北师大版八年级下册数学期末试卷3(含答案及解析）

这是一份北师大版八年级下册数学期末试卷3(含答案及解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．y2+x＝1B．x（x﹣1）＝x2﹣2
C．x2﹣1＝0D．x2+＝1
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．x2﹣1＝x（x﹣）D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
4．（3分）若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ）
A．x＝﹣1B．x≠﹣1C．x＝±1D．x＝1
6．（3分）化简：﹣，结果正确的是（ ）
A．1B．
C．D．x2+y2
7．（3分）把方程x2+8x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（ ）
A．4，13B．﹣4，19C．﹣4，13D．4，19
9．（3分）某食堂购买了一批大米和面粉．已知购买大米的袋数是面粉袋数的2倍，购买大米共用了1800元，购买面粉共用了750元，每袋大米比每袋面粉的售价多10元．如果设购买面粉x袋，那么根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．8个
二、填空题（共7小题，计21分）
11．（3分）因式分解：x3﹣xy2＝ ．
12．（3分）若分式方程﹣＝2有增根，则这个增根是 ．
14．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，且点B的对应点D恰好落在BC边上，若∠B＝70°，则∠CAE的度数是 度．
15．（3分）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a2﹣b2+2b的值为 ．
16．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD，在y轴上存在点P，使△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，则点P的坐标为 ．
三、解答题（共5小题，计49分）
18．（9分）解方程：
（1）x（x+2）＝3x+6；
（2）x2+2x﹣1＝0；
（3）．
21．（8分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元．
（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；
（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗．
22．（10分）（1）如图①，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，△ABD绕点A逆时针旋转90°，到△ACE，那么CE，BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ；
（2）如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D，E为BC上两点，且∠DAE＝45°
求证：BD2+CE2＝DE2．
（3）如图③，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC，∠DAE＝60°，BC＝3，若以BD，DE，EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形时，求BE的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，计30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．y2+x＝1B．x（x﹣1）＝x2﹣2
C．x2﹣1＝0D．x2+＝1
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键．
3．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．x2﹣1＝x（x﹣）D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式积的形式，判断即可．
【解答】解：从左到右的变形属于因式分解的是a2﹣ab＝a（a﹣b），
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
4．（3分）若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ）
A．x＝﹣1B．x≠﹣1C．x＝±1D．x＝1
【分析】直接利用分式的值为零的条件得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣1＝0，且x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
5．（3分）如图，▱ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，下列结论错误的是（ ）
A．AC＝BDB．AB∥DCC．BO＝DOD．∠ABC＝∠CDA
【分析】根据平行四边形的性质即可判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，
∴B、C、D正确，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、记住平行四边形的性质是解题的关键，属于中考基础题．
6．（3分）化简：﹣，结果正确的是（ ）
A．1B．
C．D．x2+y2
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝．
故选：B．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）把方程x2+8x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（ ）
A．4，13B．﹣4，19C．﹣4，13D．4，19
【分析】利用配方法求解可得．
【解答】解：∵x2+8x﹣3＝0，
∴x2+8x＝3，
∴x2+8x+16＝3+16，即（x+4）2＝19，
∴m＝4，n＝19，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8．（3分）将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有20种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的有4种，
则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是＝；
故选：D．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）某食堂购买了一批大米和面粉．已知购买大米的袋数是面粉袋数的2倍，购买大米共用了1800元，购买面粉共用了750元，每袋大米比每袋面粉的售价多10元．如果设购买面粉x袋，那么根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设购买面粉x袋，则购买大米的袋数是2x袋，由题意得等量关系：每袋大米＝每袋面粉的售价+10元，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设购买面粉x袋，则购买大米的袋数是2x袋，由题意得：
＝+10，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
10．（3分）若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．8个
【分析】首先把分式转化为3+，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．
【解答】解：＝＝3+
当2x﹣1＝±6或±3或±2或±1时，是整数，即原式是整数．
当2x﹣1＝±6或±2时，x的值不是整数，当等于±3或±1是满足条件．
故使分式的值为整数的x值有4个，是2，0和±1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为3+的形式是解决本题的关键．
二、填空题（共7小题，计21分）
11．（3分）因式分解：x3﹣xy2＝ x（x﹣y）（x+y） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x﹣y）（x+y）．
故答案为：x（x﹣y）（x+y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）若分式方程﹣＝2有增根，则这个增根是 x＝1 ．
【分析】根据分式方程有增根，让最简公分母为0确定增根，得到x﹣1＝0，求出x的值．
【解答】解：根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
则方程的增根为x＝1．
故答案为：x＝1
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，AE平分∠BAD交BC边于点E，且CE＝3，AD的长为 6 ．
【分析】由平行四边形的性质知AD＝BC，AD∥BC，据此得∠DAE＝∠AEB，结合角平分线知∠AEB＝∠BAE，得AB＝BE，由AD＝2AB知点E是BC中点，利用CE＝3可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∵AD＝2AB，
∴BC＝2BE，即点E是BC中点，
∵CE＝3，
∴AD＝BC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和角平分线的性质．
14．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，且点B的对应点D恰好落在BC边上，若∠B＝70°，则∠CAE的度数是 40 度．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝70°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝40°＝∠CAE，
故答案为：40．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
15．（3分）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a2﹣b2+2b的值为 1 ．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到1﹣a﹣b＝0，即a+b＝1，然后利用整体代入的方法计算代数式a2﹣b2+2b的值．
【解答】解：∵﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，
∴1﹣a﹣b＝0．
∴a+b＝1．
∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根．
16．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜5且k≠1 ．
【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜5且k≠1．
故答案为：k＜5且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据二次项系数非零以及根的判别式△＞0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD，在y轴上存在点P，使△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，则点P的坐标为 （0，0）或（0，4） ．
【分析】由平移可得，CD＝AB＝4，CD∥AB，即可得到四边形ABCD为平行四边形，再根据△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，可得CP＝2，进而得出当点P在CD下方时，P（0，0）；当点P在CD上方时，P（0，4）．
【解答】解：由平移可得，C（0，2），D（4，2），
∴CD＝AB＝4，CD∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD面积＝4×2＝8，
又∵△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，
∴△PCD的面积为4，
即×CD×CP＝4，
∴CP＝2，
∴当点P在CD下方时，P（0，0）；当点P在CD上方时，P（0，4），
故答案为：（0，0）或（0，4）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，解题时注意：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
三、解答题（共5小题，计49分）
18．（9分）解方程：
（1）x（x+2）＝3x+6；
（2）x2+2x﹣1＝0；
（3）．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法方程；
（2）利用求根公式解方程；
（3）先把方程化为整式方程，再利用求根公式解方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：（1）x2﹣x﹣6＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3；
（2）∵△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴x＝＝﹣1±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（3）去分母得（x+1）（x2﹣2）﹣（x﹣1）（x2﹣2）＝2（x﹣1），
整理得 x2﹣x﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，
∴x＝，
经检验，原方程的解为x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法，掌握用公式法解一元二次方程的步骤．也考查了解分式方程．
19．（8分）如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝，求DF的长．
【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可；
（2）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可；
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED．
∴CF＝BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
（2）解：如图，作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝，
∴，DF＝2DE．
在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2，
在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，
∴DE＝2EM＝4，
∴DF＝2DE＝8．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，当每次转盘停止后指针所指扇形内的数为每次所得的数（若指针指在分界线时重转）；当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时返现金10元．
（1）试用树状图或列表的方法表示出一次抽奖所有可能出现的结果；
（2）某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少？
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先求得某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
（2）∵某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的有6种情况，
∴某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是：＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元．
（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；
（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗．
【分析】（1）根据题意列出算式即可求出答案．
（2）设购买了x棵，根据题意判断x的范围，然后根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：（1）∵50＜60，
∴120×50＝6000元，
答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元．
（2）∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60＝7200元＜8800元，
∴该中学购买的树苗超过60棵，
∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元，
∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价为100元，此时所需支付的树苗款超过10000元，
而10000＞8800，
∴该中学购买的树苗小于100棵，
设购买了x（60＜x＜100）棵，
根据题意可知：x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800，
解得：x＝220（舍去）或x＝80，
答：这所学校购买了80棵树苗
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
22．（10分）（1）如图①，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，△ABD绕点A逆时针旋转90°，到△ACE，那么CE，BD之间的位置关系为 CE⊥BD ，数量关系为 CE＝BD ；
（2）如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D，E为BC上两点，且∠DAE＝45°
求证：BD2+CE2＝DE2．
（3）如图③，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC，∠DAE＝60°，BC＝3，若以BD，DE，EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形时，求BE的长．
【分析】（1）根据∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
（2）把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接DG，由“SAS”得到△ADG≌△ADE，可得DE＝DG，即可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；
（3）把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接DG，可得AF＝AE，∠ABF＝∠ACB，EC＝BF，∠EAF＝120°，由“SAS”可证△ADE≌△ADF，可得DF＝DE，由以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD．
理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°，到△ACE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
又 BA＝CA，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE＝∠B＝45°且 CE＝BD．
∵∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即 CE⊥BD．
故答案为：CE⊥BD；CE＝BD；
（2）如图2，把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接DG，
则△ACE≌△ABG．
∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°．
∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°．
∴∠GAD＝∠DAE＝45°，
在△ADG和△ADE中，，
∴△ADG≌△ADE（SAS）．
∴ED＝GD，
又∵∠GBD＝90°，
∴BD2+BG2＝DG2，
即BD2+EC2＝DE2；
（3）如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转120°，得到△AFB，
∴△AEC≌△AFB，
∴AF＝AE，∠ABF＝∠ACB，EC＝BF，∠EAF＝120°
∵∠CAB＝120°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ABF＝30°
∴∠FBD＝60°，
∵∠EAF＝120°，∠EAD＝60°，
∴∠DAE＝∠DAF＝60°，且AE＝AF，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（SAS）
∴DF＝DE，
∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形，
∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形，
∴△BDF是直角三角形，
若∠BFD＝90°，且∠FBD＝60°，
∴BD＝2BF＝2EC，DF＝BF＝DE，
∵BC＝BD+DE+EC＝2BF+BF+BF＝（3+）BF＝3+，
∴BF＝1，
∴BD＝2，DE＝，
∴BE＝2+．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．