2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（5）

这是一份2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（5），共16页。试卷主要包含了已知集合，，若，则，欧拉恒等式，若，，则等内容，欢迎下载使用。
考前30天冲刺高考模拟考试卷（5）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，，若，则　　A．2 B．1 C．0 D．2．（5分）欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的．根据欧拉公式，在复平面内对应的点在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）数列是等比数列，首项为1，前三项和为7，则前五项和等于　　A．31 B．61 C．31或61 D．31或814．（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为　　A． B． C． D．25．（5分）已知，都大于零且不等于1，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为　　A． B． C． D．7．（5分）已知抛物线的焦点为，直线过与抛物线交于、两点，且点在第一象限，，则直线的斜率为　　A． B． C．1 D．28．（5分）设数列满足，，且对于任意，都存在正整数使得，则实数的最大值为　　A． B． C．2 D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9．（5分）若，，则　　A． B． C． D．10．（5分）已知数列是等比数列，下列结论正确的为　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则11．（5分）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设各层球数构成一个数列，则　　A． B． C． D．12．（5分）如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则下列结论正确的是　　A．平面 B．平面 C．平面 D．平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）函数的图象在点，（1）处的切线的斜率为　　．14．（5分）能使“函数在区间上不是单调函数，且在区间上的函数值的集合为，．”是真命题的一个区间为　　．15．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则的值是　　．16．（5分）已知为抛物线的一条长度为8的弦，当弦的中点离轴最近时，直线的斜率为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在中，角，，所对边分别为，，，，，点是中点，，求和． 18．（12分）已知数列的前项和为，，．（1）证明：数列为等比数列，并求出；（2）求数列的前项和． 19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值． 20．（12分）现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为．若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为，当时，取得最大值．（1）求；（2）设，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励．经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为万元，求的分布列及其数学期望． 21．（12分）已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．（1）求与的方程；（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且经过点，与交于，两点，与交于，两点，求． 22．（12分）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率．已知函数，，若，则曲线在点，（1）处的曲率为．（1）求；（2）若函数存在零点，求的取值范围；（3）已知，，，证明：．  考前30天冲刺高考模拟考试卷（5）答案1．解：，，，，解得．故选：．2．解：欧拉公式：中．根据欧拉公式，，因为，，所以在复平面内对应的点在第二象限，故选：．3．解：由题意得，解得或，当时，前五项和为，当时，前五项和为．故选：．4．解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，它的斜率：，所以，所以，解得．故选：．5．解：，都大于零且不等于1，，若时，则，所以，若时，则，所以，所以“”可以推出“”，满足充分性；因为，所以，或，，只能推出，不能推出，不满足必要性；所以“”是“”的充分不必要条件．故选：．6．解：由题意可得随机变量服从二项分布，则最多1人被感染的概率为，故选：．7．解：在第一象限，且，直线的斜率存在，且，设直线的方程为，，，，，，，联立，得，①，②，，，即③，由②③解得，，，代入①中，得，（舍负），．故选：．8．解：数列满足，，且对于任意，都存在正整数使得，①若数列是递增数列，则或，存在正整数使得，故需，此时的最大值为3，②若数列是递减数列，则，存在正整数使得，故需，此时的最大值为0，综上可得：的最大值为3，故选：．9．解：，，，．则，故正确；，故错误；，故正确；，故错误．故选：．10．解：数列是等比数列，对于，，即，可得，则，故正确；对于，，可得，由于，当时，，当时，，故不正确；对于，，可得，所以，故，正确；对于，由，可得，可得，所以，故不正确．故选：．11．解：由题意可知，，，，，，故，所以，故选项错误；因为，故选项正确；因为，故选项正确；因为，，所以，故选项错误．故选：．12．解：设正方体的棱长为2，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，，0，，，，，，，与不垂直，则平面错误，故错误；，，，，有，平面，故正确；取中点，连接，，可得，平面，平面，得平面，同理平面，又，平面平面，则平面，故正确；连接，可得，又，，平面，平面，平面，故正确．故选：．13．解：函数，所以，故（1）．故答案为：81．14．解：，其图像如图所示，易得，（1），（2），结合图像可知，函数在区间上符合条件．故答案为：．15．解：设与轴的交点为，过向准线作垂线，垂足为，，，又，，，．故答案为：2．16．解：由题意得抛物线的准线方程为，过作于，过作于，设弦的中点为，过作于，则，设抛物线的焦点为，则，即（当且仅当，，三点共线时等号成立），所以，解得，即弦的中点到轴的最短距离为：．所以点的纵坐标为，，，，，，，，，所以直线的斜率，，此时，当弦的中点离轴最近时，直线的斜率为，故答案为：．17．解：中，，所以，所以，又因为，所以，由，因为，为锐角，所以，中，由余弦定理得，由正弦定理，即，所以，因为，所以．18．（1）证明：，，，又，，，数列是首项为3，公比为3的等比数列，且，；（2）解：由（1）可得：，，，又，，，当时，，当时，，综上，． 19．（1）证明：连结，在直线棱柱中，因为，分别是棱，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，故，又因为，所以，因为，，所以，因此，所以，又因为，，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）解：因为平面，平面，所以，由（1）可知，，又因为，，平面，所以平面，又平面，故，所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，1，，，0，，，1，，所以，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，故，因为轴平面，所以取平面的一个法向量为，所以，又因为二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为．20．解：（1），因为当，所以当时，取得最大值，则；（2）因为，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，所以每场球赛甲队输的概率为，两队平局的概率为，当甲连赢两场时，，且，当甲赢一场平一场时，，且，当甲赢一场输一场或两队连平两场时，，且，当甲输一场平一场时，，且，当甲连输两场时，，且，所以的分布列为：1050故的数学期望为．21．解：（1）因为椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，所以，①双曲线的渐近线为，即，所以右焦点到渐近线的距离为，②又，③由①②③解得，，所以椭圆的方程为，双曲线的方程为．（2）设直线倾斜角为，则，所以，所以直线的方程为，设，，，，，，，，联立，得，所以，，所以，联立，得，所以，，所以，所以．22．（1）解：，若，则，，，因为曲线在点，（1）处的曲率为，所以，又，所以．（2）解：由（1）可得，若函数存在零点，则方程在上有解，即在上有解，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），当且仅当时取等号，从而，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时等号成立，当时，，所以，解得，即实数的取值范围是，．（3）证明：由（2）得，则，则，又，则，所以．