高考物理二轮考点精练专题17.11《临界问题》（含答案解析）

精练17- 11

第十七部分 物理思维方法

十一、临界问题

一．选择题

1. (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20)如图4，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 (　　)

图4

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

C.ω＝是b开始滑动的临界角速度

D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg

【参考答案】AC

2．如图5所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定在转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是(　　)

图5

A.小球不能到达P点

B.小球到达P点时的速度大于

C.小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力

D.小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力

【参考答案】C

3.(多选)如图6所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(g＝10 m/s2)(　　)

图6

A.2 m/s  　　　B.4 m/s  　　　C.6 m/s  　　　　D.8 m/s

【参考答案】ACD

【名师解析】解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况：(1)小球通过最高点并完成圆周运动；(2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道。

对于第(1)种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤mv2/r，又根据机械能守恒定律有mv2＋2mgr＝mv，可求得v0≥2 m/s，对于第(2)种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr＝mv，可求得v0≤2 m/s，所以v0≥2 m/s或v0≤2 m/s均符合要求，故选项A、C、D正确。

4.如图7所示，球网上沿高出桌面H，网到桌边的距离为L。某人在乒乓球训练中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘。设乒乓球的运动为平抛运动。则乒乓球(　　)

图7

A.在空中做变加速曲线运动

B.在水平方向做匀加速直线运动

C.在网的右侧运动的时间是左侧的2倍

D.击球点的高度是网高的2倍

【参考答案】C

5.(多选)如图8所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，

小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。则(　　)

图8

A.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m

B.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m

C.小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N

D.小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N

【参考答案】AC

[来源:ZX]

6.(多选)(2015·浙江理综)如图9所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则(　　)

图9

A.选择路线①，赛车经过的路程最短

B.选择路线②，赛车的速率最小

C.选择路线③，赛车所用时间最短

D.①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等

【参考答案】ACD

7.(多选)如图10所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是(　　)

图10

A.6 cm   B.15 cm

C.30 cm   D.34 cm

【参考答案】BC

【名师解析】转台以一定的角速度ω旋转，木块M所需的向心力与回旋半径r成正比，在离O点最近处r＝r1时，M有向O点的运动趋势，这时摩擦力Ff沿半径向外，刚好达最大静摩擦力Ffm，即mg－Ffm＝Mω2r1

得r1＝＝ m＝0.08 m＝8 cm

同理，M在离O点最远处r＝r2时，有远离O点的运动趋势，这时摩擦力Ff的方向指向O点，且达到最大静摩擦力Ffm，即mg＋Ffm＝Mω2r2

得r2＝＝ m＝0.32 m＝32 cm

则木块M能够相对转台静止，回旋半径r应满足关系式r1≤r≤r2。选项B、C正确。

二．计算题

1.如图3所示，水平转台上放有质量均为m的两个小物块A、B，A离转轴中心的距离为L，A、B间用长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：

图3

(1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？

(2)当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？

【审题指导】

(1)转台的角速度较小时，向心力由什么力来提供？

静摩擦力

(2)物块A、B谁先达到最大静摩擦力？

物块B

(3)细线上何时开始出现张力？

物块B达到最大静摩擦力时

(4)细线上有张力时，谁提供物块A、B的向心力，列出表达式？

对A：FfA－F＝mω2rA__对B：Ffm＋F＝mω2rB

(5)两物块何时开始滑动？

物块A达到最大静摩擦力时开始滑动，即Ffm＝μmg

【名师解析】　(1)细线上开始出现张力时，B物块受到的静摩擦力刚好达到最大值，在此临界状态时，细线上的张力还是零。对B物块，由牛顿第二定律得μmg＝mωrB，rB＝2L，解得此时转台的角速度ω1＝＝

答案　(1)　(2)

方法提炼

解决此类问题的一般思路

首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态，其次分析该状态下物体的受力特点，最后结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。[来源:学.科.网]

2.在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度大小为a．的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足的条件．

【名师解析】

A车的位移x1=v0t+·(-2a)t2

B车的位移x2=at2

x1=x2+s

即：v0t+·(-2a)t2=at2+s

整理得：3 at2-2v0t +2s=0

这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式小于零时，t无实数解，即两车不相撞。

由(2v0)2-4×3a×2s<0，解得：v0≤。

即A车的初速度v0满足的条件是：v0≤。．

3．（2012·重庆理综）某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s。比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点。整个过程中球一直保持在球拍中心不动。比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0，如题115A图所示。设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g。

（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数；

（2）求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；[来源:]

（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件。

【名师解析】：

（1）在匀速运动阶段，有mgtanθ0=kv0，

解得：k=tanθ0。

（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为N’，有N’sinθ-kv=ma，

N’cosθ=mg

联立解得：tanθ=+tanθ0。

球不从球拍上掉落的条件为  a’t2≤r。

解得sinβ≤cosθ0。

3（2003全国新课标）中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大。现有一种子星，观测到它的自转周期为T=1/30 s，问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.67×10-11N·m2/kg2)

【名师解析】设位于赤道处的小块物质质量为m，物体受到的中子星的万有引力恰好提供向心力，这时中子星不瓦解且有最小密度，由万有引力定律结合牛顿第二定律得：G=m()2R 

又因ρ=M/V，V=πR3,，

联立解得ρ=。

代入数据解得：ρ=1.27×1014kg/m3．

4．（2004·上海物理）滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，沿一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如题117A图所示，斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ.              假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变.求：

（1）滑雪者离开B点时的速度大小；

（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s.

（2）设滑雪者离开B点后落在台阶上

可解得                      ④

此时必须满足                    ⑤

当                               ⑥

时，滑雪者直接落到地面上，

可解得                   ⑦

5.（2007·全国理综1）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向内的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为2︰5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

【名师解析】：

粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动，qvB=m，

解得：r=。

速度小的粒子将在x<a的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，竖直荧光屏上发亮的范围从0到2a。

轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场。考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（图中虚线），OD=2a，这是水平荧光屏上发亮范围的左边界。

速度最大的粒子的轨迹如图这实线所示。由两段圆弧组成，圆心分别是C和C’ ，C在y轴上， 由对称性可知C’在x=2a直线上。

设t1为粒子在0<x<a的区域运动的时间，t2为粒子在x>a的区域运动的时间，由题意可知：。

由此解得，    。

由上面两式和对称性可得：∠OCM=60°，∠MC’N=60°，

∠MC’P=360°×5/12=150°，

所以：∠NC’P=150°-60°=90°。

即弧NP为1/4圆周，因此圆心C’在x轴上。

6.（2015深圳第一次五校联考）.（18分）如图所示，内圆半径为r、外圆半径为3r的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。圆环左侧的平行板电容器两板间电压为U，靠近M板处静止释放质量为m、 电量为q的正离子，经过电场加速后从N板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场。求：

（1）离子从N板小孔射出时的速率；

（2）离子在磁场中做圆周运动的周期；

（3）要使离子不进入小圆区域，电压U的取值范围。

【名师解析】

(1)设离子射入匀强磁场时的速率为v，由动能定理得:

     ...... 3分

   ......2分

(3)若离子恰好不进入小圆，设离子与小圆相切时轨道半径为R0，此时轨迹如图所示

由几何关系得：  ......2分  [来源:学§科§网Z§X§X§K]

解得：  ......1分

又   ......1分

     ......1分

......1分

 联立解得   ......2分

7 如题114A图所示，一大木箱放在平板车的后部，到驾驶室的距离为L=1.60m，木箱与平板车之间的动摩擦因数为μ=0.484，平板车以恒定的速度v0=22.0m/s匀速行驶，突然驾驶员刹车，使车均匀减速，为不让木箱撞击驾驶室，从开始刹车到车完全停定，至少要经过多长时间？（g取10.0m/s2）

【名师解析】设平板车的加速度为a1，车经时间t停定，车的位移为s1，则：
v0-a1t=0    ①
v02＝2a1s1②
[来源:Zx.Com]

当a1取最大值5.0m/s2代入①得t＝4.4s  ⑦

即为不让木箱撞击驾驶室，从开始刹车到车完全停定，至少要经过4.4s。