2020届山东省淄博实验中学高三上学期期末考试数学试题

淄博实验中学高三年级第一学期模块考试  2020.01

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，若，则实数的取值范围为（  ）

A.      B     C.     D.

2.已知复数，为虚数单位，则下列说法正确的是(       )

A. B.C. D.的虚部为

3.“”是“”的

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

4.己知，且，则的值为

A．   B．7   C．1   D．

5.已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（    ）

A. -15 B. -7 C. 3 D. 15

6.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（  ）

A． B． C． D．

7.已知，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为 (    )

A. B. C.  D.

8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 (    )

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值。如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合右图，下列说法正确的是（    ）

A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

10.已知函数是的导函数，则下列结论中正确的是(    )

A. 函数的值域与的值域不相同

B. 把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象

C. 函数和在区间上都是增函数

D. 若是函数的极值点，则是函数的零点

11.下列判断正确的是

A.若随机变量服从正态分布,则；

B.已知直线平面，直线平面，则的充分不必要条件；

C.若随机变量服从二项分布： , 则；

D.是的充分不必要条件.

12.关于函数，下列判断正确的是

A.是的极大值点

B.函数有且只有1个零点

C.存在正实数，使得成立

D.对任意两个正实数，且，若，则.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若非零向量满足，向量与垂直，则的夹角为_______.

14.设．

（1）当时，的最小值是_____；

（2）若是的最小值，则的取值范围是_____．

15.双曲线的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.

16.已知函数．若函数在上无零点，则的最小值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（满分10分）在中，角的对边分别为，已知

（1）若, 的面积为.求的值；

（2）若，,且为钝角，求实数的取值范围.

18.（满分12分）已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，求.

19.（满分12分）如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为 的垂心

（1）求证：平面平面 ；

（2）若，求二面角的余弦值.

20.（满分12分）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:

（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？

（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望.

参考公式：其中.

临界值表：

参考数据：

21.（满分12分）如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，延长BF2交椭圆C于点M，△ABF2的周长为8.

(1)求椭圆C的离心率及方程；

(2)试问：是否存在定点P(x0,0)，使得·为定值？若存在，求出x0；若不存在，请说明理由．

22.（满分12分）设函数

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若曲线在点处的切线与直线平行.

(i)求的值；

(ii)求实数的取值范围，使得对恒成立.

高三数学参考答案

ABBBABBBABD CDABCD    BD

13.14.    [0，]   

（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，

当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，

则函数的最小值为，

（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，

若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．

若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，

则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，

要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，

即实数a的取值范围是[0，]

15.如图所示，由题意，，由双曲线定义得，

由圆的切线长定理可得，

所以，，，

即，所以，双曲线的离心率，故选：A.

16.　2－4ln 2

因为f(x)<0在区间上恒成立不可能，故要使函数f(x)在上无零点，只要对任意的x∈，f(x)>0恒成立，即对任意的x∈，a>2－恒成立．

令l(x)＝2－，x∈，则l′(x)＝，

再令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，则m′(x)＝－＋＝<0，

故m(x)在上为减函数，于是m(x)>m＝2－2ln 2>0，

从而l′(x)>0，于是l(x)在上为增函数，所以l(x)<l＝2－4ln 2，

故要使a>2－恒成立，只要a∈[2－4ln 2，＋∞)，

综上，若函数f(x)在上无零点，则a的最小值为2－4ln 2.

17.解

∴4sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA，

∴cosA=14，

∴sinA=1−cos2A

(1)a=4，∴a2=b2+c2−2bc⋅cosA= b2+c2−12bc=16①；

又△ABC的面积为：

S△ABC=bc⋅sinA=bc=，

∴bc=8②；

由①②组成方程组，解得b=4，c=2或b=2，c=4；

(2)当sinB=ksinC(k>0)，b=kc，

∴a2=b2+c2−2bc⋅cosA =(kc)2+c2−2kc⋅c⋅=(k2−12k+1)c2；

角C为钝角, a2+b2<c2，

即(k2−12k+1)+k2<1,解得0<k<；k的取值范围是.

18.解.（1）对任意，有，①

当时，有，解得或.

当时，有.②

①-②并整理得.

而数列的各项均为正数，.

当时，，

此时成立；

当时，，此时，不成立，舍去.

，.

（2）

.
19.解.（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.

因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.

因为平面，平面，所以.又平面，平面=，所以 平面.即平面，又平面，所以平面平面.

（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.

在中，由，得，则，.

所以，.所以.

设二面角的大小为，则.

20．解：依题意：

故

则，

故管理时间与土地使用面积线性相关。

（2）依题意，计算得的观测值为

故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。

（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，

故

故的分布列为

则数学期望为

（或由，得

21解　(1)由题意可知，|F1F2|＝2c＝2，则c＝1，

又△ABF2的周长为8，所以4a＝8，即a＝2，

则e＝＝，b2＝a2－c2＝3.

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)假设存在点P，使得·为定值．

若直线BM的斜率不存在，

则直线BM的方程为x＝1，B，M，

则·＝(x0－1)2－.

若直线BM的斜率存在，设BM的方程为y＝k(x－1)，

设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，联立

得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝，

由于＝(x2－x0，y2)，＝(x1－x0，y1)，

则·＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x＋y1y2

＝(k2＋1)x1x2－(x0＋k2)(x1＋x2)＋k2＋x

＝，

因为·为定值，所以＝，

解得x0＝，故存在点P，且x0＝

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