安徽省池州市2021届高三下学期4月普通高中教学质量统一监测（一模）数学（理）试题 Word版含答案

2021年池州市普通高中高三教学质量统一监测

数学（理科）

满分：150分  考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

2.已知复数满足，则对应的点在（    ）

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

3.已知数列为等比数列，其前项和为，且，则（    ）

A.-5   B.5   C.1   D.-1

4.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段、，使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点.如图，在矩形中，、是线段的两个“黄金分割”点.在矩形内任取一点，则该点落在内的概率为（    ）

A.   B.   C.   D.

5.已知，则（    ）

A.   B.   C.   D.

6.设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象可能是（    ）

A.   B.

C.   D.

7.在展开式中的系数是（    ）

A.45   B.53   C.54   D.55

8.某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积等于（    ）

A.8   B.   C.   D.

9.2020年12月17日，嫦娥五号返回器携带1731克月球土壤样品在内蒙古四王子旗预定区域安全着陆，至此我国成为世界上第三个从月球取回土壤的国家。某科研所共有A、B、C、D、E、F六位地质学家他们全部应邀去甲、乙、丙三所不同的中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，其中地质学家A被安排到甲中学，则共有多少种不同的派遣方法？（    ）

A.180   B.162   C.160   D.126

10.，，，的大小关系是（注：为自然对数的底数）（    ）

A.   B.

C.   D.

11.已知的一内角，，为所在平面上一点，满足，设，则的值为（    ）

A.   B.   C.   D.

12.已知直线与轴的交点为，是直线上任一点，过点作圆的两条切线，设切点分别为C、D，M是线段CD的中点，则的最大值为（    ）

A.   B.   C.   D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若实数，满足约束条件，则的取值范围是________.

14.已知点P是抛物线上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为，则的最小值为________.

15.如图，在平面四边形ABCD中，，，，，将沿着BD折起，使得二面角为直二面角，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为________.

16.已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则数列前2021项和为__________________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17.已知函数的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数的函数解析式

（Ⅱ）在中，角A为三角形内角且，D在边BC上，AD是的角平分线，，，求AD的长度.

18.如图，P在平面ABC上的投影为点C，，，、分别为线段PA、AB的中点，PO与BD交于点E，F是PC上的一个点.

（I）若平面ABC，求的值；

（Ⅱ）若，，求二面角的正弦值.

19.2020年新冠来袭!我国迅速应对，彰显“中国速度”。5月武汉进行全民筛查新冠“大会战”，首个将“混检”用于大型筛查的城市，从而很大程度上提高了检测的速度，同时也降低了成本。“混检”就是例如将采集的5支拭子集合于1个采集管中进行核酸检测，如果呈阳性再逐个检测，直到能确定阳性拭子为止；如果呈阴性则说明这5个样本都不携带病毒，也称为“5合1混”检测技术；后来有些城市采用“10合1混”检测技术。现采集了7支拭子，已知其中有1支拭子是阳性，需要通过检测来确定哪一个拭子呈阳性。下面有两种检测方法：

方案一：逐个检测，直到能确定阳性拭子为止；

方案二：采用“5合1混”检测技术，若检测为阴性，则在另外2支拭子中任取1支检测。

（Ⅰ）表示依方案一所需检测次数，求的分布列和期望。

（Ⅱ）求依方案一所需检测次数不少于依方案二所需检测次数的概率。

20.已知椭圆的离心率为，、分别为E的左、右焦点，P为E上的一点且，垂直x轴，.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过椭圆E的上顶点A作两条斜率之积为1的直线、，它们与椭圆的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN恒经过一个定点.

21.已知函数，，

（Ⅰ）若对任意，都有，求的范围；

（Ⅱ）求证：对任意及任意，都有.

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.【选修4—4：坐标系与参数方程】

22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点，若直线与曲线C相交于不同的两点、，求的值.

23.【选修4—5：不等式选讲】

已知函数.

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）已知，，的最小值为，且，求的最小值.

2021年池州市普通高中高三教学质量统一监测

数学（理科）参考答案

一、选择题

12.设点坐标为，点坐标为，因为，，共线所以，得

因为，得①

的直线方程为②

将①代入②得，所以点的轨迹是以为圆心，

以为半径的圆，所以的最大值为

注：本题也可先求CD过定点，然后再求解.

二、填空题

13.

14.6

15.

16.

16.是以为首项，以为公差的等差数列，所以，

由，可知

三、解答题

17.解：（Ⅰ）由图可知：，，即，

根据，得，

由得，，

因为，∴

函数的解析式为.

（Ⅱ）由可得，

因为为的角平分线，所以

又因为，

即

，代入可得.

18.解： （Ⅰ）因为D、O分别为线段PA、AB的中点，所以BD和PO的交点E为的重心，所以

因为平面ABC，平面，平面平面

所以，所以.

（Ⅱ）设，则，，，

以，，为x， y，z轴建立空间直角坐标系，如图，，，

设平面FBE的法向量为，

则得

令，

设平面CBE的法向量为，

则得

二面角的平面角为，则

所以

19.解：（Ⅰ）方案一中检测次数可能取值为1，2，3，4，5，6.

当时，；当时，

期望为

注：如果写成，而当，时的概率算对了，则给1分

（Ⅱ）方案二中化验次数可能取值为2，3，4，5.

，

，

，

方案一所检测的次数不少于方案二的概率为

法二：

20.（Ⅰ）因为，所以

又，得，解得

（Ⅱ）设，，设点M，N的坐标分别为，

由联立得，

解得，，即

用替代坐标中的，从而得到坐标为

则直线的斜率为

所以直线的方程为

化简得

所以直线恒过定点

21.（Ⅰ），都有0，即，都有，

即

令，则

所以在上单调递减，则

所以

（Ⅱ）时，关于单调递减，关于单调递增，关于单调递增

因此关于单调递减，

因为，所以

由（1）可知，即

所以

因此可知对任意，，都有成立

22.（Ⅰ）直线的普通方程：；

曲线C的普通方程

（Ⅱ）已知点P在直线上，则可设直线与曲线C相交的两点A、B对应的参数分别为、将直线的参数方程和曲线C的普通方程联立，

得

化简得

则，

所以

23.（Ⅰ）当时，

则等价于或或

解得，

所以不等式的解集为；

（Ⅱ）因为，

（当且仅当时等号成立）

所以的最小值为，因此，

所以，即，

所以（当且仅当且时等号成立）.

故的最小值为.