2020届湖北省黄冈市高三9月质量检测数学（文）试题（word版）

湖北省黄冈市2020届高三9月质量检测

数学（文）试题

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x|lg（x+1）≤1}，则（∁RA）∩B=（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 若a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）

A.  B.  C.  D.

3. 设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S1+3S2-S3=0，且a1=1，则a4=（　　）

A. 9 B. 18 C. 21 D. 27

4. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（　　）

A. 1 B.  C. 1 或 D. 2 或

5. 在等腰直角三角形ABC与ABD中，∠DAB=∠ABC=90°，平面ADB⊥平面ABC，E，F分别为BD，AC的中点．则异面直线AE与BF所成的角为（　　）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数f（x）=x3-3x2+3x-1，则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为（　　）

A.  B.  C.  D.

7. 已知圆C与直线x+y+3=0相切，直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积，则圆C方程为（　　）

A.  B.  C.  D.

8. 函数f（x）=在[-π，π]的图象大致为（　　）

A.  B.
C.  D.

9. 将函数f（x）=sin（2x-），若方程f（x）=的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1-x2）=（　　）

A.  B.  C.  D.

10. 椭圆与双曲线焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线Q的渐近线斜率是（　　）

A.  B.  C.  D.

11. 在等腰△ABC中，AB=AC，BC=6，向量，则的值为（　　）

A. 9 B. 18 C. 27 D. 36

12. 在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（　　）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 若命题“∃x0∈R，x02+mx0-3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是______．
14. 等差数列{an}中，且a1+a2+a3=2，a2+a3+a4=5，则a1-a2+a3-a4+a5-a6+……+a2019-a2020=______
15. 某贫困地区现在人均年占有粮食为420kg，如果该地区人口平均每年增长1%，粮食总产量平均每年增长5%，那么x年后该地区人均年占有ykg粮食，则函数y关于x的解析式是______．
16. 若函数f（x）=m-x3+3lnx在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为______

三、解答题（本大题共6小题）

17. 已知命题p：∃x0∈R，-x02+2x0-2m＞0，q：∀x∈R，x2-2mx+1≥0．
    （1）若命题￢q为真命题，求实数m的取值范围；
    （2）若p∨（￢q）为真命题，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
18. 设函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），y=f′（x）是y=f（x）的导函数，若为奇函数，且对任意的x∈R有g（x）≤2．
    （1）求g（x）的表达式．
    （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，求△ABC的面积最大值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知数列{an}满足：，an≠1且a1=2
    （1）证明数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
    （2）令，求数列{bn}的前n项和Sn．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
    （1）若函数f（x）的最小值为f（-1）=-1，且c=1，，求F（3）+F（-3）的值；
    （2）若a=3，c=1，且|f（x）|≤2在区间（0，2]上恒成立，试求b的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD草坪如下图所示，已知：AB=120米，米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，要求点O是AB的中点，点E在边BC上，且∠EOF=90°．
    （1）设∠BOE=α，试求△OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；
    （2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数f（x）=a（x+lnx）-xex．
    （1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；
    （2）若f（x）＜0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案

1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】A
12.【答案】B
13.【答案】m∈∅
14.【答案】-1010
15.【答案】y=420•（）x，x∈N*
16.【答案】（1，3+]
17.【答案】解：（1）∵￢q为：∃x0∈R，x02-2mx0+1＜0，

18.【答案】解（1）函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），y=f′（x）是y=f（x）的导函数，
所以f′（x）=ωcos（ωx+φ），
则=sin（ωx+φ）+ωcos（ωx+φ）
由于对任意的x∈R有g（x）≤2．
所以，解得ω=1．
由于函数g（x）为奇函数，所以g（0）=sinφ+cosφ=0，
由于0＜φ＜π，
所以φ=，
则．
（2）由于=2，
且cosAsinB=2sinAcosB，，b=
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=3sinAcosB．
所以•3sinAcosB=3sin2B，
当B=时，S△ABC的最大值为3．
19.【答案】解：（1）证明：由，得==1+，
可得-=1，
即数列是以=1为首项，1为公差的等差数列，
且=1+n-1=n，则an=1+；
（2）=n•2n，
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②
①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1，
则Sn=2+（n-1）•2n+1．
 

【解析】（1）将已知等式取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得=n•2n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用取倒数，考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）由已知c=1，a-b+c=-1，且-=-1，
解得a=2，b=4，∴f（x）=2（x+1）2-1；
∴F（x）=，
∴F（3）+F（-3）=2×（3+1）2-1+1-2×（-3+1）2=24；
（2）由a=3，c=1，得f（x）=3x2+bx+1，
从而|f（x）|≤2在区间（0，2]上恒成立等价于-2≤3x2+bx+1≤2在区间（0，2]上恒成立，
即b≤-3x且b≥--3x在（0，2]上恒成立．
又y=-3x在（0，2]递减，可得其最小值为-，
y=--3x=-3（x+）≤-6，当且仅当x=1时，取得等号，可得其最大值为-6．
∴-6≤b≤-．
故b的取值范围是[-6，-]．
 

【解析】（1）由题意可得a，b，c的方程组，解方程可得a，b，c的值，进而得到F（x）的解析式，可得所求和；
（2）求得f（x）=3x2+bx+1，|f（x）|≤2在区间（0，2]上恒成立等价于-2≤3x2+bx+1≤2在区间（0，2]上恒成立，即b≤-3x且b≥--3x在（0，2]上恒成立．由函数的单调性和基本不等式可得不等式右边函数的最值，由不等式恒成立思想可得所求范围．
本题考查二次不等式的解析式求法，以及不等式恒成立问题解法，考查参数分离和函数的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）由题意，在Rt△BOE中，OB=60，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=，Rt△AOF中，OA=60，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=．
又∠EOF=90°，∴EF===，
所以l=OE+OF+EF=++，
即l=．
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．
故此函数的定义域为．
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l=，α∈，
设sinα+cosα=t，则sinα•cosα=，
∴l===．…………（8分）
由α∈，得≤α+≤，得≤t≤，
∴≤t-1≤-1，
从而+1≤≤+1，当α=，即BE=60时，lmin=120（+1），
答：当BE=AF=60米时，铺路总费用最低，最低总费用为36 000（+1）元．
 

【解析】（1）结合勾股定理通过l=OE+OF+EF，得到l=．注明函数的定义域．
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，设sinα+cosα=t，转化求解△OEF的周长l的最小值即可．
本题考查实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．
22.【答案】解：（1）函数定义域为（0，+∞），当a=1时，f（x）=x+lnx-xex，由f′（x）=1+-（x+1）ex=（x+1），
令f′（x）=0，∃x0∈（0，+∞），使1-x0e=0，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x0，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴f（x）极大值=f（x0）=x0+lnx0-x0e，
由f′（x0）=0知x0e=1，∴e=，∴lne=ln，即x0+lnx0=0，故f（x）极大值=-1，
（2）由f′（x）=a（1+）-（x+1）ex=，（x≥1），
①当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，f（x）≤f（1）=a-e＜0满足题意；
②当0＜a≤e时，∵x≥1，a-xex≤0，f′（x）≤0．∴f（x）在区间[1，+∞）单调递减，f（x）max=f（1）=a-e＜0，∴0＜a＜e；
③当a＞e时，∃x0∈（1，+∞）使x0e-a=0，当x∈（1，x0）时，f（x）单调递增；当x∈（x0，+∞）时，f（x）单调递减；
∴f（x）max=f（x0）=a（x0+lnx0）-x0e=a（lna-1）＞0，∴f（x）＜0不恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，e）．
 

【解析】（1）当a=1时，f（x）=x+lnx-xex，f′（x）=1+-（x+1）ex=（x+1），进而求解；
（2）f′（x）=a（1+）-（x+1）ex=，（x≥1），继而判断导函数的符号，进而求解．
（1）考查函数求导，利用导函数确定函数的极值点；
（2）考查不等式在特定区间上恒成立问题的转化，分类讨论的思想，将恒成立问题转化为求函数的极值问题．