5)2﹣8=1.
故选:C.
12.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=﹣3时,函数值小于0,则9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=﹣1时,y=0,则a﹣b+c=0,易得c=﹣5a,所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.
【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,
∴b=﹣4a,即4a+b=0,(故①正确);
∵当x=﹣3时,y<0,
∴9a﹣3b+c<0,
即9a+c<3b,(故②错误);
∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
而b=﹣4a,
∴a+4a+c=0,即c=﹣5a,
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴8a+7b+2c>0,(故③正确);
∵对称轴为直线x=2,
∴当﹣1<x<2时,y的值随x值的增大而增大,
当x>2时,y随x的增大而减小,(故④错误).
故选:B.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.(3分)⊙O的半径为2cm,则⊙O的内接正方形的面积是 8 cm2.
【分析】由正方形的性质得出BD、AC是直径,求出对角线的长,即可得出正方形的面积.
【解答】解:如图所示:
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,BD=AC,
∴BD、AC是直径,
∵⊙O的半径为2cm,
∴BD=AC=2×2=4(cm),
∴正方形ABCD的面积=AC•BD=×4×4=8(cm2),
故答案为:8.
14.(3分)抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是 y=(x﹣2)2+3 .
【分析】根据向右平移横坐标加,向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可.
【解答】解:∵抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,
∴平移后的抛物线顶点坐标为(2,3),
∴得到的抛物线解析式是y=(x﹣2)2+3.
故答案是:y=(x﹣2)2+3.
15.(3分)如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一动点,那么OP长的取值范围是 3≤OP≤5 .
【分析】因为⊙O的直径为10,所以半径为5,则OP的最大值为5,OP的最小值就是弦AB的弦心距的长,所以,过点O作弦AB的弦心距OM,利用勾股定理,求出OM=3,即OP的最小值为3,所以3≤OP≤5.
【解答】解:如图:连接OA,作OM⊥AB与M,
∵⊙O的直径为10,
∴半径为5,
∴OP的最大值为5,
∵OM⊥AB与M,
∴AM=BM,
∵AB=8,
∴AM=4,
在Rt△AOM中,OM=,
OM的长即为OP的最小值,
∴3≤OP≤5.
16.(3分)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,方程ax2+bx+c=0的解是 x=﹣1或x=3 .
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分可知该抛物线的对称轴是x=1,然后由抛物线的对称性求得该图象与x轴的另一个交点,即方程ax2+bx+c=0的另一个解.
【解答】解:根据图示知,抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是x=1,与x轴的一个交点坐标为A(3,0),
根据抛物线的对称性知,抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=1对称,即
抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与A(3,0)关于直线x=1对称,
∴另一个交点的坐标为(﹣1,0),
∴方程ax2+bx+c=0的另一个解是x=﹣1.
故答案为x=﹣1或x=3.
三、解答题(每小题6分,共18分).
17.(6分)解方程:x(x﹣1)=4x﹣4.
【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:移项得:x(x﹣1)﹣4(x﹣1)=0,
(x﹣1)(x﹣4)=0,
x﹣1=0,x﹣4=0,
x1=1,x2=4.
18.(6分)已知关于x的一元二次方程x2+7x+11﹣m=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当m为负整数时,求方程的两个根.
【分析】(1)根据根的判别式的意义得到△=72﹣4(11﹣m)≥0,然后解不等式即可得到m的取值范围;
(2)在(1)的范围内确定m的负整数值为﹣1,则原方程变形为x2+7x+12=0,然后利用因式分解法解此方程.
【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+7x+11﹣m=0有实数根,
∴△=72﹣4(11﹣m)≥0,
∴m≥﹣;
(2)∵m为负整数,
∴m=﹣1,
此时方程为x2+7x+12=0,
解得x1=﹣3,x2=﹣4.
19.(6分)如图,△ABC是⊙O的内接等边三角形,弦AD交BC于点E,连接DC.
(1)求∠D的度数;
(2)若AE=8cm,DE=2cm,求AB的长.
【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等即可求解.
(2)证明△ACE∽△ADC,利用对应边成比例,求出AC,即可求出AB.
【解答】解:(1)∵△ABC是⊙O的内接等边三角形.
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵.
∴∠D=∠ABC=60°.
(2)由(1)可知:∠D=∠ACB.
∵∠EAC=∠CAD.
∴△ACE∽△ADC,
∴.
∴AC2=AD•AE=(8+2)×8=80.
∴.
∵△ABC是等边三角形.
∴AB=AC=4.
四、解答题(每小题7分,共14分)
20.(7分)如图,正方形网格中,△ABC为格点三角形(顶点都是格点),将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1.
(1)在正方形网格中,作出△AB1C1;(不要求写作法)
(2)设网格小正方形的边长为1cm,求线段AB所扫过的图形的面积.(结果保留π)
【分析】(1)按照将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°的要求,画出图形;
(2)根据旋转的知识可知,线段AB所扫过的图形为圆心角为90°,半径为4的扇形,由扇形面积公式求解.
【解答】(1)作图如下:
(2)根据网格图知:AB=4,
线段AB所扫过的图形为圆心角为90°,半径为4的扇形,
其面积为S=π•42=4π.
21.(7分)某服装经营户以20元/件的价格购进一批衣服,以30元/件的价格出售,每天可售出20件.为了促销,该经营户决定降价销售,经调查发现,这种衣服每件降价1元,每天可多售出5件.另外,每天的房租等固定成本共25元,该经营户要想每天盈利200元,应将每件衣服的售价降低多少元?
【分析】设应将每件衣服的售价降低x元,则每件的利润为(30﹣20﹣x)元,每天可售出(20+5x)件,利用每天获得的利润=每件的利润×每天的销售量﹣固定成本,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:设应将每件衣服的售价降低x元,则每件的利润为(30﹣20﹣x)元,每天可售出(20+5x)件,
依题意得:(30﹣20﹣x)(20+5x)﹣25=200,
整理得:x²﹣6x+5=0,
解得:x1=1,x2=5.
答:应将每件衣服的售价降低1元或5元.
五、解答题(每小题8分,共16分)
22.(8分)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=﹣5x2+20x,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
【分析】(1)在y=﹣5x2+20x中,令y=0,得关于x的一元二次方程,求得方程的解,再用较大的x值减去较小的x值即可得出答案.
(2)将y=﹣5x2+20x写成顶点式,根据二次函数的性质可得答案.
【解答】解:(1)∵y=﹣5x2+20x,
∴令y=0,得0=﹣5x2+20x,
解得x1=0,x2=4,
∵4﹣0=4(s),
∴在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是4s.
(2)y=﹣5x2+20x
=﹣5(x﹣2)2+20,
∴当x=2时,y取得最大值,最大值为20.
∴在飞行过程中,在2s时小球飞行高度最大,最大高度是20m.
23.(8分)为发展学生的核心素养,培养学生的综合能力,某学校计划开设四门选修课:乐器、舞蹈、绘画、书法.学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行整理,绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有 50 人,在扇形统计图中,m的值是 30% ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在被调查的学生中,选修书法的有2名女同学,其余为男同学,现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动,请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
【分析】(1)由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数,确定出扇形统计图中m的值;
(2)求出绘画与书法的学生数,补全条形统计图即可;
(3)列表得出所有等可能的情况数,找出恰好为一男一女的情况数,即可求出所求概率.
【解答】解:(1)20÷40%=50(人),15÷50=30%;
故答案为:50;30%;
(2)50×20%=10(人),50×10%=5(人),如图所示:
(3)∵5﹣2=3(名),
∴选修书法的5名同学中,有3名男同学,2名女同学,
所有等可能的情况有20种,其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种,
则P(一男一女)==.
六、解答题(每小题12分,共24分)
24.(12分)如图,直线AB经过⊙O上的点C,直线AO与⊙O于点E和点D,OB与⊙O交于点F,连接DF,DC.已知OA=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.
(1)求证:①直线AB是⊙O的切线;
②∠EDC=∠FDC;
(2)求CD的长.
【分析】(1)①欲证明直线AB是⊙O的切线,只要证明OC⊥AB即可.
②首先证明OC∥DF,再证明∠FDC=∠OCD,∠EDC=∠OCD即可.
(2)作ON⊥DF于N,延长DF交AB于M,在Rt△CDM中,求出DM、CM即可解决问题.
【解答】(1)①证明:连接OC.
∵OA=OB,AC=CB,
∴OC⊥AB,
∵点C在⊙O上,
∴AB是⊙O切线.
②证明:∵OA=OB,AC=CB,
∴∠AOC=∠BOC,
∵OD=OF,
∴∠ODF=∠OFD,
∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC,
∴∠BOC=∠OFD,
∴OC∥DF,
∴∠CDF=∠OCD,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ADC=∠CDF.
(2)解:作ON⊥DF于N,延长DF交AB于M.
∵ON⊥DF,
∴DN=NF=3,
在Rt△ODN中,∠OND=90°,OD=5,DN=3,
∴ON==4,
∵∠OCM+∠CMN=180°,∠OCM=90°,
∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°,
∴四边形OCMN是矩形,
∴ON=CM=4,MN=OC=5,
在Rt△CDM中,∠DMC=90°,CM=4,DM=DN+MN=8,
∴CD===4.
25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P,与直线BC相交于点M,连接AC,PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设对称轴与x轴交于点N,在对称轴上是否存在点G,使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在,请求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等,若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)把三点坐标代入函数式,列式求得a,b,c的值,即求出解析式;
(2)求得抛物线顶点P和N点的坐标,分两种情况根据三角形相似列比例式可得点G的坐标;
(3)根据平行求得的两条直线的解析式,分别于抛物线的解析式联立方程,解方程组即可求得点Q.
【解答】解:(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点代入抛物线解析式得:
,
解得:,
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)存在,
由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
则顶点P(1,4),对称轴为直线x=1,
∴N(1,0),
∵A(﹣1,0)、C(0,3),
∴OA=1,OC=3,
分两种情况:
①当△AOC∽△ONG时,,
即,
∴NG=3,
∴G(1,3)或(1,﹣3),
②当△AOC∽△GNO时,,
即,
∴GN=,
∴G(1,)或(1,﹣),
综上,点G的坐标为G(1,3)或(1,﹣3)或(1,)或(1,﹣);
(3)存在,
设直线BC的解析式为:y=mx+n,
∴,解得:,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+3,
当x=1时,y=2,
∴M(1,2),
∴设过点P与直线BC平行的直线为:y=﹣x+b1,
将点P(1,4)代入,得y=﹣x+5,
,解得:,,
∵P(1,4),
∴Q(2,3),
设过点N(1,0)与直线BC平行的直线为:y=﹣x+b2,
将点N(1,0)代入,得y=﹣x+1,
,解得:,,
∴Q的坐标为(,)或(,),
综上,点Q的坐标为(2,3)或(,)或(,).
男1
男2
男3
女1
女2
男1
﹣﹣﹣
男2男1
男3男1
女1男1
女2男1
男2
(男1男2)
﹣﹣﹣
男3男2
女1男2
女2男2
男3
(男1男3)
男2男3
﹣﹣﹣
女1男3
女2男3
女1
(男1,女1)
男2女1
男3女1
﹣﹣﹣
女2女1
女2
(男1女2)
男2女2
男3女2
女1女2
﹣﹣﹣
相关试卷
这是一份2023年四川省泸州市泸县中考数学一模试卷(含解析),共20页。试卷主要包含了 方程x2=3x的解为, 下列事件为必然事件的是等内容,欢迎下载使用。
这是一份2022-2023学年四川省泸州市泸县中考数学一模试卷(含答案),共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023年四川省泸州市泸县中考数学一模试卷(含解析),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。