试卷 类型一 最优方案问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破（附答案）

这是一份试卷 类型一 最优方案问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破（附答案），共24页。
方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．
一、主要题型分类
①经济类方案设计题：
根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；
②操作类方案设计题：
根据实际问题拼接或分割图形．
以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.
二、解题的一般思路
1、解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2、解决操作类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；
③标上适当的数据，或附上文字说明．
【典例1】 某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【典例3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
方案一
方案二
方案三
小红发现这三种方案都能验证公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .
4-1
(1)请说明图中 ①、② 两段函数图象的实际意义；
(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；
在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
4-2
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .
4-3
【典例5】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【典例6】现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．
（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．
（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
【典例7】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
图1
(2)
A
D
F
B
E
C
(1)
E
F
G
H
A
B
D
C
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
【典例8】一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：
（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；
（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
y
x
第1月
第2月
第3月
33
24
13
O
图2
（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．
【典例9】暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
详解
类型一最优方案问题
【方法总结】
方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．
一、主要题型分类
①经济类方案设计题：
根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；
②操作类方案设计题：
根据实际问题拼接或分割图形．
以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.
二、解题的一般思路
1、解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2、解决操作类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；
③标上适当的数据，或附上文字说明．
【典例1】 某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【解题思路】
(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
(2)根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
【解答过程】
(1)设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，
根据题意，得 2x＋3×3x＝550，
∴ x ＝ 50. 经检验，符合题意，
∴ 3x ＝ 150元．
即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是 50 元和 150 元；
(2)设购买温馨提示牌 y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为 (100－y) 个，
根据题意，得
∴ 50 ≤ y ≤ 52.
∵ y 为正整数，
∴ y 为 50,51,52，共 3 种方案．
即温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；
温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；
温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个．
根据题意，费用为 50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，
当 y ＝ 52 时，所需资金最少，最少是 9 800 元．
【总结归纳】
本例题属于经济类方案设计问题，
用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．
此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键．
【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【解题思路】
(1) 设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可；
(2) 根据汽车总数不能小于 300/42 ＝50/7 ( 取整为 8 )辆，即可求出；
(3) 设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
由题意，得 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得 x 的取值范围，分析得出即可．
【解答过程】
(1)设老师有 x 名，学生有 y 名．
根据题意，列方程组为
故老师有 16 名，学生有 284 名．
(2) ∵ 每辆客车上至少要有 2 名老师，
∴ 汽车总数不能大于 8 辆．
又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 = ( 取整为 8)辆，
综上可知汽车总数为 8 辆．
故答案为8.
(3)设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
∵ 车总费用不超过 3 100 元，
∴ 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，解得 x ≤ 7.
为使 300 名师生都有座，
∴ 42x＋30(8－x) ≥ 300，解得 x ≥ 5.
∴ 5 ≤ x ≤ 7 ( x 为整数 )．
∴ 共有 3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元；
方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元；
方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．
【典例3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
方案一
方案二
方案三
小红发现这三种方案都能验证公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
【解题思路】
根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．
【解答过程】
根据由题意，得
方案二：
a2+ab+(a+b)b= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
方案三：
= a2+2ab+b2
=(a+b)2
【总结归纳】
本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .
4-1
(1)请说明图中 ①、② 两段函数图象的实际意义；
(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；
在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
4-2
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .
4-3
【解答过程】
(1)图 ① 表示批发量不少于 20 kg 且不多于 60 kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发 ；图 ② 表示批发量高于 60 kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 .
(2)根据题意，得
函数图象如图 4-4 所示 .
4-4
由函数图象可知，资金金额满足 240 < w ≤ 300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 .
(3)
解法一：
设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量
n = 320 - 40x ，
当 n > 60 时 ，x < 6.5 .
根据题意，销售利润为
y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)
= 40[-(x-6)2 +4]
从而 x = 6 时，y最大值 = 160，此时 n = 80 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 .
解法二：
设日最高销售量为 x kg (x>60) .
则由图 4-3 可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p .
则 p = (320-x)/40 .
销售利润
=-(x-80)2+160
从而 x = 80 时，y最大值 = 160，此时 p = 6 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 .
【典例5】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.
【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.
【解析】： （1） y=(60－x－40)(300+20x)
＝6000+400x－300x－20x2
＝－20x2+100x+6000
自变量的取值范围是0≤x≤20.
（2）∵a＝－20