2020届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期期末考试数学(文)试题
展开分值:150分 时间:120分钟
一、选择题(每小题5分,每题只有一个正确选项)
1.已知集合A={x|(x+1)(x﹣3)<0},B={1,2,3},则A∩B=( )
A.{x|﹣1<x<3}B.{x|1≤x≤2}C.{1,2,3}D.{1,2}
2.已知复数z满足(1+i)z=2i,则z=( )
A.1﹣iB.1+iC.﹣1﹣iD.﹣1+i
3.命题“∃α∈R,sinα=0”的否定是( )
A.∃α∈R,sinα≠0B.∀α∈R,sinα≠0
C.∀α∈R,sinα<0D.∀α∈R,sinα>0
4.下列函数中,既是奇函数又在(﹣∞,+∞)上单调递增的是( )
A.y=sinxB.y=
C.y=﹣D.y=
5.已知向量=(2,﹣1),=(0,1),(+k)•=3,则k=( )
A.﹣2B.2C.﹣4D.4
6.在等差数列{an}中,是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=( )
A. B.﹣3C.﹣6D.2
7.将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为( )
A. B.C. D.
8.已知双曲线(a>0)的一条渐近线为y=,则双曲线的焦点坐标为( )
A.(±,0)B.(±,0)C.(0,±)D.(0,±)
9.执行如右图所示的程序框图,若输出的结果为3,
则可输入的实数x的值的个数为( )
A.1 B.2C.3 D.4
10.某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的体积为( )
1
11.函数y=的图象大致为( )
A.B.C.D.
已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f´(x),并且当x>0时,有
2f(x)+xf´(x)>0,且 f(﹣1)=0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()
A.(﹣1,0)∪(0,1)B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
C.(﹣1,0)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分)
13.已知函数f(x)=,则f[f(2)]= .
14.设x、y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是________.
15.点A,B,C,D均在同一球面上,AD⊥平面ABC,其中△ABC是边长为3的等边三角形,AD=2AB,则该球的表面积为 .
16.已知数列{an}的前n项和Sn满足,Sn=3an﹣2,数列{nan}的前n项和为Tn,则满足Tn>100的最小的n值为 .
三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若bcs C=(2a-c)cs B,
(Ⅰ)求∠B的大小;(Ⅱ)若b=,a+c=4,求a,c的值.
18.在某次测验中,某班40名考生的成绩满分100分统计如下图所示.
(Ⅰ)估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1;
(Ⅱ)记80分以上为优秀,80分及以下为合格,结合频率分布直方图完成下表,并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关?
附:
x2=
19.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AP=AD=2AB=2BC=2,点M在棱PC上.
(Ⅰ)求证:AM⊥CD;
(Ⅱ)当AM⊥平面PCD时,求三棱锥M﹣PAD的体积.
20.已知椭圆C:+=1(a<b<0)的离心率为,短轴长为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点N(0,2)作两条直线,分别交椭圆C于A, B两点(异于N),当直线NA,NB的斜率之和为4时,直线AB恒过定点,求出定点的坐标.
21.已知函数f(x)=.
(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)当a=1且x>0时,f(x)>mln(x+1),求m的取值范围.
22.已知在直角坐标系xOy中,圆锥曲线C的参数方程为(θ为参数),直线经过定点P(2,3),倾斜角为.
(1)写出直线的参数方程和圆的标准方程;
(2)设直线与圆相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
高三文科数学参考答案与试题解析
一.选择题(共14小题)
1.已知集合A={x|(x+1)(x﹣3)<0},B={1,2,3},则A∩B=( )
A.{x|﹣1<x<3}B.{x|1≤x≤2}C.{1,2,3}D.{1,2}
选:D.
2.已知复数z满足(1+i)z=2i,则z=( )
A.1﹣iB.1+iC.﹣1﹣iD.﹣1+i
选:B.
3.命题“∃α∈R,sinα=0”的否定是( )
A.∃α∈R,sinα≠0B.∀α∈R,sinα≠0
C.∀α∈R,sinα<0D.∀α∈R,sinα>0
选:B.
4.下列函数中,既是奇函数又在(﹣∞,+∞)上单调递增的是( )
A.y=sinxB.y=|x|
C.y=﹣x3D.y=ln(+x)
选:D.
5.已知向量=(2,﹣1),=(0,1),(+k)•=3,则k=( )
A.﹣2B.2C.﹣4D.4
选:D.
6.在等差数列{an}中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=( )
A.B.﹣3C.﹣6D.2
选:A.
7.将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为( )
A.B.C.D.
选:C.
8.已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=,则双曲线的焦点坐标为( )
A.(±,0)B.(±,0)C.(0,±)D.(0,±)
选:D.
9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x的值的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
选:C.
10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A.B.C.D.1
选:A.
11.函数y=的图象大致为( )
A.B.
C.D.
选:C.
12.已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时,有2f(x)+xf'(x)>0,且f(﹣1)=0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣1,0)∪(0,1)B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
C.(﹣1,0)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
选:B.
13.已知函数f(x)=,则f[f(2)]= .
答案为:.
14.设x、y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是
【解答】解:由z=2x﹣3y得y=,
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):
平移直线y=,由图象可知当直线y=,过点A时,直线y=截距最大,此时z最小,
由得,即A(3,4),
代入目标函数z=2x﹣3y,
得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6.
∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6.
15.点A,B,C,D均在同一球面上,AD⊥平面ABC,其中△ABC是等边三角形,AD=2AB=6,则该球的表面积为 48π .
【解答】解:如图,O′为底面的中心,OO′⊥底面ABC,
E为AD中点,且OE⊥AD,
在正三角形ABC中,由AB=3求得,
又OO′=AE=3,
∴OA=2,
∴S球=4π×12=48π,
故答案为:48π.
16.已知数列{an}的前n项和Sn满足,Sn=3an﹣2,数列{nan}的前n项和为Tn,则满足Tn>100的最小的n值为 7 .
【解答】解:根据题意,数列{an}满足Sn=3an﹣2,①
当n≥2时,有Sn﹣1=3an﹣1﹣2,②,
①﹣②可得:an=3an﹣3an﹣1,变形可得2an=3an﹣1,
当n=1时,有S1=a1=3a1﹣2,解可得a1=1,
则数列{an}是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=()n﹣1,
数列{nan}的前n项和为Tn,则Tn=1+2×+3×()2+……+n×()n﹣1,③
则有Tn=+2×()2+3×()3+……+n×()n,④
③﹣④可得:﹣Tn=1+()+()2+……×()n﹣1﹣n×()n=﹣2(1﹣)﹣n×()n,
变形可得:Tn=4+(2n﹣4)×()n,
若Tn>100,即4+(2n﹣4)×()n>100,
分析可得:n≥7,故满足Tn>100的最小的n值为7;
故答案为:7.
17. (1)sinBcs C=(2sinA-sinc)cs B
sin(B+C)=2sinAcsB
csB=,B=。
(2)a=3,c=1或a=1,c=3。
18.在某次测验中,某班40名考生的成绩满分100分统计如图所示.
(Ⅰ)估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1;
(Ⅱ)记80分以上为优秀,80分及以下为合格,结合频率分布直方图完成下表,并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关?
附:
x2=
【解答】解:(Ⅰ)由频率分布直方图易知:
0.01×10+0.015×10+0.02×10=0.45;
即分数在[40,70)的频率为:0.45,
所以0.03×(x0﹣70)=0.5﹣0.45,
解得:x0=≈71.7;
∴40名学生的测验成绩的中位数为71.7;
(Ⅱ)由频率分布直方图,可得列联表如下:
X2==≈0.135<3.841;
所以没有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关.
19.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AP=AD=2AB=2BC=2,点M在棱PC上.
(Ⅰ)求证:AM⊥CD;
(Ⅱ)当AM⊥平面PCD时,求三棱锥M﹣PAD的体积.
【解答】证明:(Ⅰ)设AD中点为E,连接AC、CE,由题意AE=BC,
∵AD∥BC,∴四边形ABCE为平行四边形.
又AB⊥BC,AB=BC=1,∴ABCE为正方形.
在Rt△CDE中,CD=,又AC=,AD=2,
∴AC2+CD2=AD2,∴CD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵PA,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.
∵AM⊂平面PAC,∴AM⊥CD.
解(Ⅱ)由已知AM⊥平面PCD,∴AM⊥PC.
∵AC=,PC=,,
∴AM=,PM=,∴PM=,
C到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离,
所以三棱锥M﹣PAD的高h==,
∴三棱锥M﹣PAD的体积VM﹣PAD==.
20.已知椭圆C:+=1(a<b<0)的离心率为,短轴长为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点N(0,2)作两条直线,分别交椭圆C于A,B两点(异于N),当直线NA,NB的斜率之和为4时,直线AB恒过定点,求出定点的坐标.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知:,2b=4,a2﹣c2=b2.
解得a=2,b=c=2,所以椭圆方程为.
(Ⅱ)当直线AB的斜率存在时,设直线AB方程为y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由由kNA+kNB=4,得,
整理可得2kx1x2+(m﹣2)(x1+x2)=4x1x2(*)
联立,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,由题意知二次方程有两个不等实根,
∴,.
代入(*)得,整理得整理可得(m﹣2)(k﹣m﹣2)=0,.
∵∵m≠2,∴m=k﹣2,∴y=kx+k﹣2,y+2=k(x+1),所以直线AB恒过定点(﹣1,﹣2).
当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,A(x0,y1),B(x0,y2),其中y2=﹣y1,∴y1+y2=0,
由kNA+kNB=t,得,∴∴x0=﹣1.
∴当直线AB的斜率不存在时,直线AB也过定点(﹣1,﹣2).
综上所述,直线AB恒过定点(﹣1,﹣2).
21.已知函数f(x)=.
(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)当a=1且x>0时,f(x)>mln(x+1),求m的取值范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=在(0,+∞)上单调递增,
∴f′(x)=,即xex﹣ex+a≥0.
设g(x)=xex﹣ex+a,则g′(x)=xex>0,
∴g(x)>g(0)=a﹣1,则a﹣1≥0,得a≥1.
(2)当a=1时,f(x)>mln(x+1)⇔ex﹣x﹣1>mxln(x+1)⇔ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1)>0,
设h(x)=ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1),则h′(x)=,
再令H(x)=,则H′(x)=.
若m,∵x>0,∴m()<1,则H′(x)>0,h′(x)在(0,+∞)上单调递增,
h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)是增函数,h(x)>h(0)=0,可得f(x)>mln(x+1)成立;
若m>,H′(x)=在(0,+∞)上单调递增,H′(0)=1﹣2m<0,
H′(ln(2m))=2m﹣=>0.
∴存在x0∈(0,ln(2m))使得H′(x0)=0,当x∈(0,x0)时,H′(x)<0,
∴h(x)在(0,x0)上单调递减,可得h(x)<h(0)=0,即f(x)>mln(x+1)不成立.
综上可得,m的取值范围为(﹣∞,].
22(t为参数),x2+y2=16
(2)3
合格
优秀
合计
男生
16
女生
4
合计
40
P(x2≥k0)
0.050
0010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
合格
优秀
合计
男生
16
女生
4
合计
40
P(x2≥k0)
0.050
0010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
合格
优秀
合计
男生
16
6
22
女生
14
4
18
合计
30
10
40
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