2021年高考数学三轮冲刺训练三角函数的图象与性质含解析

三角函数的图象与性质

近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.

知识点1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))

tan(α－β)＝　(T(α－β))

tan(α＋β)＝　(T(α＋β))

知识点2、二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝.

知识点3、在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，

tan αtan β＝1－＝－1.

知识点4、函数f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)或f(α)  ＝cos(α－φ)(其中tan φ＝).

知识点3、 正弦、余弦、正切函数的图象与性质

知识点4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

知识点5．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.

(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：

①化为特殊角的三角函数值；

②化为正、负相消的项，消去求值；

③化分子、分母出现公约数进行约分求值.

（3）通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.

判定三角形形状的2种常用途径

（4）．判定三角形形状的3个注意点

(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；

(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；

（5）与三角形面积有关问题的解题模型

1、设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为

A．   B．

C．  D．

【答案】C

【解析】由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：，

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得.

所以函数最小正周期为

故选C．

2、下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

A．   B．  C．  D．

【答案】BC

【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC．

3、设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在（）有且仅有3个极大值点

②在（）有且仅有2个极小值点

③在（）单调递增

④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A．①④ B．②③

C．①②③ D．①③④

【答案】D

【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，

由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；

②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；

④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，

因为在上有5个零点，

所以当k=5时，，当k=6时，，解得，

故④正确.

③函数=sin（）的增区间为：，.

取k=0，

当时，单调递增区间为，

当时，单调递增区间为，

综上可得，在单调递增.故③正确.

所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.

4、函数f(x)=在的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．

5、下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A．f(x)=|cos2x|     B．f(x)=|sin2x|    

C．f(x)=cos|x|      D．f(x)=sin|x|

【答案】A

【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；

因为，周期为，排除C；

作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；

作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，

故选A．

图1

图2

图3

6、已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】∵为奇函数，∴；

又∴，

又，∴，

∴，故选C.

7、【2020年高考全国III卷理数】关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

8、关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数  ②f(x)在区间（，）单调递增

③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④   B．②④

C．①④  D．①③

【答案】C

【解析】为偶函数，故①正确．

当时，，它在区间单调递减，故②错误．

当时，，它有两个零点：；当时，

，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．

当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．

综上所述，①④正确，故选C．

9、2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，

所以，单位圆的内接正边形的周长为，

单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，

，

则.

故选：A．

10、已知，且，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又.
故选：A．

11、若α为第四象限角，则

A．cos2α>0                                             B．cos2α<0             

C．sin2α>0                                             D．sin2α<0

【答案】D

【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以，

故选：D．

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D．

12、已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=

A．–2  B．–1 

C．1  D．2

【答案】D

【解析】，，

令，则，整理得，解得，即.

故选：D．

13、已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A．           B．       

C．          D．

【答案】B

【解析】，，，又，，又，，故选B．

14、若，则

A．                                                                                       B．

C．                                                                                       D．

【答案】B

【解析】.

故选B.

15、已知=，则的值是   ▲    ．

【答案】

【解析】

故答案为：

16、若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．

【答案】（均可）

【解析】因为，

所以，解得，故可取.

故答案为：（均可）.

17、已知，则_______，_______．

【答案】；

【解析】，

，

故答案为：

18、将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是   ▲    ．

【答案】

【解析】

当时.

故答案为：

19、已知，则的值是  ▲   .

【答案】

【解析】由，得，

解得，或.

，

当时，上式

当时，上式=

综上，

20、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．

【答案】

【解析】设，由题意，，所以，

因为,所以，

因为，所以，

因为与圆弧相切于点，所以，

即为等腰直角三角形；

在直角中，，，

因为，所以，

解得；

等腰直角的面积为；

扇形的面积，

所以阴影部分的面积为.

故答案为：.

一、单选题

1、 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为.

故选：B.

2、（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

故选：C

3、已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

，

.

故选：A

4、已知，与是方程的两个根，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【解析】∵ 与是方程的两个根，

∴+，

∴，，∴，∴，

∵，又

∴.

故选: C

5、已知为锐角，且满足如，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

故，故，

因为为锐角，故，故，

故选：B.

6、在探索系数，，，对函数图象的影响时，我们发现，系数对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数的图象经过四步变换得到函数的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【解析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，

因为左右平移变换是向右平移个单位，

所以要求左右平移变换在周期变换之前，

所以变换的方法共有种，

故选：B.

7、已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题得

所以

因为，

所以

因为，

所以.

故选：D

8、将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】D

【解析】把的图象向左平移个单位长度，得的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得图象的函数式为，

，∴，

∴．

故选：D.

二、多选题

9、设函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是的一个周期 B．的图像可由的图像向右平移得到

C．的一个零点为 D．的图像关于直线对称

【答案】ACD

【解析】的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；

的图像可由的图像向右平移得到，故B错误；

，故C正确；

，故D正确.

故选：ACD

10、已知函数，则下列关于该函数性质说法正确的有（    ）

A．的一个周期是 B．的值域是

C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递减

【答案】AD

【解析】A：因为，

所以是函数的周期，故本选项说法正确；

B：因为，，

所以，

故本选项说法不正确；

C：因为，

所以的图象不关于点对称，

故本选项说法不正确；

D：因为，所以函数是单调递减函数，

因此有，而，所以在区间上单调递减，

故本选项说法正确.

故选：AD

11、如图，已知函数的图象与轴交于点A，B，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的最小正周期为4

C．一个单调增区间为

D．图象的一个对称中心为

【答案】BCD

【解析】由，设，则，，

选项A中，点A处，，则，即，，解得，A错误；

选项B中，依题意，得，故，

最小正周期，B正确；

选项C中，由，得，结合最高点，知，即，当时，，故是的一个单调增区间，C正确；

选项D中，时，故是图象的一个对称中心，D正确.

故选：BCD.

12、关于函数有下述四个结论正确的有（    ）

A．的最小正周期为 B．在上单调递增

C．在上有四个零点 D．的值域为

【答案】AC

【解析】对A，，故的周期为，

又，故的最小正周期为，故A正确；

对B， ，，故在上不单调递增，故B错误；

对C，令，则，即，即，

，或，所以在上有四个零点，故C正确；

对D，的周期为，故只需考查，

当时，，由可得，

当时，，由可得，

的值域为，故D错误.

故选：AC.

13、已知函数（其中）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，，下列结论正确的是（    ）

A．

B．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象

C．当时，有且只有一个零点

D．在上单调递增

【答案】ACD

【解析】由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，，可得，

因为，则，解得，即，

解得，因为，所以，

即函数的解析式，所以A正确；

对于B中，函数的图象向右平移个单位，得到

的图象，所以B不正确；

对于C中，由，所以，当时，函数，

所以C正确；

对于D中，当时，，根据正弦函数的性质，可得函数在该区间上单调递增，所以D正确.

故选：ACD.

三填空题

14、如图所示，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第四象限的点，则______．

【答案】

【解析】由题意，又是第四象限角，∴，∴．

故答案为：．

15、已知，则的值为________．

【答案】

【解析】原式,又∵，

∴原式，

故答案为：.

16、计算______．

【答案】

【解析】

由二倍角公式和诱导公式可得答案.

【详解】

.

故答案为：.

17、在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是O，始边是x轴的非负半轴，，点是终边上一点，则的值是________.

【答案】

【解析】因为，即点在第一象限，所以，

又，

∴．

故答案为：．

18、已知，，则________.

【答案】

【解析】因为，所以且，所以；

又，

所以.

故答案为：.

19、被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________．

【答案】

【解析】：把代入

故答案为：

20、已知函数，当时，把函数的所有零点依次记为，且，记数列的前项和为，则______.

【答案】

【解析】

由得对称轴为，周期为，

根据正弦函数图像性质，得，，，，…，，，.

故答案为：

21、已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则当时，函数的最小值为______.

【答案】

【解析】由题意可得，设函数的最小正周期为，则，得，

，此时，.

因为函数的图象关于直线对称，则，

，，，，则.

，，

因此，函数在区间上的最小值为.

故答案为：.