2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，函数的图象大致是等内容，欢迎下载使用。
2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．若复数满足（为虚数单位），则为（    ）A． B． C． D．3．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”，如图是某市月日到日的统计数据，则下列叙述正确的是（    ）A．这天的的中位数是B．天中超过天空气质量为“优良”C．从月日到日，空气质量越来越好D．这天的的平均值为4．已知平面向量，，若，则（    ）A． B． C． D．5．某围棋俱乐部有队员人，其中女队员人，现随机选派人参加围棋比赛，则选出的人中有女队员的概率为（    ）A． B． C． D．6．已知，表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则7．函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则等于（    ）A． B． C． D．8．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（    ）A． B． C． D．9．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．10．正三角形的边长为，将它沿高折叠，使点与点间的距离为，则四面体外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．11．有如下命题：①函数与的图象恰有三个交点；②函数与的图象恰有一个交点；③函数与的图象恰有两个交点；④函数与的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（   ）A． B． C． D．12．若函数的图象关于点对称，，分别是的极大值点与极小值点，则（    ）A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在中，若，，，则_____．14．如图，圆（圆心为）的一条弦的长为，则_____．15．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）．16．定义在正实数上的函数，其中表示不小于的最小整数，如，，当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在平面四边形中，，，，设．（1）若，求的长度；（2）若，求．            18．（12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示．（1）求这名考生的平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求．（精确到）附：①，；②，则，；③．     19．（12分）如图，三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点．（1）在上确定点，使平面，并说明理由；（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值．      20．（12分）已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值．（1）求线段的中点的轨迹方程；（2）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围．    21．（12分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若存在，，使得，求证：．                 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的值．                      23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，，使得，求实数的取值范围．      
2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，∴．2．【答案】A【解析】（为虚数单位），∴，∴，解得，则．3．【答案】C【解析】这天的指数值的中位数是，故A不正确；这天中，空气质量为“优良”的有，，，，，共天，故B不正确；从日到日，空气质量越来越好，故C正确；这天的指数值的平均值约为，故D不正确．4．【答案】B【解析】，∵，∴，解得．5．【答案】D【解析】由题意结合排列组合公式可得随机选派人参加围棋比赛的方法有种，而选出的人中没有女队员的方法有种，结合古典概型计算公式可得：选出的人中有女队员的概率为．6．【答案】B【解析】A．若，，则，相交或平行或异面，故A错；B．若，，由线面垂直的性质定理可知，故B正确；C．若，，则或，故C错；D．若，，则或或，故D错．7．【答案】D【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，由于平移后的图象关于原点对称，故，∴，由，得．8．【答案】B【解析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为，， ，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，据此可得，组合体的表面积．9．【答案】B【解析】代，知函数过原点，故排除D，代入，得，排除C，代入，，排除A．10．【答案】B【解析】根据题意可知四面体的三条侧棱、，底面是等腰，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面，，，∴，∴的外接圆的半径为，由题意可得：球心到底面的距离为，∴球的半径为，外接球的表面积为．11．【答案】C【解析】①设，则，即函数为减函数，∵，函数是奇函数，∴函数只有一个零点，即函数与的图象恰有一个交点，故①错误，②由①知当时，；当时，；当时，；当时，，故函数与的图象恰有一个交点，故②正确，③作出函数与的图象，由图象知两个函数有个交点，即函数与的图象恰有两个交点，故③正确，④作出函数与的图象，由图象知两个函数有个交点，即函数与的图象恰有三个交点，故④正确．12．【答案】C【解析】由题意可得，函数图象关于点对称，且，故，即，据此可得，解得，故函数的解析式为，，结合题意可知：，是方程的两个实数根，且，故． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】由余弦定理得，解得或（舍去）．14．【答案】【解析】过点作于，则为的中点，∴．15．【答案】【解析】由于，，，据此结合排列组合的性质可得项的系数为．16．【答案】【解析】易知：当时，因为，所以，所以，所以，．当时，当，则，所以，所以，．当时，当，则，所以，，；当时，当，则，所以，所以，；当时，当，则，所以，所以，．由此类推：．故． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可知，，在中，，，，由余弦定理可知，，．（2）由题意可知，，，在中，由正弦定理可知，，∴，∴．18．【答案】（1）分；（2）约635人；（3）．【解析】（1）由题意知：∴，∴名考生的竞赛平均成绩为分．（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴．∴竞赛成绩超过分（含分）的人数估计为人人．（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率．而，∴．19．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）取中点，连结，，在中，取为中点，连接，则，延长与交于点，则即为所求点，为平行四边形，点，为中点，则，由线面平行的判定定理可得平面，同理可得，平面，又，，据此可得平面平面，故平面．（2）作平面，与延长线交于，则，，，∴，∵，，∴，∴，∴．作，则直线与平面所成角即直线与平面所成角，∵，∴．设到平面的距离为，则，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵点在上运动，点在上运动，∴设，，线段的中点，则有，，∴，，∵线段的长为定值，∴，即，化简得，∴线段的中点的轨迹方程为．（2）设，，联立，得，，化简得①，则，，，若，则，即，所以，即，化简得②，由①②得，，因为到直线的距离，所以，又因为，所以，所以到直线的距离的取值范围是．21．【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析．【解析】（1），令，则，解得，∴，令，，∴时，函数取得极小值即最小值，∴，∴函数在上单调递增．（2）由（1）可得：函数在上单调递增．要证明：，又，因此，即，，则，令，，，，令，，∴在上单调递增．∴，∴函数在上单调递增．∴，因此结论成立．22．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）曲线的普通方程为，则的极坐标方程为．（2）设，，将代入，得，所以，所以．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，或或，解得，所以原不等式的解集为．（2）对任意恒成立，对实数有解．∵，根据分段函数的单调性可知：时，取得最大值，∵，∴，即的最大值为，所以问题转化为，解得．