北京市2020-2021学年九年级第二学期数学零模试题（word版 含答案）

这是一份北京市2020-2021学年九年级第二学期数学零模试题（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020~2021学年九年级第二学期数学零模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为（　　）
A．0.5×10﹣4 B．5×10﹣4 C．5×10﹣5 D．50×10﹣3
3．用直角三角板作的高，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，数轴上，两点的位置如图所示，则下列说法中，能判断原点一定位于、之间的是（ ）

A． B． C． D．、互为倒数
5．如图，在的方格纸上，记，，，则（ ）


A． B． C． D．
6．某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．“一带一路”倡议提出五年多来，交通、通信、能源等各项相关建设取得积极进展，也为增进各国民众福祉提供了新的发展机遇．下图是2017年“一年一路”沿线部分国家的通信设施现状统计图．

根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ）．
A．互联网服务器拥有个数最多的国家是阿联酋
B．宽带用户普及率的中位数是11.05%
C．有8个国家的电话普及率能够达到平均每人1部
D．只有俄罗斯的三项指标均超过了相应的中位数
8．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大变化，其体温（）与时间（小时）之间的关系如图1所示．

小清同学根据图1绘制了图2，则图2中的变量有可能表示的是（ ）．
A．骆驼在时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）
B．骆驼从0时到时刻之间的最高体温与当日最低体温的差
C．骆驼在时刻的体温与当日平均体温的绝对差
D．骆驼从0时到时刻之间的体温最大值与最小值的差

二、填空题
9．全英羽毛球公开赛混双决赛，中国组合鲁恺 / 黄雅琼，对阵马来西亚里约奥运亚军陈炳顺/吴柳萤，鲁恺/黄雅琼两名小将的完美配合结果获胜．如图是羽毛球场地示意图，x 轴平行场地的中线，y 轴平行场地的球网线，设定鲁恺的坐标是（3，1），黄雅琼的坐标是（0，－1），则坐标原点为__________．

10．如果，那么代数式的值是__________．
11．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是____m．

12．小字计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为___元.
菜品
单价（含包装费）
数量
水煮牛肉（小）
30元
1
醋溜土豆丝（小）
12元
1
豉汁排骨（小）
30元
1
手撕包菜（小）
12元
1
米饭
3元
2


三、解答题
13．计算：．
14．解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
15．如图，在△ABC中，，于点D，为边上的中线．求证：．

16．已知关于x的方程．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）若m为整数，且此方程有两个互不相等的负整数根，求m的值；
17．下面是小如同学设计的“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程

已知：，．
求作：的外接圆．
作法：如图，
①分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
②作直线，交于点；
③以为圆心，为半径作．
即为所求作的圆．
根据小如同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．

（2）完成下面的证明：
证明：连接，，，，，
由作图，，，
且（__________）（填推理的依据）．
，
（__________）（填推理的依据）．
，
，，三点在以为圆心，为直径的圆上．
为的外接圆．
18．在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAB=60°，且AB=4，求OE的长．

19．已知点P（1，3），Q（3，m）是函数图象上两点.
（1）求k值和m值.
（2）直线 与的图象交于A，直线与直线平行，与x轴交于点B，且与的图象交于点C．若线段OA，OB， BC及函数 图象在AC之间部分围成的区域内（不含边界）恰有2个整点，结合函数图象，直接写出b的取值范围.（注：横纵坐标均为整数的点称为整点）

20．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于年月日至月日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
（收集数据）从甲、乙两校各随机抽取名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
甲




















乙




















（整理、描述数据）按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩



甲



(说明：优秀成绩为，良好成绩为、合格成绩为 )
（分析数据）两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示：
学校
平均数
中位数
众数
甲



乙



其中
（得出结论）（1）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是 校的学生；(填“甲”或“乙”)
（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为_____；
（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB＝∠BAE＝45°．

（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AD，AC＝，tan∠ADC＝3，求CD的长．
22．在平面直角坐标系中，二次函数与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为，
①求此时二次函数的解析式；
②当时，函数值y的取值范围是，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象，求m的取值范围．
23．已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．

24．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则称P′为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(3，4)，N(，0)，T(1，)关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②点D的坐标为(2，0)，DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；
(2)保持(1)中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为(1，0)，半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答.
问题1：若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，则r的最小值为__________.
问题2：若点P关于⊙C的限距点P′不存在，则r的取值范围为_________.



参考答案
1．D
【分析】
根据轴对称图形的概念进而判断求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】
考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
2．C
【详解】
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，
0.00005＝，
故选C.
3．C
【分析】
根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
4．B
【分析】
由题意结合数轴直接根据实数的运算法则，分别对选项进行判断即可．
【详解】
解：A选项：假设，，满足，但原点不在、之间；
B选项：，则一定有，故能判断原点一定位于、之间；
C选项：假设，，满足，但原点不在、之间；
D选项：假设，，满足互为倒数，但原点不在、之间.
故选：B．
【点睛】
本题考查实数与数轴.注意掌握数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．
5．C
【分析】
根据题意作GM∥EF,BN∥GH,根据平行线的性质即可作出判断这三个角的大上关系.
【详解】
解：如图所示，过点G，B分别作GM∥EF,BN∥GH,设EF与GH相交 于点P，BN与DG相交于点Q.
∵GH∥CE，
∴∠GPF=∠,
∵GM∥EF,
∴∠MGP=∠GPF=,
∵∠DGP>∠MGP,
∴.
同理可证得：>
∴.
故选C.


【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键
.
6．A
【分析】
首先设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度是1.2x千米/时，进而利用1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达得出等式求出答案．
【详解】
解：设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度是1.2x千米/时，根据题意可得：
故选A．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
7．C
【分析】
由题意根据统计图提供的信息，利用众数、中位数以及平均数的求解方法进行分析判断.
【详解】
解：A选项：互联网服务器拥有个数最多的国家是俄罗斯，原说法错误；
B选项：宽带用户普及率从小到大排列，依次是1．1，1．2，8．2，10．1，10．4，11．5，11．7，12．9，17．5，27．8，故中位数为，原说法错误；
C选项：电话普及率在100部/百人的有8个国家，即有8个国家的电话普及率能够达到平均每人1部，正确；
D选项：明显可以得到，新加坡的三项指标也均超过了相应的中位数，原说法错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查统计图表的识图能力，中位数、平均数的意义，通过复杂的统计图中获取有用的数据是做出判断的前提．
8．B
【分析】
根据时间和体温的变化，将时间分为3段：0-4，4-8，8-16，16-24，分别观察每段中的温差，由此即可求出答案．
【详解】
解：观察可得从0时到4时，温差随时间的增大而增大，在4时达到最大，是2℃；再到8时，这段时间的最高温度是37℃，最低是35℃，温差不变，从8时开始，最高温度变大，最低温度不变是35℃，温差变大，达到3℃，从16时开始体温下降，温差不变．则图2中的变量有可能表示的是骆驼从0时到时刻之间的最高体温与当日最低体温的差．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小以及理解本题中温差的含义是解决本题的关键．
9．O1
【分析】
根据黄雅琼的位置即可确定坐标原点的位置．
【详解】
∵鲁恺的坐标是（3，1），黄雅琼的坐标是（0，−1），
∴坐标原点为O1，
故答案为：O1．
【点睛】
本题考查了坐标确定位置的知识，解题的关键是能够了解（0，−1）在坐标原点的下面一个单位，属于基础题，难度不大．
10．．
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：当时，
即






故答案是：．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．
11．
【详解】
试题分析：首先根据题意，可得，然后根据圆的周长公式，求出直径是2m的圆的周长是多少；最后用直径是2m的圆的周长除以3，求出的长是多少即可．
解：根据题意，可得，
∴（m），
即的长是m．
故答案为．
考点：弧长的计算．
12．54
【分析】
根据满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，即可得到结论．
【详解】
解：小宇在购买表中所有菜品时，应采取这样的下订单方式：水煮牛肉订一单，豉汁排骨订一单，醋溜土豆丝和手撕包菜还有2份米饭合订一单共订了3份30元订单，
故他点餐总费用最低可为元，
答：他点餐总费用最低可为54元．
故答案为54．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
13．
【分析】
根据实数的性质化简即可求解．
【详解】

=
=
=．
【点睛】
此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
14．≤x＜2，非负整数解为：1．
【分析】
分别计算出两个不等式的解集，根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再找出解集范围内的非负整数即可．
【详解】
解：，
由①得：x≥；
由②得x＜2．
∴不等式组的解集为≤x＜2，
∴非负整数解为：1．
【点睛】
此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确求得不等式组的解集，再根据得到的条件确定不等式组的特殊解．
15．见解析
【分析】
根据直角三角形的两锐角互余即可证得∠BAD＝∠C，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明△CDE是等腰三角形，利用等腰三角形的性质，以及等量代换即可证得．
【详解】
证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝90°，
又∵AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴∠DAC＋∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C．
∵DE是直角△ACD斜边上的中线，
∴DE＝AC＝EC，
∴∠C＝∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，理解直角三角形被斜边上的中线分成两个等腰三角形是关键．
16．（1）见解析；（2）m=1.
【分析】
（1）分两种情况证明，当m=0时，此方程为4x+4=0，方程有一个实数根；当m≠0时，此方程为一元二次方程，根据根与判别式的关系即可求解；
（2）根据求根公式可得x1，x2．再根据方程有两个互不相等的负整数根，得到m=1或2或3，再进行讨论得到m的值．
【详解】
（1）证明：当m=0时，此方程为4x+4=0，解得x=－1，即m=0时此方程有一个实数根；
当m≠0时，此方程为一元二次方程，
∵△=
=≥0，
∴方程总有两个实数根．
综上所述，无论m取何值方程均有实数根．
（2）解：∵，
∴，．
∵方程有两个互不相等的负整数根，
∴，
∴或
∴0 ∵m为整数，∴m=1或2或3．
当m=l时，，符合题意：
当m=2时，，不符合题意；
当m=3时，，但不是整数，不符合题意．
∴m=1．
故答案为（1）见解析；（2）m=1．
【点睛】
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了求根公式．
17．（1）见解析；（2）作图见解析，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【分析】
（1）由题意利用尺规作图的方法，根据要求作出图形即可；
（2）根据题意利用直角三角形斜边中线的性质以及垂直平分线的性质进行分析即可．
【详解】
解：（1）作图如下，

（2）连接，，，，

由作图可知，，，
且（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
，
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
，
三点在以为圆心，为直径的圆上．
为的外接圆．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关的基本知识．
18．(1)证明见解析；(2)2.
【分析】
（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】
(1)∵AB∥DC，
∴∠CAB＝∠ACD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠ACD，
∴DA＝DC．
∵AB＝AD，
∴AB＝DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝AD，
∴四边形 ABCD是菱形；
(2)∵四边形 ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠OAB＝30，∠AOB＝90°．
∵AB＝4，
∴OB＝2，AO＝OC＝2．
∵CE∥DB，
∴四边形 DBEC是平行四边形．
∴CE＝DB＝4，∠ACE＝90°．
∴.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（1）；（2）2 【分析】
先将P点代入求出函数表达式，然后将Q点代入求出m的值；
b的值未给定时，要从b>0与b<0两种情况下分别讨论，得到b的取值范围即可.
【详解】
(1) ∵点P（1，3）在函数图象上
∴ ∴k=3 ∴函数表达式为
∵Q（3，m）在函数图象上
∴
（2）观察函数图像可知2 【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是结合函数图像进行求解.
20．【分析数据】80；【得出结论】（1）甲；（2）；（3）选乙，理由见解析
【分析】
-【分析数据】由原始数据根据众数的概念可得；
【得出结论】（1）根据两个学校成绩的中位数判断可得；
（2）利用概率公式进行计算即可；
（3）根据平均数和中位数这两方面的意义解答可得．
【详解】
解：【分析数据】∵乙校的20名同学的成绩中80分出现次数最多，
∴众数为80分，即a=80；
【得出结论】（1）∵甲校的中位数为60分，小明同学的成绩高于此学校的中位数，
∴由表中数据可知小明是甲校的学生；
（2）∵乙校的20名同学的成绩中80分以上的有2人；
∴从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为：；
（3）∵乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数75高于甲校的中位数，说明乙校分数不低于70分的人数比甲校多，
∴乙校的成绩较好．
【点睛】
本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数、平均数以及简单概率，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
21．（1）见解析（2）
【分析】
（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB＝90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB＝∠OBA＝45°，求出∠OAE＝∠OAB＋∠BAE＝90°，即可得出结论；
（2）作AF⊥CD于F，证出，由圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD＝45°，由三角函数求出AF＝CF＝AC•sin∠ACF＝2，DF＝，即可得出CD的长．
【详解】
（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：

∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠OAE＝∠OAB＋∠BAE＝90°，
∴AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：作AF⊥CD于F，如图2所示：

∵AB＝AD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°，
∵AC＝2，
∴在Rt△AFC中，AF＝CF＝AC•sin∠ACF＝2×＝2，
∵在Rt△AFD中，tan∠ADC＝＝3，
∴DF＝，
∴CD＝CF＋DF＝2＋＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定，由三角函数求出AF和DF是解决问题（2）的关键．
22．（1）①，②；（2）或
【分析】
（1）①令x=3，则y=−x2+2mx+4−m2=0，解方程即可得到m的值，从而得到二次函数的解析式；②由①可得二次函数的对称轴为x=1，然后根据二次函数的增减性可以得解；
（2）令y=0，可以得到二次函数图象与x轴交点，然后根据二次函数的增减性可以得解．　
【详解】
（1）①二次函数为，对称轴为．
令有：，解得：或．
∵为该二次函数图象与x轴靠右侧的交点，
∴点B在对称轴右侧，
∴，故．
∴二次函数解析式为．
②由于二次函数开口向下，且对称轴为．
∴时，函数值y随x的增大而减小；
∴当时，函数取得最大值3；
当时，函数取得最小值，
∴在范围内解得．
（2）令，得，解得，，
将函数图象在x轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：
当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随ⅹ的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小．
因此，若当时，y随x的增大而增大，结合图象有：
①，即时符合题意；
②且，即时符合题意．
综上，m的取值范围是或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数解析式的求法、二次函数的对称轴与增减性是解题关键 ．
23．（1）如图所示见解析；（2）见解析；（3）OP=2.证明见解析.
【分析】
（1）根据题意画出图形即可．
（2）由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得证．
（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP=∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD=NC，DM=CP．此时加上ON=QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC=QD．再设DM=CP=x，所以OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于点M、Q关于点H对称，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可
【详解】
解：（1）如图1所示为所求．

（2）设∠OPM=α，
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN
∴∠MPN=150°，PM=PN
∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α
∵∠AOB=30°
∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α
∴∠OMP=∠OPN
（3）OP=2时，总有ON=QP，证明如下：
过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2

∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°
∵∠AOB=30°，OP=2

∴DH=OH-OD=1
∵∠OMP=∠OPN
∴180°-∠OMP=180°-∠OPN
即∠PMD=∠NPC
在△PDM与△NCP中

∴△PDM≌△NCP（AAS）
∴PD=NC，DM=CP
设DM=CP=x，则OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
∴HQ=MH=x+1
∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x
∴OC=DQ
在△OCN与△QDP中

∴△OCN≌△QDP（SAS）
∴ON=QP
【点睛】
本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON=QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2为条件构造全等证明ON=QP．
24．(1)①点M、点T关于⊙O的限距点不存在，点N关于⊙0的限距点存在，坐标为(1，0)；②﹣1≤x≤﹣或x＝1；(2)问题1：；问题2：0＜r＜.
【分析】
(1)①根据限距点的定义即可判断.
②分三种情形：①当点P在线段EF上时，②当点P在线段DE、DF(不包括端点)上时，③当点P与点D重合时，分别说明即可解决问题.
(2)问题1：如图2中，△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，列出不等式即可解决.
问题2：如图2中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，列出不等式即可解决.
【详解】
解：(1)①如图

M(3，4)，N(，0)，T(1，)

当⊙O的半径为1时即
，点M的限距点不存在；
，点T的限距点不存在；
，，点N的限距点存在即为
所以点M、点T关于⊙O的限距点不存在，点N关于⊙O的限距点存在，坐标为(1，0).
②∵点D坐标为(2，0)，⊙O半径为1，DE、DF分别切⊙O于E、F，





由对称可得F(，﹣)
∴切点坐标为(，)，(，﹣)，
如图所示，不妨设点E(，)，点F(，﹣)，EO、FO的延长线分别交⊙O于点E′、F′，则E′(﹣，﹣)，F′(﹣，).

设点P关于⊙O的限距点的横坐标为x，
①当点P在线段EF上时，直线PO与⊙O的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x满足﹣1≤x≤﹣.
②当点P在线段DE、DF(不包括端点)上时，直线PO与⊙O的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故点P关于⊙O的限距点不存在.
③当点P与点D重合时，直线PO与⊙O的交点P′(1，0)，满足PP′＝1，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x＝1.
综上所述点P关于⊙O的限距点的横坐标x的范围为﹣1≤x≤﹣或x＝1.
(2)问题1：如图中，

∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心，
∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，
∴图中△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，
∵PC∥ED，
∴＝＝，
∴PC＝，
由题意：r≤﹣r≤2r，
∴，
∴r的最小值为.
问题2：如图中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，

∵HC＝，
∴﹣r＞2r，
∴r＜，
∴0＜r＜时点P的限距点不存在.
故答案分别为，0＜r＜.
【点睛】
本题考查了圆与三角形的综合，且是知识迁移创新题，正确理解限距点的定义是解题的关键.