【最新 北师大版】高考数学一轮复习 高考大题专项五 突破1圆锥曲线中的最值范围问题学案（含解析）

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直线与圆锥曲线 高考大题专项(五)　直线与圆锥曲线 考情分析从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决. 突破1　圆锥曲线中的最值、范围问题题型一　圆锥曲线中的最值问题突破策略一　目标函数法【例1】(2020山东烟台模拟,21)已知直线x+y=1过椭圆=1(a>b>0)的右焦点,且交椭圆于A,B两点,线段AB的中点是M.(1)求椭圆的方程;(2)过原点的直线l与线段AB相交(不含端点)且交椭圆于C,D两点,求四边形ACBD面积的最大值.                解题心得当题目给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值(或值域).常用方法有:(1)配方法;(2)基本不等式法;(3)单调性法;(4)三角换元法;(5)导数法等,要特别注意自变量的取值范围.对点训练1(2020山西太原三模,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知△BMN是椭圆C的内接三角形,若坐标原点O为△BMN的重心,求点O到直线MN距离的最小值.               突破策略二　基本不等式法【例2】(2020浙江,21)如图,已知椭圆C1:+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).(1)若p=,求抛物线C2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.              解题心得圆锥曲线中的有关平面几何图形面积的最值问题,通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式,转化为函数的最值问题,然后利用重要不等式,基本不等式,函数的值域求解最值,注意基本不等式应用条件及等号取得的条件.对点训练2(2020陕西榆林三模,文21)已知椭圆E:=1(a>)的离心率e=.直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.(1)求椭圆E的方程;(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,B,求△ABC的面积的最大值.             题型二　圆锥曲线中的范围问题(多维探究)突破策略一　条件转化法【例3】(2020湖南湘潭一模)已知F(,0)为椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点,点M在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,且kOA+kOB=-(O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围.        解题心得求某一量的取值范围,要看清与这个量有关的条件有几个,有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式,解不等式取交集得结论.对点训练3(2020河北邢台模拟,理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于P,Q两点.(1)若l过点F,抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G.证明:点G在定直线上.(2)若p=2,点M在曲线y=-上,MP,MQ的中点均在抛物线C上,求△MPQ面积的取值范围.           突破策略二　构造函数法【例4】已知直线x=-2上有一动点Q,过点Q作直线l,垂直于y轴,动点P在l上,且满足=0(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)已知定点M,N,点A为曲线C上一点,直线AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上,直线AN交曲线C于另一点D,求△MBD的内切圆半径r的取值范围.难点突破(1)设点P的坐标为(x,y),结合题意得出点Q的坐标,再利用向量数量积的运算可得出点P的轨迹方程;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),设直线AM的方程为y=k,将该直线方程与曲线C的方程联立,结合韦达定理进行计算得出点B和点D的横坐标相等,于是得出BD⊥x轴,根据几何性质得出△MBD的内切圆圆心H在x轴上,且该点与切点的连线与AB垂直.方法1是计算出△MBD的面积和周长,利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式;方法2是设H(x2-r,0),直线BD的方程为x=x2,写出直线AM的方程,利用点H到直线AB和AM的距离相等得出r的表达式;方法3是利用△MTH∽△MEB,得出,然后通过计算得出△MBD内切圆半径r的表达式.通过化简得到r关于x2的函数表达式,并换元t=x2+>1,将函数关系式转化为r关于t的函数关系式,然后利用单调性可求出r的取值范围.         解题心得在求直线与圆锥曲线的综合问题中,求与直线或与圆锥曲线有关的某个量d的取值范围问题,依据已知条件建立关于d的函数表达式,转化为求函数值的取值范围问题,然后利用函数的方法或解不等式的方法求出d的取值范围.对点训练4(2020山东青岛三模,21)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,其左、右顶点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B2,B1,四边形A1B1A2B2的面积为4.(1)求椭圆E的方程;(2)若椭圆E的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,记△F1MN的内切圆的半径为r,试求r的取值范围.      高考大题专项(五)　直线与圆锥曲线突破1　圆锥曲线中的最值、范围问题例1解(1)直线x+y=1与x轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故c=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1+x2=,y1+y2=,且=-1,又=1,=1,作差可得=0,则=0,得a2=2b2.又因为a2=b2+c2,c=1,所以a2=2,b2=1,因此椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)联立解得不妨令A(0,1),B,易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx,代入+y2=1,得(2k2+1)x2=2,解得x=或x=-,设C(x3,y3),D(x4,y4),则|x3-x4|=,则|CD|=|x3-x4|=.因为A(0,1),B到直线y=kx的距离分别是d1=,d2=,由于直线l与线段AB(不含端点)相交,所以(k×0-1)<0,即k>-,所以d1+d2=.四边形ACBD的面积S=|CD|·d1+|CD|·d2=|CD|(d1+d2)=,令k+1=t,t>,则2k2+1=2t2-4t+3,所以S=,当,即k=时,Smax=.因此四边形ACBD面积的最大值为.对点训练1解(1)因为椭圆C的焦距为2,所以a2-b2=1,因为椭圆过点,所以=1,解得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为=1.(2)设B(m,n),记线段MN中点为D.因为O为△BMN的重心,所以=2,则点D的坐标为.若n=0,则|m|=2,此时直线MN与x轴垂直,故原点O到直线MN的距离为,即为1.若n≠0,此时直线MN的斜率存在.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-m,y1+y2=-n.又=1,=1,两式相减得=0,可得直线MN的斜率kMN==-.故直线MN的方程为y=-,即6mx+8ny+3m2+4n2=0,则点O到直线MN的距离为d=,将=1,代入得d=.因为0<n2≤3,所以dmin=.又<1,故原点O到直线MN距离的最小值为.例2解(1)由p=,得抛物线C2的焦点坐标是.(2)由题意可设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0),点A(x0,y0).将直线l的方程代入椭圆C1:+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以点M的纵坐标yM=-.将直线l的方程代入抛物线C2:y2=2px,得y2-2pmy-2pt=0,所以y0yM=-2pt,解得y0=,因此x0=.由=1,得=4+2≥160,所以当m=,t=时,p取到最大值.对点训练2解(1)∵椭圆E:=1(a>)的离心率e=,∴,解得a=2.∴椭圆E的方程为=1.(2)依题意,圆心为C(t,0)(0<t<2).由得y2=.∴圆C的半径为r=.∵圆C与y轴相交于不同的两点A,B,且圆心C到y轴的距离d=t,∴0<t<,即0<t<.∴弦长|AB|=2=2.∴△ABC的面积S=·tt×,当且仅当t=,即t=时,等号成立.∴△ABC的面积的最大值为.例3解(1)由题意知,椭圆的另一个焦点为(-,0),所以点M到两焦点的距离之和为=4.所以a=2.又c=,所以b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)当直线l的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,kOA+kOB=0,不符合题意.故设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0.则x1+x2=,x1x2=.而kOA+kOB==2k+=2k+.由kOA+kOB=-,可得m2=4k+1,所以k≥-.又由Δ>0,得16(4k2-m2+1)>0,所以4k2-4k>0,解得k<0或k>1,综上,直线l的斜率的取值范围为∪(1,+∞).对点训练3 (1)证明易知F,设P,Q.由题意可知直线l的斜率存在,故设其方程为y=kx+.由得x2-2pkx-p2=0,所以x1x2=-p2.由x2=2py,得y=,y'=,则直线PG的斜率kPG=,直线PG的方程为y-(x-x1),即x-y-=0. ①同理可得直线QG的方程为x-y-=0. ②联立①②,可得(x1-x2)y=.因为x1≠x2,所以y==-,故点G在定直线y=-上.(2)解设M(x0,y0),P,Qx2,,MP,MQ的中点分别为.因为MP,MQ的中点均在抛物线上,所以x1,x2为方程=4×的解,即方程x2-2x0x+8y0-=0有两个不同的实数根,则x1+x2=2x0,x1x2=8y0-,Δ=(2x0)2-4(8y0-)>0,即>4y0.所以PQ的中点N的横坐标为x0,纵坐标为).则|MN|=)-y0=[(x1+x2)2-2x1x2]-y0=-3y0,|x1-x2|==2,所以△MPQ的面积S=|MN|·|x1-x2|=-4y0.由y0=-,得=1-(-1≤y0≤0),所以-4y0=--4y0+1=-(y0+2)2+5.因为-1≤y0≤0,所以1≤-(y0+2)2+5≤4,所以△MPQ面积的取值范围为.例4解(1)设P(x,y),则Q(-2,y),∴=(x,y),=(-2,y).∵=0,∴=-2x+y2=0,即y2=2x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),直线BD与x轴交点为E,内切圆与AB的切点为T.设直线AM的方程为y=kx+,则联立方程得k2x2+(k2-2)x+=0.∴x1x2=,又0<x1<x2,∴x1<<x2,∴直线AN的方程为y=x-,与方程y2=2x联立,得x2-+2-2x1+x+=0,化简得2x1x2-2x+x1=0.解得x=或x=x1.∴x3==x2,∴BD⊥x轴.设△MBD的内切圆圆心为H,则H在x轴上且HT⊥AB.(方法1)∴S△MBD=·x2+·2|y2|,且△MBD的周长为2+2|y2|.∴S△MBD=2+2|y2|·r=·x2+·|2y2|.∴r===.令t=x2+,则t>1,∴r=在(1,+∞)上单调递增,则r>,即r的取值范围为(-1,+∞).(方法2)设H(x2-r,0),直线BD的方程为x=x2,其中=2x2.直线AM的方程为y=x+,即y2x-x2+y+y2=0,且点H与点O在直线AB的同侧,∴r=,解得r=.以下同方法1.(方法3)∵△MTH∽△MEB,∴,即,解得r===.以下同方法1.对点训练4解(1)因为椭圆E的离心率为,所以e=.因为四边形A1B1A2B2的面积为4,所以×2a×2b=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,所以椭圆E的方程为=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则△F1MN的周长为4a=8,(|F1M|+|F1N|+|MN|)r=4r,即r=.当l⊥x轴时,l的方程为x=1,|MN|=3,r=|MN|×|F1F2|=.当l与x轴不垂直时,设l:y=k(x-1)(k≠0),由得(4k2+3)y2+6ky-9k2=0,所以y1+y2=-,y1y2=-.|F1F2|·|y2|+|F1F2|·|y1|=|F1F2|·|y2-y1|=|F1F2|·×2×=12,所以r==3,令4k2+3=t,则t>3,r==,因为t>3,所以0<,所以0<r<.综上可知,r的取值范围为.