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    华大新高考联盟2020届高三11月教学质量测评数学(理)试题 Word版含解析

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    这是一份华大新高考联盟2020届高三11月教学质量测评数学(理)试题 Word版含解析,共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2019-2020学年湖北省华大新高考联盟高三(上)11月质检数学试卷(理科)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.已知集合A={x|x﹣2<0},B={x|x2﹣x﹣2<0},则A∩B=(  )
    A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,1) C.(﹣2,1) D.(﹣1,2)
    2.复平面内表示复数z=的点位于(  )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    3.设两个单位向量的夹角为,则=(  )
    A.1 B. C. D.7
    4.设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,给出下列四个命题:
    ①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥α,a∥β,则α∥β;
    ③若a⊥α,b⊥α,则a∥b;④若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
    其中正确的个数是(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    5.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数越小表示空气质量越好,空气质量指数小于100表示空气质量优良,下列叙述中不正确的是(  )

    A.这14天中有7天空气质量优良
    B.这14天中空气质量指数的中位数是103
    C.从10月11日到10月14日,空气质量越来越好
    D.连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
    6.已知甲、乙、丙三人中,一位是河南人,一位是湖南人,一位是海南人,丙比海南人年龄大,甲和湖南人不同岁,湖南人比乙年龄小,由此可以推知:甲、乙、丙三人中(  )
    A.甲不是海南人 B.湖南人比甲年龄小
    C.湖南人比河南人年龄大 D.海南人年龄最小
    7.已知数列{an}对于任意正整数m,n,有am+n=am+an,若a20=1,则a2020=(  )
    A.101 B.1 C.20 D.2020
    8.函数的图象大致是(  )
    A. B.
    C. D.
    9.已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P是C上一点,满足PF2⊥F1F2,Q是线段PF1上一点,且,,则C的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    10.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是偶函数,则(  )
    A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
    C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+2)
    11.将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫,每个贫困村至少分配1名党员干部,则不同的分配方案共有(  )
    A.2640种 B.4800种 C.1560种 D.7200种
    12.已知函数f(x)=sinx•sin2x,下列结论中错误的是(  )
    A.y=f(x)的图象关于点对称
    B.y=f(x)的图象关于直线x=π对称
    C.f(x)的最大值为
    D.f(x)是周期函数
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上,则该球的体积为   .
    14.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点,若线段PF1的中点Q在C的渐近线上,则C的两条渐近线方程为   .
    15.若直线y=kx+b是曲线y=ex﹣2的切线,也是曲线y=ex﹣1的切线,则b=   .
    16.设等比数列{an}满足a3=2,a10=256,则数列{4n2an}的前n项和为   .
    三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=4,bsinA=3.
    (1)求tanB及边长a的值;
    (2)若△ABC的面积S=9,求△ABC的周长.
    18.《九章算术》中,将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,∠ABC=60°.
    (1)证明:三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵;
    (2)求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值.

    19.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到F(1,0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1.
    (1)求曲线C的方程;
    (2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8,求直线l的方程.
    20.已知函数f(x)=sin2x﹣|ln(x+1)|,g(x)=sin2x﹣x.
    (1)求证:g(x)在区间上无零点;
    (2)求证:f(x)有且仅有两个零点.
    21.一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站,共101站,设棋子跳到第n站的概率为Pn,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出奇数点,则棋子向前跳动一站;若掷出偶数点,则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或100站(失败)时,游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具,它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6).
    (1)求P0,P1,P2,并根据棋子跳到第n站的情况,试用Pn﹣2和Pn﹣1表示Pn;
    (2)求证:{Pn﹣Pn﹣1}(n=1,2…,100)是等比数列;
    (3)求玩该游戏获胜的概率.
    请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
    22.直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
    (1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
    (2)求C上的点,到l距离的最大值.
    [选修4-5:不等式选讲]
    23.已知a,b为正数,且满足a+b=1.
    (1)求证:;
    (2)求证:.

    2019-2020学年湖北省华大新高考联盟高三(上)11月质检数学试卷(理科)
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.已知集合A={x|x﹣2<0},B={x|x2﹣x﹣2<0},则A∩B=(  )
    A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,1) C.(﹣2,1) D.(﹣1,2)
    【解答】解:A={x|x<2},B={x|﹣1<x<2},
    ∴A∩B=(﹣1,2).
    故选:D.
    2.复平面内表示复数z=的点位于(  )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    【解答】解:∵z===,
    ∴复平面内表示复数z=的点的坐标为(),位于第三象限.
    故选:C.
    3.设两个单位向量的夹角为,则=(  )
    A.1 B. C. D.7
    【解答】解:两个单位向量的夹角为,
    则=9+24•+16=9×12+24×1×1×cos+16×12=13,
    所以=.
    故选:B.
    4.设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,给出下列四个命题:
    ①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥α,a∥β,则α∥β;
    ③若a⊥α,b⊥α,则a∥b;④若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
    其中正确的个数是(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【解答】解:对于①,若a∥α,b∥α,则直线a和直线b可以相交也可以异面,故①错误;
    对于②,若a∥α,a∥β,则平面a和平面β可以相交,故②错误;
    对于③,若a⊥α,b⊥α,则根据线面垂直出性质定理,a∥b,故③正确;
    对于④,若a⊥α,a⊥β,则α∥β成立;
    故选:B.
    5.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数越小表示空气质量越好,空气质量指数小于100表示空气质量优良,下列叙述中不正确的是(  )

    A.这14天中有7天空气质量优良
    B.这14天中空气质量指数的中位数是103
    C.从10月11日到10月14日,空气质量越来越好
    D.连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
    【解答】解:由 图可知,空气质量指数小于100表示空气质量优良,有7天,A正确,
    空气质量指数从小到大为:25,37,40,57,79,86,86,121,143,158,160,160,217,220,
    3月1日至14日空气质量指数的中位数为:,B不成立,
    C,正确,
    D,正确,偏差最大,
    故选:B.
    6.已知甲、乙、丙三人中,一位是河南人,一位是湖南人,一位是海南人,丙比海南人年龄大,甲和湖南人不同岁,湖南人比乙年龄小,由此可以推知:甲、乙、丙三人中(  )
    A.甲不是海南人 B.湖南人比甲年龄小
    C.湖南人比河南人年龄大 D.海南人年龄最小
    【解答】解:由于甲和湖南人不同岁,湖南人比乙年龄小,可知湖南人不是甲乙,故丙是湖南人;
    由于丙比海南人年龄大,湖南人比乙年龄小,可知甲是海南人;
    故:乙(河南人)的年龄>丙(湖南人)的年龄>甲(海南人)的年龄;
    所以ABC错,D对.
    故选:D.
    7.已知数列{an}对于任意正整数m,n,有am+n=am+an,若a20=1,则a2020=(  )
    A.101 B.1 C.20 D.2020
    【解答】解:∵amn=am+an对于任意正整数m,n都成立,
    当m=1,n=1时,a2=a1+a1=2a1,
    当m=2,n=1时,a3=a2+a1=3a1,

    ∴an=na1,
    ∴a20=20a1=1,
    ∴a1=,
    ∴a2020=2020a1=2020×=101.
    故选:A.
    8.函数的图象大致是(  )
    A. B.
    C. D.
    【解答】解:函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B,
    当x>0,x→0,f(x)>0,且f(x)→0,排除A,
    函数的导数f′(x)=x2+cosx,则f′(x)为偶函数,
    当x>0时,设h(x)=x2+cosx,则h′(x)=2x﹣sinx>0恒成立,即h(x)≥h(0)=1>0,
    即f′(x)>0恒成立,则f(x)在R上为增函数,
    故选:D.
    9.已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P是C上一点,满足PF2⊥F1F2,Q是线段PF1上一点,且,,则C的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    【解答】解:如图所示,∵PF2⊥F1F2,∴P(c,).
    ∵,∴=,
    ∴=+=(﹣c,0)+(2c,)=(,),
    ∵,
    ∴(2c,)•(﹣,)=﹣+=0,又b2=a2﹣c2.
    化为:e4﹣4e2+1=0,e∈(0,1).
    解得e2=2﹣,
    ∴e=.
    故选:A.

    10.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x﹣1)都是偶函数,则(  )
    A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
    C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+2)
    【解答】解:f(x+1)与f(x﹣1)都是偶函数,根据函数图象的平移可知,f(x)的图象关于x=1,x=﹣1对称,
    可得f(x)=f(2﹣x)=f(﹣4+x),即有f(x+4)=f(x),
    ∴函数的周期T=4,
    ∴f(﹣x+3)=f(﹣x﹣1)=f(x+3),则f(x+3)为偶函数,
    故选:C.
    11.将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫,每个贫困村至少分配1名党员干部,则不同的分配方案共有(  )
    A.2640种 B.4800种 C.1560种 D.7200种
    【解答】解:依题意,6人分成每组至少一人的4组,可以分为3,1,1,1或2,2,1,1两种,
    分为3,1,1,1四组时,有=480种,
    分为2,2,1,1四组时,有=1080种,
    故共有480+1080=1560种,
    故选:C.
    12.已知函数f(x)=sinx•sin2x,下列结论中错误的是(  )
    A.y=f(x)的图象关于点对称
    B.y=f(x)的图象关于直线x=π对称
    C.f(x)的最大值为
    D.f(x)是周期函数
    【解答】解:对于A,因为f(π﹣x)+f(x)=sin(π﹣x)sin(2π﹣2x)+sinxsin2x=0,所以A正确;
    对于B,f(2π﹣x)=sin(2π﹣x)sin(4π﹣2x)=sinxsin2x=f(x),所以B正确;
    对于C,f(x)=sinx•sin2x=2sin2xcosx=2(1﹣cos2x)cosx=2cosx﹣2cos3x,令t=cosx,则t∈[﹣1,1],f(x)=g(t)=2t﹣2t3,令g′(t)=2﹣6t2=0,得,t=,当t=时,g(t)有最大值2(1﹣)=,故C错误;
    对于D,f(2π+x)=f(x),故2π为函数f(x)的一个周期,故D正确;
    故选:C.
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上,则该球的体积为 4π .
    【解答】解:若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上,
    则球的直径等于正方体的对角线长
    即2R=2
    ∴R=
    则球的体积V==4π.
    故答案为:4π.
    14.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点,若线段PF1的中点Q在C的渐近线上,则C的两条渐近线方程为 y=±2x .
    【解答】解:双曲线的渐近线方程为y=±x,
    点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点,可得PF1⊥PF2,
    线段PF1的中点Q在C的渐近线,可得OQ∥PF2,
    且PF1⊥OQ,OQ的方程设为bx+ay=0,
    可得F1(﹣c,0)到OQ的距离为=b,
    即有|PF1|=2b,|PF2|=2|OQ|=2a,
    由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2b﹣2a=2a,
    即b=2a,
    所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.
    故答案为:y=±2x.
    15.若直线y=kx+b是曲线y=ex﹣2的切线,也是曲线y=ex﹣1的切线,则b=  .
    【解答】解:设直线y=kx+b与y=ex﹣2和y=ex﹣1的切点分别为()和(),
    则切线分别为,,
    化简得:,,
    依题意有:,
    ∴x1﹣2=x2,x2=﹣ln2,
    则b==.
    故答案为:.
    16.设等比数列{an}满足a3=2,a10=256,则数列{4n2an}的前n项和为 Sn=(n2﹣2n+3)•2n+1﹣6 .
    【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,a3=2,a10=256,
    可得q7==128,解得q=2,
    则an=a3qn﹣3=2n﹣2,
    可得4n2an=n22n,
    设数列{4n2an}的前n项和为Sn,
    则Sn=1•2+22•22+32•23+…+n22n,
    2Sn=1•22+22•23+32•24+…+n22n+1,
    相减可得﹣Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n﹣1)•2n﹣n22n+1,
    ﹣2Sn=1•22+3•23+5•24+…+(2n﹣1)•2n+1﹣n22n+2,
    相减可得Sn=1•2+2(22+23+…+2n)+n22n+1﹣(2n﹣1)•2n+1
    =2+2•+(n2﹣2n+1)•2n+1
    =(n2﹣2n+3)•2n+1﹣6.
    故答案为:Sn=(n2﹣2n+3)•2n+1﹣6.
    三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=4,bsinA=3.
    (1)求tanB及边长a的值;
    (2)若△ABC的面积S=9,求△ABC的周长.
    【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由acosB=4,bsinA=3,
    两式相除,有==•=•=,
    所以tanB=,
    又acosB=4,
    故cosB>0,则cosB=,
    所以a=5. …
    (2)由(1)知sinB=,
    由S=acsinB,得到c=6.
    由b2=a2+c2﹣2accosB,得b=,
    故l=5+6+=11+
    即△ABC的周长为11+.…
    18.《九章算术》中,将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,∠ABC=60°.
    (1)证明:三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵;
    (2)求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值.

    【解答】解:(1)证明:∵AB=1,AC=,∠ABC=60°,
    ∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°,即3=1+BC2﹣BC,解得BC=2,
    ∴BC2=AB2+AC2,即AB⊥AC,则△ABC为直角三角形,
    ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵;
    (2)如图,作AD⊥A1C交A1C于点D,连接BD,由三垂线定理可知,BD⊥A1C,
    ∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角,
    在Rt△AA1C中,,
    在Rt△BAD中,,
    ∴,即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为.

    19.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到F(1,0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1.
    (1)求曲线C的方程;
    (2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8,求直线l的方程.
    【解答】解:(1)依题意,设曲线C上的的坐标为(x,y),则x>0,
    所以﹣x=1,
    化简得:y2=4x,(x>0);
    (2)根据题意,直线l的方程为y=k(x﹣1),
    联立直线l和曲线C的方程得,k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,
    设A(x1,y1),B(x2,y2)
    所以,
    所以|AB|=8=x1+x2+2,即=6,
    解得k=±1,
    所以直线l方程为:x+y﹣1=0或者x﹣y﹣1=0.
    20.已知函数f(x)=sin2x﹣|ln(x+1)|,g(x)=sin2x﹣x.
    (1)求证:g(x)在区间上无零点;
    (2)求证:f(x)有且仅有两个零点.
    【解答】证明:(1)g′(x)=2cos2x﹣1,
    当时,,此时函数g(x)单调递增,
    当时,,此时函数g(x)单调递减,
    又,,
    ∴函数g(x)在区间上无零点;
    (2)要证函数f(x)有且仅有两个零点,只需证明方程sin2x﹣|ln(x+1)|=0有且仅有两个解,
    设m(x)=sin2x,n(x)=|ln(x+1)|,则只需证明函数m(x)与函数n(x)的图象有且仅有两个交点,
    在同一坐标系中作出两函数图象如下,

    由图象可知,函数m(x)与函数n(x)的图象有且仅有两个交点,故原命题得证.
    21.一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站,共101站,设棋子跳到第n站的概率为Pn,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出奇数点,则棋子向前跳动一站;若掷出偶数点,则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或100站(失败)时,游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具,它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6).
    (1)求P0,P1,P2,并根据棋子跳到第n站的情况,试用Pn﹣2和Pn﹣1表示Pn;
    (2)求证:{Pn﹣Pn﹣1}(n=1,2…,100)是等比数列;
    (3)求玩该游戏获胜的概率.
    【解答】解:(1)根据题意,棋子跳到第n站的概率为pn,
    则p0即棋子跳到第0站的概率,则p0=1,
    p1即棋子跳到第1站的概率,则,
    p2即棋子跳到第2站的概率,有两种情况,即抛出2次奇数或1次偶数,则;
    故跳到第n站pn有两种情况,①在第n﹣2站抛出偶数,②在第n﹣1站抛出奇数;
    所以;
    (2)证明:∵,
    ∴,
    又∵;
    ∴数列{Pn﹣Pn﹣1}(n=1,2…,100)是以为首项,﹣为公比的等比数列.
    (3)玩游戏获胜即跳到第99站,
    由(2)可得(1≤n≤100),
    ∴,




    ∴,
    ∴.
    请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
    22.直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
    (1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
    (2)求C上的点,到l距离的最大值.
    【解答】解:(1)由(t为参数),
    两式平方相加,得x2+y2=1(x≠﹣1);
    由ρcosθ+ρsinθ+4=0,得x+y+4=0.
    即直线l的直角坐标方程为得x+y+4=0;
    (2)设C上的点P(cosθ,sinθ)(θ≠π),
    则P到直线得x+y+4=0的距离为:
    d==.
    ∴当sin(θ+φ)=1时,d有最大值为3.
    [选修4-5:不等式选讲]
    23.已知a,b为正数,且满足a+b=1.
    (1)求证:;
    (2)求证:.
    【解答】证明:已知a,b为正数,且满足a+b=1
    (1)(1+)(1+)=1+=1+,
    ()(a+b)≥()2=8,
    故;
    (2)∵a+b=1,a>0,b>0,
    ∴根据基本不等式1=a+b≥2∴0<ab≤,
    (a+)(b+)==≥ab+,
    令t=ab∈(0,],y=t+递减,
    所以,
    故(a+)(b+)≥2+=.

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