新疆2021届高三年级第一次联考文科数学试题（word版 含答案）

新疆2021届高三年级第一次联考文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知单位圆，角的始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且点在第三象限，则（    ）

A． B． C． D．

3．设，且，其中是虚数单位，则（ ）

A． B． C． D．

4．“剩余定理”又称“孙子定理”.1874年，英国数学家马西森指出此算法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”该定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2029这2029个整数中，能被3除余2且能被4除余2的数按从小到大顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项为（）

A．1010 B．1020 C．1021 D．1022

5．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知向量，则下列向量中与垂直的是（    ）

A． B． C． D．

7．年初，突如其来的新冠肺炎在某市各小区快速传播，该市防疫部门经国家批准立即启动级应急响应，要求居民不能外出，居家隔离.为了做好应急前的宣传工作，现有名志愿者参加抗疫宣传活动，其中有名男生和名女生，若要选派名志愿者到小区做宣传工作，则恰好选派名男生和名女生的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

9．已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为直角三角形，其中为直角顶点，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．在上单调递增 B．的一条对称轴方程为

C． D．

11．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知三棱锥，，，，PA过三棱锥外接球心O，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥外接球O的截面，则下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥体积为 B．截面面积的最小值是

C．三棱锥体积为 D．截面面积的最小值是

二、填空题

13．在锐角三角形中，已知，则__________.

14．记为等比数列的前项和，若，则__________.

15．若满足约束条件，则的最大值是__________.

16．设有下列四个命题：

：空间中两两相交的三个平面，若它们的交线有三条，则这三条交线必相交于一点．

：过空间中任意一点作已知平面的垂线，则所作的垂线有且仅有一条．

：若空间两条直线不相交，则这两条直线互为异面直线．

：若直线平面，直线平面，则直线与直线一定不相交．

则下述命题中所有真命题的序号是__________．

①；②；③；④．

三、解答题

17．已知等差数列的首项，等比数列的公比为，且.

（1）求数列和通项公式；

（2）求数列的前项的和.

18．2020年是我国全面建成小康社会和打赢脱贫攻坚战的收官之年，某省为了坚决打嬴脱贫攻坚战，在100个贫闲村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分別表示第i个贫困村中贫闲户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，．

（1）试估计该省贫困村的贫困户年平均收入．

（2）根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数．（精确到0.01）

（3）根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚战任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数，．

19．已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.

20．如图，在直三棱柱中，在棱上.

（1）若为的中点，求证:平面平面；

（2）若为上的一动点，当三棱锥的体积为，求.

21．已知函数.

（1）当时，，求的取值范围；

（2）若时，讨论的单调性.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（1）求C的普通方程和直线l的倾斜角；

（2）设点，l和C交于A，B两点，求的值．

23．已知函数．

（1）当时，求函数的定义域；

（2）若关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围．

参考答案

1．C

【分析】

先求解出不等式的解集作为集合，然后根据交集运算求解出的结果.

【详解】

由题意可得：的解集为，

所以

故选：C

2．D

【分析】

先利用三角函数的定义求，再利用二倍角的余弦公式展开计算即可.

【详解】

由题设得，，故.

故选：D.

3．A

【分析】

根据复数的乘法运算和复数相等的条件，求得，结合模的运算公式，即可求解.

【详解】

因为，可得，所以，即，

可得.

故选：A.

4．A

【分析】

将题目转化为既是3的倍数，也是4的倍数，也即是12的倍数，进而求出通项公式，利用通项公式即可求解.

【详解】

根据题意可知既是3的倍数，也是4的倍数，也即是12的倍数，

即，．

当时，．

当时，．

故，数列共有169项，

此数列中间项为第85项，，

故选：A．

5．B

【分析】

先分析函数的奇偶性，然后通过取特殊值计算出对应的函数值，由此判断出对应图象.

【详解】

因为，所以且定义域为关于原点对称，

所以为偶函数，即其图象关于轴对称，故可排除

又当时，，所以是错误的，

故选：B.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6．A

【分析】

分别计算出选项向量与的数量积即得解.

【详解】

由已知得

选项，因为

所以本选项符合题意；

选项B：因为，

所以本选项不符合题意；

选项C：因为

所以本选项不符合题意；

选项D：因为

所以本选项不符合题意.

故选：A

7．C

【分析】

根据排列数公式分别求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，现有名志愿者参加抗疫宣传活动，其中有名男生和名女生，若要选派名志愿者，所有的选法共有种不同的选法，

其中恰好选派名男生和名女生包含的基本事件的个数为种不，

所以恰好选派名男生和名女生的概率为.

故选: C.

8．B

【分析】

由圆上点的位置确定圆心位于第二象限，采用待定系数法可求得圆的方程，由此得到圆心坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.

【详解】

圆上的点在第二象限，若圆心不在第二象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，圆心必在第二象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，

圆的标准方程为，

，解得：或，

圆心的坐标为或，

当圆心为时，所求距离；

当圆心为时，所求距离；

综上所述：圆心到直线距离为.

故选：B.

9．C

【分析】

由抛物线准线和双曲线方程可求得横坐标，由双曲线对称性可知为等腰直角三角形，利用可构造方程求得结果.

【详解】

由抛物线方程知其准线为：，代入双曲线方程可解得：，

由双曲线的对称性知：为等腰直角三角形，且，

，，即，解得：．

故选：C.

【点睛】

思路点睛：本题考査圆锥曲线的几何性质，关于抛物线几何性质题一般解题思路是：定义优先，性质伴随．本题是求参数的值，关键点在于建立关于的方程，从而解出，寻找等量关系是建立方程的核心所在.

10．D

【分析】

先利用整体代入法得到函数的单调性和对称中心，再根据性质逐一判断选项的正误即可.

【详解】

，

令解得函数增区间，

令解得函数减区间，

故函数在上递增，在上递减，

即在上单调递增，上单调递减，A错误；

由，得对称轴为，即不是其对称轴，故B错误；

，

，函数在上递减，故

即，所以C错误，D正确.

故选: D.

【点睛】

方法点睛：

解决三角函数的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.

11．B

【分析】

利用对数的运算性质、对数函数的单调性可得，结合即可判断各选项的正误.

【详解】

由题意知：，，，

得．即，，

∴，故，

∴，A错误；，B正确；当时，，C不一定成立；由，易得，故D错误.

故选：B．

12．A

【分析】

由题可得当且仅当截面与OE垂直时，过点E作三棱锥外接球O的截面要使截面面积最小，求出可判断BD；由余弦定理求出，求出过A、B、C的截面圆半径，即可求出到平面ABC的距离，进而求出高，得出体积.

【详解】

三棱锥外接球O的球心为PA中点，可得，

要使过点E作三棱锥外接球O的截面要使截面面积最小，

则当且仅当截面与OE垂直时，此时为截面圆心，AB为直径，

则可得截面半径为1，则截面面积的最小值是，故B，D错误．

在中由余弦定理得

，

∴，

设过A、B、C的截面圆圆心为G，半径为r，连接OG，则平面ABC，

在中由正弦定理得，即，解得．

在中，由勾股定理得，

∴三棱锥的高为，

故三棱锥体积为，A正确．

故选：A.

【点睛】

思路点睛：本题考査球的切、接问题，关于球的接、切问题是近些年来高考常考的题型，解答此类问题应抓住以下几何关键点：1．正确找准球心；2．注意截面圆圆心与球心连线垂直于截面圆所在的平面；3．注意找球心的方法类比平面几何中的三角形外接圆圆心的找法，通过多面体各面外接圆圆心作截面的垂线，交点即为球

13．

【分析】

由，求出，可得.

【详解】

由题意知

故答案为：.

14．

【分析】

根据等比数列的通项公式求出和，最后由等比数列的前项和公式求出结果.

【详解】

是等比数列，且

设等比数列的公比，根据等比数列通项公式

可得①，②.

将②÷①可得

故

代入①解得

，

故答案为：.

15．9

【分析】

先根据不等式组作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数的最大值.

【详解】

不等式组表示的平面区域为下图所示：

平移直线，当直线经过点时直线在纵轴上的截距最大，即有最大值，

此时点的坐标是方程组的解，解得

因此的最大值为，

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：利用线性规划求解线性目标函数最值的步骤：

（1）根据不等式组作出可行域；

（2）采用平移直线法将直线的纵截距与目标函数的最值联系在一起；

（3）通过平移直线确定出直线纵截距的最值，从而目标函数最值可求.

16．①②③

【分析】

由空间中线面关系依次判断四个命题的真假性，根据复合命题真假性的判断可得结果.

【详解】

对于命题，两两相交的三个平面，若它们的交线有三条，则这三条交线可能互相平行，如三棱柱的三个侧面就是两两相交的三个平面，它们的三条交线互相平行，为假命题；

对于命题，若过空间中任意一点可作已知平面的两条垂线，则两条垂线平行，与两直线过同一点相矛盾，则知这样的垂线有且仅有一条，为真命题；

对于命题，空间中两条直线的位置关系只有相交、平行或异面，空间两条直线不相交，这两条直线可能是平行的，也可能是异面直线，为假命题；

对于命题，若直线平面，则直线与平面不相交，

又直线平面，所以直线与直线一定不相交，为真命题．

综上可知，，为真命题，，为假命题，

为真命题，为真命题，为真命题，为假命题．

故答案为：①②③．

【点睛】

关键点点睛：本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力．解答此类问题时，关键是必须正确判断各命题的真假，在此基础上才能判断复合命题的真假．

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据题意，设等差数列的公差为，可得，解等式组，即可求得数列{an}和{bn}通项公式；

（2）利用等差数列的前n项和公式即可求解．

【详解】

（1）已知等差数列的首项，等比数列的公比为，且，

设等差数列的公差为，由，可得，

由，令，，进而得，代入上式解得，

；

（2）由（1）知，等差数列的前项和为.

【点睛】

关键点点睛：由，令，，进而得是关键.

18．（1）1（万元）；（2）；（3）采用分层抽样，答案见解析．

【分析】

（1）利用平均数的概念，结合已知数据，估计平均收入；

（2）根据相关系数公式，结合已知数据，求相关系数；

（3）由（2）所得相关系数可知平均收入与投入资金的正相关，结合分层抽样的特征，即可确定抽样方法.

【详解】

（1）该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值为（万元），

（2）样本的相关系数为．

（3）采用分层抽样，理由如下：由（2）知各地区贫困村的贫困户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各贫困村产业扶贫资金投入差异很大，因此贫困村的贫困户年平均收入差异也很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该省更准确的脱贫验收估计．

19．（1）；（2）或.

【分析】

（1）由题可得焦点为，再结合离心率即可求出即可得出方程；

（2）由题知，设直线的方程为，，进而结合弦长公式求解即可.

【详解】

（1）由题意，双曲线的焦点为，

所以依题意知椭圆中

解得：

所以椭圆的方程为

（2）由（1）知椭圆的左焦点为为

依题意可设为直线的方程为

设

将直线的方程代入椭圆方程整理得

则

解得，

故直线的方程为或

【点睛】

方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为（）形式；

（5）代入韦达定理求解.

20．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）设，利用勾股定理，证得，在由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；

（2）过作于点，证得平面，结合锥体的体积公式，列出方程，求得，即可求解.

【详解】

（1）在面中，因为为中点，

设，可得，

又由，所以，所以，

因为平面，且平面，所以，

又由，且平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（2）如图所示，过作于点，则，

因为，所以

又因为，且，所以平面，

即平面，

所以，解得，

由，所以为的中点，所以.

21．（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）等价于，令，利用导数求出函数的最小值即得解；

（2）求导得，再对分类讨论得解.

【详解】

（1）当时，等价于

即

令

则

当时，单调递减;

当时，单调递增

所以的最小值为，

故，即为所求；

（2）函数定义域为

二次函数的判别式

①若时，

即当时，对任意的

此时，函数单调递增区间为，无单调递减区间；·

②若时，即当时

由得或

当，或时，

当时，

此时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

【点睛】

方法点睛：利用导数求函数的单调区间分五个步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）解不等式；（4）把不等式的解集和定义域求交集；（5）下结论.

22．（1）；；（2）．

【分析】

（1）由曲线C的参数方程消去参数即可得C的普通方程；得出直线l的直角坐标方程，即可得出倾斜角；

（2）求出直线的参数方程，代入，利用韦达定理即可求出.

【详解】

解：（1）由消去参数，得，

即曲线C的普通方程为．

由得①

将，代入①得，

∴直线l的倾斜角为．

（2）由（1）知点在直线l上，

因此，可设直线l的参数方程为（t为参数），即．

代入并化简得，

，且，∴与异号．

∴．

【点睛】

关键点睛：本题考查直线参数方程的几何意义，解题的关键是正确写出直线的参数方程，正确理解直线参数的几何意义，得出.

23．（1）；（2）．

【分析】

（1）根据对数的性质，得，应用分类讨论法分别求自变量范围，然后取并即可；

（2）将问题转化为的解集为R，令，则即可求a的范围.

【详解】

（1）当时，由题设，得，即．

当时，，得；

当时，，无解；

当时，得，得．

∴函数的定义域为．

（2）不等式等价于，问题转化为不等式的解集为R．

令，则，

∴，则，故．

【点睛】

关键点点睛：

（1）由对数性质，应用分类讨论求定义域；

（2）转化为不等式恒成立问题，应用分段函数的性质求参数的范围.