2020届广东省佛山市高三上学期第一次模拟考试数学文试题

2019～2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)

      数 学(文科)               2020 年 1 月7 日

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟．

注意事项：

1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3.    非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，
          先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4. 请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.已知集合A  x| x2  2x  0 ， B  x| | x | 1，则 A∩B  （    ）

A． (, 1)        B． (1,2)       C． (-1，0)       D． (0，1)

3.已知 x, y  R ，且 x  y  0 ，则（ ）

A. cos x  cos y  0     B. cos x  cos y  0    C． ln x  ln y  0      D． ln x  ln y  0

4.函数 f (x)的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y  ex 关于x 轴对称，则 f (x)  （ ）

A.－      B.         C.      D.

5.已知函数为奇函数，则=（    ）

A.－1       B. 0       C. 1        D.

6.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶

点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个

“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么

黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯

基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（   ）

A.          B.          C.         D.

7.已知为锐角，则（     ）

8.“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）是现在商家一种常见促销手段．今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；          乙说：“丁能中奖”；

丙说：“我或乙能中奖”；          丁说：“甲不能中奖”．

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（              ）

A．甲      B．乙     C．丙       D．丁

9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．

根据以上信息，正确的统计结论是（   ）

A．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值

B．10 年来全球新增装机容量连年攀升

C．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW

D．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过

10.已知抛物线 y2  2 px 上不同三点 A, B, C 的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（ ）

A． A, B, C 的纵坐标成等差数列 B． A, B, C 到 x 轴的距离成等差数列

C． A, B, C 到点O 0, 0 的距离成等差数列        D． A, B, C 到点 F的距离成等差数列

11.已知函数 f (x)  sin x  sin(πx)，现给出如下结论：

① f (x)是奇函数                    ② f (x)是周期函数

③ f (x)在区间(0, π) 上有三个零点        ④f (x) 的最大值为 2

其中正确结论的个数为（ ）

A．1 B． 2 C． 3 D． 4

12.已知椭圆C的交点为,过的直线与C交于A，B两点，若,则C的离心率为（    ）

A.             B.         C.      D.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13.函数 f (x)  ex  sin x 在点0,1 处的切线方程为              .

14.若实数变量 x, y满足约束条件,且的最大值和最小值分别为m和n，则m+n=      .

15.在△ABC中，的面积为，则c=       .

16.已知正三棱柱的侧棱长为m（m∈Z），底面边长为n（n∈Z），内有一个体积为V的球，若V的最大值为，则此时三棱柱外接球表面积的最小值为          .

三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知数列是等比数列，数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求的前n项和.

18.（本小题满分12分）

党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长．“少年强则国强”，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面．全    面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求．《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体质指数（BMI），其计算公式为：，当BMI＞23.5时认为“超重”，应加强锻炼以改善BMI.

某高中高一、高二年级学生共 2000人，人数分布如表(a)．为了解这2000名学生的BMI指数情况，从中随机抽取容量为160的一个样本．

    表（a）

（1）为了使抽取的 160 个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；

（2）分析这 160 个学生的 BMI 值，统计出“超重”的学生人数分布如表(b).

  （i）试估计这 2000 名学生中“超重”的学生数;

  （ii）对于该校的 2000 名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强．应用卡方检验，可依次得到的观察值，，是判断和的大小关系.（只需写出结论）

19.（本小题满分12分）

如图，三棱锥 P  ABC 中，PA=PB=PC ，APB  ACB  90 ，点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心．

（1）证明： GF⊥ 平面 ABC ；

（2）若GF 与平面 ABC 所成的角为60 ，且GF=2，求三棱锥PABC的体积.

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中,已知两定点A（－2，2），B（0，2），动点P满足

（1）求动点P的轨迹C的方程‘

（2）轨迹C上有两动点E，F，它们关于直线对称，且满足，求△OEF的面积.

21.（本小题满分12分）

已知函数，是的导函数，且.

（1）求的值，并证明在处取得极值;

（2）证明：在区间有唯一零点.

请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号．

22．(本小题满分 10 分)[选修 4  4 :坐标系与参数方程选讲]

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数）

（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；

（2）已知倾斜角互补的两条直线，其中与曲线C交于A，B两点，与C交于M，N两点，与交于点，求证：.

23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]

   已知函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）当时，函数的值域为[1,3]，求k的值.