江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

江苏省响水中学2020～2021学年度秋学期高二年级期末考试

数学试题

命题人：   审核人：

考生注意：

1.本试题分第I卷和第II卷，共4页。

2.满分150分，考试时间为120分钟。

第I卷（60分）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）

1．命题“”的否定是(    )

A．               B．

C．               D．

2．若函数的导函数为，则可能是(    )

A．          B．          C．            D．

3．抛物线的准线方程是(    )

A．             B．          C．          D．

4.设为等比数列，为等差数列，且为数列的前项和，若，

，且，则（    ）

A.20                B.30               C.44              D.88

5．17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程

表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意

一点（异于两点）向长轴引垂线，垂足为，则为常数．据

此推断，此常数的值为(    )

A．椭圆的离心率                    B．椭圆离心率的平方

C．短轴长与长轴长的比              D．短轴长与长轴长比的平方

6.已知，，，若共面，则等于(    )

A．9             B．－9               C．－3              D．3

7．设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是(    )

A.            B.               C.             D.

8．已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且对任意实数都

有，则不等式的解集为(    )

A．        B．            C．           D．

二、多选题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上。)

9．下列命题为真命题的是(    )

A.若，则                     B.若，则

C.若，则                D.若，则

10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，在双曲线的右支上存在点，使得，则此双曲线的离心率的可能取值为(    )

A.5              B.                  C.               D.

11．设数列的前项和为，，且，则(    )

A．       B．是等差数列     C．         D．

12．已知函数（为常数），则下列结论正确的有(    )

A.时，恒成立       B.若有3个零点，则的范围为

C.时，是的极值点  D.时，仅有1个零点，

第II卷（90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13．若直线垂直于平面，且的方向向量为，的法向量为，则实数的值为____________．

14．已知函数在处取得极值，则____________．

15．已知，，且，则的最小值是____________．

16．已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为____________．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）在递增的等比数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱，在底面中，，，棱，分别是的中点．

(1)求的模；

(2)求的值；

(3)求证：

19．（本小题满分12分）已知函数．

（1）求函数在处切线的斜率；

（2）若与有三个不同的交点，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）如图，在几何体中，平面，平面，，，又，．

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

21．（本小题满分12分）已知函数

（1）讨论的单调性.

（2）当时，证明：

22．（本小题满分12分）如图，已知三点在抛物线上，点关于轴对称(点在第一象限)，直线过抛物物线的焦点，，

(1)求的值；

(2)设的面积分别为，求的最小值．

江苏省响水中学2020～2021学年度秋学期高二年级期末考试

数学试题答案

一、单选题

1~5. ADDCD   6~8. BDB

二、多选题

9. AC    10. BC   11. ACD   12. BD

三、填空题

13．         14．        15．       16．

四、解答题

17．解：（1）由题意可得，

解得，．故................................ 5分

（2）由（1）可得，则，

故.......................... 10分

18．解：（1）如图，建立空间直角坐标系．

依题意得，，

所以............................4分(2)依题意得，，，．

所以，，，，，

所以.................................8分

证明：(3)依题意得，，

，．

所以，

所以，即......................................12分

19．解：（1），定义域为，

又．

函数在处切线的斜率为...................6分

（2）当或时；当时

在递增，在递减，在递增．

函数的极大值为，

函数的极小值为．

又与有三个不同的交点，

................................................12分

20．

解：如图，过点作的垂线交于，以为原点，

分别以为轴建立空间直角坐标系.

∵，∴，

又，则点到轴的距离为1，到轴的距离为

则有，，，，.

（1）设平面的法向量为，

∵，

则有，取，

得，又，

设与平面所成角为，

则，

故与平面所成角的正弦值为.............................6分

（2）设平面的法向量为，

∵，

则有，取，得，

，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为...............12分

21．解：(1)

①若，则，在上单调递增；

②若，则当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减....................6分

证明：(2)因为，所以只需证，

当时，由(1)知，在上单调递增，在上单调递减，

所以，

记，则，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

综上，当时，，即，

即..............................................12分

22．解：（1）设PQ：，

由得，

所以，即.......................................4分

（2）设AP：，由得，

所以，所以，

所以AP：，即AP过定点.............................6分

所以，

， 

所以，

当且仅当，时等号成立，

所以的最小值为....................................12分