2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（理）试题

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这是一份2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（理）试题，共9页。试卷主要包含了已知，，，则，，的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若，则 A． B. C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知是各项均为正数的等比数列，，，则 A． B. C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 5．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么 A． B. C．2 D．4 6．某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是A． B. C． D． 7．已知数列的前项和，设，为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A． B. C． D． 8．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为 A． B. C． D． 9．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，给出以下命题：①线段的长是定值；②存在某个位置，使；③存在某个位置，使平面.其中，正确的命题是A．① B．①③ C．②③ D．①②③10．函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列说法：①函数的最小正周期为；②直线为函数的一条对称轴；③点为函数的一个对称中心；④函数的图象向右平移个单位后得到的图象.其中正确说法的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的内切圆半径为r1，的内切圆半径为r2，则的值等于A．3 B．2 C． D． 12．已知函数，的最小值分别为，，则A． B． C． D．，的大小关系不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中，项的系数是______.14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为______. 15．过动点作圆：的切线，为切点.若(为坐标原点)，则的最小值为______. 16．用表示函数在闭区间上的最大值，若正数a满足，则a的值为 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本题12分）在中，已知，，是边上的一点，，.（1）求；（2）求的面积. 18．（本题12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值. 19．（本题12分）已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. （1）求椭圆的方程；（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 20．（本题12分）某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：0，200，200，400，400，600，…，1000，1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人非健身达人总计男10 女 30 总计（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．附：P（）0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.879. 21．（本题12分）已知函数. （1）若对恒成立，求实数a的值；（2）若存在不相等的实数，，满足，证明：. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为. （1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）（1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围；（2）若，，且，求证：．
武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：题号123456789101112答案DABDDDACBCAA 二、填空题： 13. 240 14.，3，17 15. 16.或三、解答题： 17．（本题12分）在中，已知，，是边上的一点，，.（1）求；（2）求的面积.解：（1）在中，由余弦定理，得，所以，从而.在中，由正弦定理，得，所以. ……………（4分）（2）由（1）知，且.所以，，所以. ……………（12分） 18．（本题12分）解：（1）因为，，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.易证，因为，所以平面.因为平面，所以平面平面. ……………（4分）（2）方法一：过作，垂足为，过作于，连结，则可证为二面角的平面角.在中，求得；在中，求得.所以. ……………………………（12分）方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦. 19．（本题12分）解：（1）由及，得，.所以，椭圆的方程为. ……………………………（4分）（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，整理，得.由，得.设，，则，.于是.又，坐标原点到直线的距离为.所以，的面积.因为，所以，.当直线的斜率不存在时，设其方程为，同理可求得.所以，面积的最大值为. ……………………………（12分） 20．（本题12分）解：（1）因为（元），所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元． ……………（2分）（2）列联表如下：健身达人非健身达人总计男104050女203050总计3070100 … 因为，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系． ……………………………………（6分）（3）若选择方案一：则需付款900元；若选择方案二：设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000．，，，，所以（元）因为，所以选择方案二更划算． ……………………………（12分） 21．（本题12分）解：（1）令，则.由题意，知对恒成立，等价.当时，由知在上单调递增. 因为，所以不合题意；当时，若，则，若，则，所以，在单调递减，在上单调递增.所以.记，则.易知在单调递增，在单调递减，所以，即.而，所以，解得. ……………………………（6分）（2）因为，所以.因为，，所以.令，则.记，则，所以在上单调递增.又，由，得，所以，即. ……………………………………（12分）另证：不妨设，因为，所以为增函数.要证，即要证，即要证.因为，即要证.记，则.所以，从而，得证. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）解：（1）方程可化为.方程可化为. ……………………（5分）（2）将代入，得.设方程的两根分别为，，则. ………………………………（10分） 23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）解：（1）方法一：因为，因为存在实数，使成立，所以，解得.方法二：当时，符合题意.当时，因为所以.因为存在实数，使成立，所以.当时，同理可得.综上，实数的取值范围为. ……………………………（5分）（2）因为，所以，当且仅当时取等号. ……………………………（10分）