2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题

东北育才学校高中部2020届高三第三次 模拟考试

(理科数学）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1. 设集合，，则=（    ）A.       B.        C.        D.

2.复数的虚部为（　）A.   B.   C.      D.

3.已知直线和互相平行，则实数（   ）

A. 或3  B.     C.     D. 或

4.已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（    ）

A．充分而不必要条件           B．必要而不充分条件

C．充分必要条件               D．既不充分也不必要条件

5、设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，（   ） A.       B．     C．        D．

6.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是（    ）

A.      B.        C.       D.

7.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分

别为，，此时气球的高是m，则河流的

宽度等于(     )

A.        B.

C.       D.

8.三个数大小关系是（　　）

A．1.10.4＜0.41.1＜log0.41.1 B．0.41.1＜log0.41.1＜1.10.4  

C．log0.41.1＜1.10.4＜0.41.1  D．log0.41.1＜0.41.1＜1.10.4 

9.设函数，其中，则导数的取值范围是 (    )

A.    B.  C.     D.

10.已知点是内部一点，满足，且的面积为，的面积为则(     )   

A. ​     B.      C.        D.

11. 定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：①②

③④ 其中为“H函数”的有（    ）

A.①②      B.③④       C. ②③      D. ①②③

12.经过双曲线的右焦点作该双曲线一条渐

近线的垂线与两条渐近线相交于两点，若是坐标原点，△

的面积是，则该双曲线的离心率是 (     )

A.    B.        C.  D.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.函数的最大值是______．

14. 过原点作圆的两条切线，设切点分别为

,则直线的方程是 ______．

15.设定义域为的函数满足则不等式解集为______．

16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在直线上，当取最大值时，______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在中，角所对的边分别为，且．

（1）求角；

（2）若，，求的长度．

18.2019年电商“双十一”大战前夕.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对沈阳地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示： (年龄单位：岁)[来源:Z|xx|k.Com]

(1)    若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2x2列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？

(2)    若从年龄在［55， 65)，［65， 75］的样本中各随机选取2 人进行座谈，记选中的 4人中"使用网上购物”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据

参考公式：

19. 四棱锥中，，底面为
20. 菱形，且有，，，为

中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

20.设函数

（1）求函数的极值；

（2）当时，恒成立，求整数的最大值.（参考数值，）

21.已知为椭圆的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，当点与坐标原点重合时，直线的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求面积的最大值．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分

22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴极坐标，曲线的方程：，曲线的方程：．

（1）求曲线和曲线的直角坐标系方程；

（2）从上任意一点作曲线的切线，设切点为，求切线长的最小值及此时点的极坐标．

23.设函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若的解集为，，求证：．

东北育才学校高中部2020届高三第三次模拟考试试题答案

选择题1-12：

CBABB     DBDAA  CC

填空题：13.1     14.      15.       16.

17.解：（1）△ABC中，由acosB＝（c﹣b）cosA，利用正弦定理可得sinAcosB＝sinCcosA﹣sinBcosA，化简可得 sin（A+B）＝sinCcosA，即 sinC＝sinCcosA，求得cosA＝，∴A＝．

（2）由cosB＝，可得sinB＝，再由正弦定理可得，即，得b＝2．△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，AB＝6.

18.解：由统计表得，低于45岁的人数为70人，不低于45岁的人数为30人

故在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关

（2）X的可能取值为0，1，2，3

，

，

X的分布列为

X的数学期望为

19.解：（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，

∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD

∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点

∴EO∥PA，又∵PA⊥面ABCD，∴EO⊥面ABCD

∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线

∴AC⊥面BED（6分）

（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得

∴（8分）

设是平面ABE一个法向量

由，解得，

所以取x1＝1，，，可得，

因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设＝（10分）

∴

根据题意可知：二面角E﹣AB﹣C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|＝

∴二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．（12分）

20.解：（1）的定义域为

令，解得；令，解得

当时，单调递增，

当时，单调递减，

；无极小值      -----------------------4分

（2），因为，所以（）恒成立

 设，则

 设则

 所以在上单调递增，

又

所以存在使得，

当时，；当时，

所以在上单调递减，上单调递增

 所以

 又，

 所以

令

则，所以在上单调递增

 所以，即

 因为，所以，所以的最大值为2    -------------------------------------12

21.解：（1）设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则kPA•kPB＝＝﹣．

又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，又a＝2，解得b＝1．

∴椭圆C的标准方程为：+y2＝1．

（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，

∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∵＝2，∴y1＝﹣2y2，

∴+＝﹣，代入可得：m2＝．

∴△OAB的面积S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，

∴S2＝m2•＝××＝9×．

∴S＝＝≤1，当且仅当t2＝时取等号．

∴△OAB面积的最大值为1．

22.解：（I）曲线C1的方程：（α为参数），可得．

由曲线C2的方程：．展开化为，化为x+y﹣8＝0．

（II）根据题意设曲线C1的圆心为M，则|PQ|＝，当|PQ|最短时，|PM|最小，

当PM⊥C2时，|PM|最短，此时|PM|＝＝6，

此时PM的直线方程为y＝x，可得P．

化为极坐标P，|PQ|的最小值＝＝．

23.解：（1）当a＝2时，不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，

∴①，或②，或 ③．

解①求得x≤﹣2，解②求得x∈∅，解③求得x≥5，

∴不等式的解集为（﹣∞﹣2]∪[5，+∞）．

（2）f（x）≤2，即|x﹣a|≤2，解得a﹣2≤x≤a+2，而f（x）≤2解集是[﹣1，3]，

∴，解得a＝1，∴+＝1 （m＞0，n＞0）．

∴m+4n＝（m+4n）•（+）＝3++≥3+2，当且仅当＝，即 m＝+1，n＝时，取等号．

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