北师大版八年级下册数学期末试卷2(含答案及解析）

这是一份北师大版八年级下册数学期末试卷2(含答案及解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若a＜b，则下列各式成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．2a＞2bC．1+a＞1+bD．
2．（3分）已知等腰三角形的底边是6，腰长为5，则这个等腰三角形的面积是（ ）
A．30B．15C．24D．12
3．（3分）下面四个式子①2a2y＝2a2•xy；②x2+3x2+1＝x2（x2+3）+1；③3mn2﹣6m2n＝3mn（n﹣2m）；④ab﹣ac+a＝a（b﹣c），从左到右不是因式分解的（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）下列三角形中，不一定是直角三角形的是（ ）
A．三角形中有一边的中线等于这边的一半
B．三角形三内角之比是1：2：3
C．三角形有一内角是30°，且有一边是另一边的一半
D．三角形三边分别是m2﹣n2、2mn、m2+n2（m＞n＞0）
5．（3分）若方程的根为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2B．﹣3＜k＜2C．k≠﹣3D．k＜2且 k≠﹣3
6．（3分）用两个全等的直角三角形拼下面的图形：（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形．可以拼成的图形是（ ）
A．（1）（4）（5）B．（2）（5）（6）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（5）
7．（3分）点P的坐标恰好是方程x2﹣2x﹣24＝0的两个根，则经过点P的正比例函数图象一定过（ ）象限．
A．一、三B．二、四C．一D．四
8．（3分）某质监部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率．若设甲厂的合格率为x%，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，由点P（14，1），A（a，0），B（0，a），（0＜a＜14）确定的△PAB的面积是18，则a的值是（ ）
A．3B．5C．12D．3或12
10．（3分）已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（ ）
A．B．C．2D．不能确定
二、填空题（每个小题3分，共18分）
11．（3分）若分式＝0，则x＝ ．
12．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为 ．
13．（3分）如图，若四边形ABCD各内角的平分线相交得到四边形EFGH，则∠F+∠H的度数为 ．
14．（3分）如果不等式组的解集是x＞3，那么m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积为200，则BF的长为 ．
16．（3分）已知四边形ABCD，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝BC，如果AD＝4，DC＝2，则BD的长为 ．
三、简答题（共72分）
17．（10分）解不等式（组）
（1）
（2）
18．（10分）（1）化简：（﹣a）÷
（2）解分式方程：
19．（6分）先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
20．（6分）如图，已知△ABC，AC＜BC，请用尺规作图在BA上取一点P，使得PA+PC＝BA．
23．（12分）2019年6•18年中大促活动中，各大电商分期进行降价促销．某宝店铺热销网红A款服装进行价格促销，促销价比平时售价每件降90元，如果卖出相同数量的A款服装，平时销售额为5万元，促销后销售额只有4万元．
（1）该店铺A款服装平时每件售价为多少元？
（2）该店铺在6.1﹣6.2第一轮促销中，A款服装的销售情况非常火爆，商家决定为第二轮6.16﹣6.18大促再进一批货，经销A款的同时再购进同品牌的B款服装，已知A款服装每件进价为300元，B款服装每件进价为200元，店铺预计用不少于7.2万元且不多于7.3万元的资金购进这两款服装共300件．请你算一算，商家共有几种进货方案？
（3）在6.16﹣6.18促销活动中，A款仍以平日价降90元促销，B款服装每件售价为280元，为打开B款服装的销路，店铺决定每售出一件B款服装，返还顾客现金a元，要使（2）中所购进服装全部售完后所有方案获利相同，a的值应是多少？
24．（12分）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP为正三角形，有PB＝P'P．
故．因此，当A'、P'、P、C共线时，PA+PB+PC有最小值是．
学以致用：（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是 ．
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求的最小值．
（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每个小题3分，共30分）
1．（3分）若a＜b，则下列各式成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．2a＞2bC．1+a＞1+bD．
【分析】不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A、两加同时加﹣1，不等号方向不变，故A成立；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不成立；
C、两边都加1，不等号的方向不变，故C不成立；
D、两边都乘以﹣，不等号的方向改变，故D不成立；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．（3分）已知等腰三角形的底边是6，腰长为5，则这个等腰三角形的面积是（ ）
A．30B．15C．24D．12
【分析】如图，由题意：AB＝AC＝5，BC＝6，作AD⊥BC．利用勾股定理求出AD即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意：AB＝AC＝5，BC＝6，作AD⊥BC．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝3，
在Rt△ADC中，AD＝＝＝4，
∴S△ABC＝•BC•AD＝12，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（3分）下面四个式子①2a2y＝2a2•xy；②x2+3x2+1＝x2（x2+3）+1；③3mn2﹣6m2n＝3mn（n﹣2m）；④ab﹣ac+a＝a（b﹣c），从左到右不是因式分解的（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：①左边不是多项式，不是因式分解；
②右边不是积的形式，不是因式分解；
③符合因式分解的意义；
④ab﹣ac+a＝a（b﹣c+1），则ab﹣ac+a＝a（b﹣c）不是因式分解．
故从左到右不是因式分解的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
4．（3分）下列三角形中，不一定是直角三角形的是（ ）
A．三角形中有一边的中线等于这边的一半
B．三角形三内角之比是1：2：3
C．三角形有一内角是30°，且有一边是另一边的一半
D．三角形三边分别是m2﹣n2、2mn、m2+n2（m＞n＞0）
【分析】根据直角三角形的定义以及判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、三角形中有一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形．
B、三角形三内角之比是1：2：3，这个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°是直角三角形．
C、三角形有一内角是30°，且有一边是另一边的一半，这个三角形不一定是直角三角形．
D、三角形三边分别是m2﹣n2、2mn、m2+n2（m＞n＞0），
∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）若方程的根为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2B．﹣3＜k＜2C．k≠﹣3D．k＜2且 k≠﹣3
【分析】先求出分式方程的解，得出6﹣3k＞0，求出k的范围，再根据分式方程有解得出x+3≠0，x+k≠0，求出x≠﹣3，k≠3，即可得出答案．
【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x+k）得：3（x+k）＝2（x+3），
3x+3k＝2x+6，
3x﹣2x＝6﹣3k，
x＝6﹣3k，
∵方程的根为正数，
∴6﹣3k＞0，
解得：k＜2，
∵分式方程的解为正数，
x+3≠0，x+k≠0，
x≠﹣3，k≠3，
即k的范围是k＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了对分式方程的解的应用，关键是求出6﹣3k＞0和得出x≠﹣3，k≠3，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
6．（3分）用两个全等的直角三角形拼下面的图形：（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形．可以拼成的图形是（ ）
A．（1）（4）（5）B．（2）（5）（6）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（5）
【分析】根据全等三角形的性质，平行四边形，矩形，正方形，菱形，等腰三角形的定义即可判断．
【解答】解：用两个全等的直角三角形可以拼成平行四边形，矩形，等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的定义，平行四边形，矩形正方形，菱形的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）点P的坐标恰好是方程x2﹣2x﹣24＝0的两个根，则经过点P的正比例函数图象一定过（ ）象限．
A．一、三B．二、四C．一D．四
【分析】先根据因式分解法求出方程x2﹣2x﹣24＝0的两个根，再根据各个象限点的坐标特征即可求解．
【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，
（x﹣6）（x+4）＝0，
x﹣6＝0，x+4＝0，
x1＝6．x2＝﹣4，
∵点P的坐标恰好是方程x2﹣2x﹣24＝0的两个根，
∴P（6，﹣4）或（﹣4，6），
故经过点P的正比例函数图象一定过二、四象限．
故选：B．
【点评】考查了正比例函数的性质、解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．（3分）某质监部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高5%，求甲厂的合格率．若设甲厂的合格率为x%，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设甲的合格率为x%，根据某厂的质检部门抽取甲、乙两人加工的相同数量的同一产品进行质量检测，结果甲有48件合格产品，乙有45件合格产品，甲的合格率比乙高5%，可列方程．
【解答】解：设甲的合格率为x%，根据题意得出：
＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键．
9．（3分）如图，由点P（14，1），A（a，0），B（0，a），（0＜a＜14）确定的△PAB的面积是18，则a的值是（ ）
A．3B．5C．12D．3或12
【分析】由S△PAB＝S梯形OBPH﹣S△ABO﹣S△PAH＝（a+1）×﹣a2﹣×1×（14﹣a）＝18，即可求解．
【解答】解：过点P作PH⊥x轴交于点H，
S△PAB＝S梯形OBPH﹣S△ABO﹣S△PAH＝（a+1）×﹣a2﹣×1×（14﹣a）＝18，
解得：a＝3或12，
故选：D．
【点评】本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和图形面积的求法．
10．（3分）已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（ ）
A．B．C．2D．不能确定
【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝1，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是，
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
二、填空题（每个小题3分，共18分）
11．（3分）若分式＝0，则x＝ 3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0，（2）分母≠0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得x2﹣9＝0且x+3≠0，解得x＝3．故答案为3．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
12．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，求出a的值即可
【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣1＝0，
解得：a＝±1，
∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
即a≠1，
∴a的值是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a﹣1≠0且a2﹣1＝0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．
13．（3分）如图，若四边形ABCD各内角的平分线相交得到四边形EFGH，则∠F+∠H的度数为 180° ．
【分析】根据三角形的内角和等于180°和角平分线的定义表示出∠F，∠H，再根据四边形的内角和等于360°计算即可得解．
【解答】解：由题意得∠F＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD，
∠H＝180°﹣∠ADC﹣∠BAD，
所以∠F+∠H＝360°﹣（∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD），
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD＝360°，
∴∠F+∠H＝360°﹣×360°＝180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，主要利用了四边形的内角和等于360°，注意整体思想的利用是解题的关键．
14．（3分）如果不等式组的解集是x＞3，那么m的取值范围是 m≤3 ．
【分析】先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，然后和已知的解集比对，得到关于m的不等式，从而解答即可．
【解答】解：在中
由①得，x＞3
由②得，x＞m
根据已知条件，不等式组解集是x＞3
根据“同大取大”原则m≤3．
故答案为：m≤3．
【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．
15．（3分）如图，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积为200，则BF的长为 12 ．
【分析】先证明Rt△CDE≌Rt△CBF，故CE＝CF，根据△CEF的面积计算CF，根据正方形ABCD的面积计算BC，根据勾股定理计算BF．
【解答】解：∵∠ECF＝90°，∠DCB＝90°，
∴∠BCF＝∠DCE，
∵在△CDE与△CBF中，
∴△CDE≌△CBF，
∴CE＝CF．
因为Rt△CEF的面积是200，即•CE•CF＝200，故CF＝20．
正方形ABCD的面积＝BC2＝256，得BC＝16．
根据勾股定理得：BF＝＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形面积的计算，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证CF＝CE是解题的关键．
16．（3分）已知四边形ABCD，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝BC，如果AD＝4，DC＝2，则BD的长为 3 ．
【分析】过B作BE⊥BD，交DA的延长线于E，判定△ABE≌△CBD（ASA），即可得出AE＝CD＝2，BE＝BD，依据△BDE是等腰直角三角形，DE＝2+4＝6，即可得到BD＝3．
【解答】解：如图，过B作BE⊥BD，交DA的延长线于E，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠CBD＝∠ABE，
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴四边形ABCD中，∠BCD+∠BAD＝180°，
又∵∠BAE+∠BAD＝180°，
∴∠BCD＝∠BAE，
又∵AB＝CB，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE＝CD＝2，BE＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，DE＝2+4＝6，
∴BD＝＝3，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
三、简答题（共72分）
17．（10分）解不等式（组）
（1）
（2）
【分析】（1）①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；依此即可求解．
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解答】解：（1），
4（2x﹣1）＞3（4x﹣1）﹣12，
8x﹣4＞12x﹣3﹣12，
﹣4x＞﹣11，
x＜；
（2），
解①得x＞﹣1.5，
解②得x≤1，
故不等式组的解集为﹣1.5＜x≤1．
【点评】考查了解一元一次不等式（组），解一元一次不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．（10分）（1）化简：（﹣a）÷
（2）解分式方程：
【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）（﹣a）÷，
＝•，
＝，
＝；
（2）去分母得：（x﹣1）（x﹣2）+3（x+3）＝（x+3）（x﹣2），
x2﹣3x+2+3x+9＝x2+x﹣6，
11＝x﹣6，
解得：x＝17，
经检验x＝17是分式方程的解．
【点评】本题考查了分式的混合运算和解分式方程，要熟记分式混合运算法则和解分式方程的步骤是关键．
19．（6分）先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论．
【解答】解：原式＝••
＝x+1．
∵在﹣1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2，
∴当x＝2时，原式＝2+1＝3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原分式化简成x+1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原分式化简，再代入数据求值．
20．（6分）如图，已知△ABC，AC＜BC，请用尺规作图在BA上取一点P，使得PA+PC＝BA．
【分析】作线段BC的垂直平分线MN，直线MN交AB于点P，连接PC，点P即为所求．
【解答】解：如图点P即为所求．
理由：∵MN垂直平分线段BC，
∴PC＝PB，
∴PC+PA＝PB+PA＝AB．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的刚开始灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求∠CHA的度数．
【分析】（1）连接AC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AB＝AC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出AE，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据等边三角形的性质求出∠CAE，再求出∠CAF，从而得到∠EAF，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CHA的度数．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵E为BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
又∵菱形的边AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE＝AB＝×4＝2，
∴菱形ABCD的面积＝BC•AE＝4×2＝8；
（2）在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×60°＝30°，
同理∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝30°+30°＝60°，
∵AE∥CG，
∴∠CHA＝180°﹣∠EAF＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质并准确识图，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键．
22．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使得AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF于DE交于点O．
（1）证明：AF与DE互相平分；
（2）如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．
【分析】（1）证明四边形ADFE是平行四边形即可．
（2）利用勾股定理求出AC，OE即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BE＝EC，AF＝FC，
∴EF∥AB，AB＝2EF，
∵AB＝2AD，
∴AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝8，
∵EF＝AB＝3，
∴OA＝OF＝QC＝2，
∴OD＝OE＝＝．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（12分）2019年6•18年中大促活动中，各大电商分期进行降价促销．某宝店铺热销网红A款服装进行价格促销，促销价比平时售价每件降90元，如果卖出相同数量的A款服装，平时销售额为5万元，促销后销售额只有4万元．
（1）该店铺A款服装平时每件售价为多少元？
（2）该店铺在6.1﹣6.2第一轮促销中，A款服装的销售情况非常火爆，商家决定为第二轮6.16﹣6.18大促再进一批货，经销A款的同时再购进同品牌的B款服装，已知A款服装每件进价为300元，B款服装每件进价为200元，店铺预计用不少于7.2万元且不多于7.3万元的资金购进这两款服装共300件．请你算一算，商家共有几种进货方案？
（3）在6.16﹣6.18促销活动中，A款仍以平日价降90元促销，B款服装每件售价为280元，为打开B款服装的销路，店铺决定每售出一件B款服装，返还顾客现金a元，要使（2）中所购进服装全部售完后所有方案获利相同，a的值应是多少？
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：平时销售数量＝促销后销售数量．
（2）关系式为：72000≤A款服装总价+B款服装总价≤73000．
（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数y的系数为0即可．
【解答】解：（1）设该店铺A款服装平时每件售价x元．根据题意得：
，
解得：x＝450，
经检验知，x＝450是原方程的解．
所以该店铺A款服装平时每件售价450元．
（2）设A款服装购进y件．则B款服装购进（300﹣y）件．
根据题意得：7.2×10000≤300y+200（300﹣y）≤7.3×10000，
解得：120≤y≤130，
所以商家共有11种进货方案；
（3）设总获利为W元，购进A款服装y件，则：
W＝（450﹣300﹣90）y+（280﹣200﹣a）（300﹣y）＝（a﹣20）y+24000﹣300a，
当a＝20时，（2）中所有方案获利相同．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程、一元一次不等式组等知识，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
24．（12分）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP为正三角形，有PB＝P'P．
故．因此，当A'、P'、P、C共线时，PA+PB+PC有最小值是．
学以致用：（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是 5 ．
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求的最小值．
（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值．
【分析】（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，易知△AFP是等边三角形，∠EAB＝90°，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
（2）将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAB＝135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
（3）如图5中，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则易知△AFP是等边三角形，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“垂线段最短”求最小值．
【解答】解：（1）如图3中，
将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，易知△AFP是等边三角形，∠EAB＝90°，
在Rt△EAB中，BE＝＝5，
∵PA+PB+PC＝EF+FP+PB≥BE，
∴PA+PB+PC≥5，
∴PA+PB+PC的最小值为5．
故答案为5．
（2）如图4中，
将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAB＝135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H．
在Rt△EAH中，∵∠H＝90°，∠EAH＝45°，AE＝AB＝2
∴EH＝AH＝2，
在Rt△EHC中，EC＝＝
∵PA+PB+PC＝FP+EF+PC≥CE，
∴PA+PB+PC≥，
∴PA+PB+PC的最小值为．
（3）如图5中，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则易知△AFP是等边三角形，
作EH⊥BC于H，交AD于G．
∵PA+PD+PQ＝EF+FP+PQ≥EH，
易知EG＝AE•sin60°＝，GH＝AB＝2，
∴EH＝2+，
∴PA+PD+PQ≥+2，
∴PA+PD+PQ的最小值为+2．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置．