2021年高考数学真题模拟测试卷二含解析

这是一份2021年高考数学真题模拟测试卷二含解析，共46页。试卷主要包含了718…为自然对数的底数等内容，欢迎下载使用。

2021年高考数学真题+模拟重组卷（新高考地区专用）
（一）历年真题精选
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·海南高考真题）（ ）
A．1 B．−1
C．i D．−i
【答案】D
【详解】

故选：D
2．（2018·天津高考真题（理））设全集为R，集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
3．（2015·四川高考真题（理））设，都是不等于的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.
4．（2015·山东高考真题（文））设函数，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，当时，即，则
，解得（舍去）；当时，即，则，解得，故选D．
5．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
6．（2017·全国高考真题（文））函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
由诱导公式可得，
则,
函数的最大值为.
所以选A.
7．（2016·全国高考真题（理））(2016高考新课标III，理3)已知向量 , 则ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意，得，所以，故选A．
8．（2020·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）


A．20° B．40°
C．50° D．90°
【答案】B
【详解】
画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..
由于，所以，
由于，
所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.
故选：B

二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·海南高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【详解】
由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
10．（2020·海南高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）


A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
11．（2020·海南高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【详解】
对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
12．（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【详解】
对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.
由于，所以，所以，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2015·广东（理））已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．
【答案】
【解析】
随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q=，则p=，
故答案为．
14．（2018·全国高考真题（理））函数在的零点个数为________．
【答案】
【详解】
详解：

由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
15．（2018·江苏高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
【答案】.
【解析】
由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
16．（2019·北京高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】-1; .
【详解】
若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
18．（2015·山东高考真题（理））设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；
单调递减区间是
（Ⅱ） 面积的最大值为
【解析】（Ⅰ）由题意知

由 可得
由 可得
所以函数 的单调递增区间是 ；
单调递减区间是
（Ⅱ）由 得
由题意知为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即： 当且仅当时等号成立.
因此
所以面积的最大值为
19．（2015·重庆高考真题（理））如图，三棱锥中，平面

，，．分别为线段上的点，且．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE
由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CDDE
由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD
（2）解：由（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，
故FB＝２．
由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．
以Ｃ为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），

设平面的法向量，
由，，

得.
由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即.
从而法向量，的夹角的余弦值为，
故所求二面角A-PD-C的余弦值为.
20．（2014·全国高考真题（理））
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：
若则，．
【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
【解析】
（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
21．（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．

（1）用表示点到点距离；
（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；
（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【详解】
（1）方法一：由题意可知：设，
则，
∴；
方法二：由题意可知：设，
由抛物线的性质可知：，∴；
（2），，，则，
∴，∴，设的中点，
，
，则直线方程：，
联立，整理得：，
解得：，（舍去），
∴的面积；
（3）存在，设，，则，，
直线方程为，∴，，
根据，则，
∴，解得：，
∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．

22．（2016·四川高考真题（文））设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.
【答案】（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）
<0，在内单调递减.
由=0有.
当时，<0，单调递减；
当时，＞0，单调递增.
（Ⅱ）令=，则=.
当时，＞0，所以，从而=＞0.
（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0.
当，时，=.
故当＞在区间内恒成立时，必有.
当时，＞1.
由（Ⅰ）有,而，
所以此时＞在区间内不恒成立.
当时，令=（）.
当时，=.
因此，在区间单调递增.
又因为=0，所以当时，=＞0，即＞恒成立.
综上，.
（二）2021新高考模拟卷
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·广东广州市·高三月考）已知复数，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】D
【详解】
，
所以，
故选：D
2．（2020·河南高二期中（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为，

或，
则.
故选：D.
3．（2020·四川成都七中高二期中）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
∵若表示双曲线，
则，即或，
Ü或，
∴“”是“表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：B.
4．（2020·江西高三其他模拟（文））众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：
①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是
②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；
③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；
④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．
其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①④ B．①③ C．②④ D．①②
【答案】A
【详解】
对于①，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，
根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；
对于②，当时，直线,过点，所以直线与白色部分在第I和第IV象限部分没有公共点.圆的圆心为，半径为，圆心到直线，即直线的距离为，所以直线与白色部分在第III象限的部分没有公共点.综上所述，直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，②错误；
对于③，设l：z＝x+y，由线性规划知识可知，当直线l与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z最大，
由解得z（舍去），③错误；
对于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要过点P的两条切线所成角大于等于，
所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得．
故选：A
5．（2020·全国高三专题练习）如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（ ）

A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】A
【详解】
连结，可证，即，即点E是体对角线上的定点，直线AE也是定直线．，∴动点P必定在线段AE的中垂面上，则中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段．

故选：A
6．（2020·重庆市万州第二高级中学高二期中）在边长为a菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】
解:如图①所示，取的中点，连接，
由题意知都是等边三角形，设边长为.如图②，
由题意知为等腰直角三角形，在中，分别是上靠近的三等分点.
即为三棱锥外接球的半径，
所以.在中，，解得：.
故选:

7．（2020·全国高三其他模拟）已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数的图像关于点中心对称，且，
当时，，
则，当且仅当时取等号，
故，函数在上单调递增，
因为函数的图像关于点中心对称，
所以函数在上单调递增，
不等式可化为或，
，即，解得，
，即，解得，
故不等式的解集为，
故选：D.
8．（2020·湖北）如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（ ）

A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图所示，作

，，，
可得，即，
利用向量的三角形法则，可知

若与O重合，则
若在O左侧，即在上时,
若在O右侧，即在上时，，显然此时最小，利用基本不等式（当且仅当，即为中点时取等号）
故选：C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·湖南高三月考）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．
C．函数在区间上单调递增 D．点是函数图象的一个对称中心
【答案】ACD
【详解】
因为图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以,,,又直线是其中一条对称轴，所以，，即，，由，得，所以
所以的最小正周期 A正确；
因为，所以B错误；
由，，解得单调递增区间为，，取可知C正确；
由，解得，，取可知D正确.
故选：ACD
10．（2020·全国高二单元测试）若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】
依题意得，
若函数具有“凹凸趋向性”，则在上有2个不同的实数根，
令，则，
令，解得；令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是，当时，，故，
故选：BD．
11．（2020·江苏淮安市·马坝高中高二月考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（　　）
A．a6＞0
B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
【答案】ABCD
【详解】
∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．
∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，
又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a1＞0．
S13＝＝13a7＜0．
∴Sn＜0时，n的最小值为13．
数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．
对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，
但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．
∴n＝7时，取得最小值．
综上可得：ABCD都正确．
故选：ABCD．
12．（2020·江苏南通市·高一期末）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减，上单调递增
B．函数的最小值为，没有最大值
C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称
D．方程的实根个数为2
【答案】ABD
【详解】

设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，
由图可知，当点P由x的负半轴方向向原点O移动时，的和逐渐变小，即函数区间上单调递减，
当点P由点A向x的正半轴方向移动时，的和逐渐变大，即函数在区间上单调递增，故A正确；
当点P移动到点A时，的和最小，最小值为，没有最大值，即函数的最小值为，没有最大值，故B正确；
，而，
显然，故不存在存在实数，使得函数的图象关于直线对称，故C错误；
方程即，由选项A可知，函数在区间上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，所以存在唯一的，使得，当时，故等价于，解得，舍去，综上，方程的实根个数为2，D正确.
故选：ABD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·云南昆明市·昆明一中（理））函数取最小值时的取值范围是________.
【答案】
【详解】
因为

，
所以，当时，y取最小值，此时，所以x的范围为.
故答案为：.
14．（2020·上海市南洋模范中学高一期中）已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【详解】
由已知得：，
，
当且仅当时取等号；
由题意：，
即，
解得：或，
故答案为：.
15．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校高二期末）已知函数，其中为自然对数的底数，若函数与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
因为，所以函数在上为增函数且，所以当时，与有一个公共点，当时， 令有一解即可，设，令得，因为当时，，当时，，所以当时，有唯一极小值，即有最小值，故当时有一公共点，故填或.
16．（2020·江苏南通市·高一期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则____，_____．
【答案】1
【详解】
由题意知，可得，
所以，
所以，
又由，所以.
故答案为：，.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·全国高三其他模拟）记为数列的前项和，已知，．数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由，得，
所以，即，
所以数列是首项，公比为2的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）得，
所以．
设，①
则，②
①-②，得，
所以．
所以．
18．（2020·上海嘉定区·高三一模）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值及函数的值域；
（2）在中，内角，，所对应的边长分别为，，，若，，的面积为，，求的值.
【答案】（1）；值域为；（2）4.
【详解】
解：（1）因为函数的最小正周期为，
由，
又因为所以.
此时，则得，
即，即
当时，，，
所以所求函数的值域为.
（2）由题意得
因为则得，所以，解得
因为的面积为，则得，即，
即.
又因为，
由余弦定理，得

所以.
19．（2020·全国高三其他模拟）为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19．
（1）若该类工程的工期服从正态分布，用样本的平均数和标准差分别作为和的估计值．
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）由于疫情需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率（精确到0.01）．
（2）在上述10个这类工程的工期中任取2个工期，设这2个工期的差的绝对值为，求的分布列和数字期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）0.84；（2）分布列见解析，.
【详解】
解：（1）（ⅰ）样本的平均数为，
样本的标准差为．
因此，．
（ⅱ）22天之内完成该工程的概率
，
所以估计能够在规定时间内完成该工程的概率为0.84．
（2）把这10个工期从小到大排列，为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
，
，
，
，
，
，
．
所以的分布列是

0
1
2
3
4
5
6








的数学期望是
．
20．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（理））如图，底边是边长为3的正方形，平面平面，.

（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.
【详解】
解：（1）因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
又四边形是正方形，所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，
所以平面平面；
（2）因为两两垂直，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，假设在线段上存在符合条件的点，设，，则，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量，
，
整理得，解得或（舍去），
故在线段上存在点，使得二面角的大小为60°，此时.
21．（2020·全国高三其他模拟）已知函数，．
（1）求的最值；
（2）若，求关于的方程（）的实数根的个数．
【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）当时，关于的方程（）的实数根的个数为2；当时，关于的方程（）的实数根的个数为1．
【详解】
（1）因为（），所以．
令，解得，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
故，
当 时，
所以的最小值为，无最大值．
（2）因为（），所以（），
关于的方程（）的实数根的个数等价于函数（）的图象与射线（）的交点个数．
因为（），
令（），则，
所以在上单调递增，
又，，
故存在唯一的，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
因为当时，，
所以当时，．
因为，所以，
当时，函数的图象与射线（）有两个交点，
当时，函数的图象与射线（）有一个交点．
综上，当时，关于的方程（）的实数根的个数为2；
当时，关于的方程（）的实数根的个数为1．

22．（2020·浙江高三其他模拟）已知抛物线过点，直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于、两点.

（1）若与的面积之比为，求此时直线的方程；
（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求点到直线距离的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）；（2）点到直线距离最大值为，此时直线的方程为.
【详解】
解：（1）由题可知抛物线方程为焦点坐标为，
设直线方程为，
设点，，联立，
整理可得：得，
则由韦达定理有①，②，
∵与的面积之比为，
∴，∴，③，
由①②③可得，∴，
∴直线方程为，即.
（2）由（1）得点，又直线与直线垂直，
将换为，同理可得，时，
直线的斜率，
直线的方程为，
整理为，
于是直线恒过定点，时，
直线的方程为，也经过点，
所以点到直线距离，
此时直线的方程为.