2018年广东省省实天河小升初数学试卷

这是一份2018年广东省省实天河小升初数学试卷，共61页。试卷主要包含了选择题，判断题，填空题，计算题，解答题，整百等内容，欢迎下载使用。
2018年广东省省实天河小升初数学试卷
一、选择题（每小题2分，共10分）
1．（2分）（2017•广东）不计算，下面四个算式中谁的结果最大（a是不为零的自然数）（　　）
A．a B．a C．a D．不能确定
2．（2分）（2017•广东）周长都相等的圆、正方形和长方形，它们的面积（　　）
A．圆最大 B．正方形最大 C．长方形最大 D．一样大
3．（2分）（2017•广东）如图，E是梯形ABCD下底BC的中点，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2分）（2017•广东）白菜2元一斤，菜心3元一斤，小亮有10元钱，则他可以买（　　）
A．1斤白菜3斤菜心 B．2斤白菜2斤菜心
C．2斤白菜3斤菜心 D．4斤白菜1斤菜心
5．（2分）（2017•广东）下面各数，在读数时一个“零”也不读的是（　　）
A．620080000 B．35009000 C．700200600 D．80500000
二、判断题（每小题2分，共10分）
6．（2分）（2017•广东）一项工程，20人去做，15天完成；如果30人去做，10天就可以完成．　 　（判断对错）
7．（2分）（2017•广东）化成小数后是一个无限不循环小数．　 　（判断对错）
8．（2分）（2017•广东）一个长方形的长和宽都增加5厘米，它的面积增加25平方厘米．　 　．（判断对错）

9．（2分）（2017•广东）把一个不为零的数扩大100倍，只需要在这个数的末尾添上两个零．　 　．（判断对错）
10．（2分）（2017•广东）已知一刀可以把一个平面切成2块，两刀最多可以把一个平面切成4块，三刀最多可以切成7块…，由此可以推测，五刀最多可以切成16块．　 　（判断对错）
三、填空题（每小题2分，共20分）
11．（2分）（2017•广东）数102.6连续减去　 　 个1.9，结果是0．
12．（2分）（2017•广东）2000名学生排成一排按1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1、1、2、3、4、5、6、7、6、5、4，、3，、2、1、…循环报数，则第2000名学生所报的数是　 　．
13．（2分）（2017•广东）如果a※b表示，那么5※（4※8）＝　 　．
14．（2分）（2017•广东）把一个长8厘米 宽4厘米的长方形，如图所示折一折，得到右面图形，则阴影部分四个三角形的周长之和是　 　厘米．

15．（2分）（2017•广东）甲、乙、丙三人到图书馆去借书．甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次．如果2015年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是　 　月　 　日．
16．（2分）（2017•广东）甲数比乙数多三分之一，甲数与乙数的比是　 　．
17．（2分）（2017•广东）一个正方体木块，棱长4厘米，把它的外表涂成绿色，然后切割成棱长为1厘米的小正方体．小正方体中，只有一面是绿色的有　 　块，没有一个面是绿色的有　 　块．
18．（2分）（2017•广东）王叔叔记得李叔叔的七位电话号码的前五位数：76045口口，还记得其中最大数字是7，各个数字又不重复，但忘记最后两位数字是什么了，王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打　 　次．
19．（2分）（2017•广东）一辆汽车上山速度是每小时40千米，下山速度是每小时60千米/时，由此可知这辆汽车上、下山的平均速度是每小时　 　千米．
20．（2分）（2017•广东）社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有4、4、10、10、这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是　 　．
四、计算题（3小题，共34分）
21．（10分）（2017•广东）直接写出得数．

13﹣4
0.75×4＝
5.6÷0.04＝
3×51÷7＝
8.5﹣3.5×2＝
55＝
（）×21＝
0.3751＝
3÷（13）＝
22．（12分）（2017•广东）尽量用简便的方法计算，书写计算过程
（1）（41.9﹣2.85）+（1.1﹣2.15）
（2）10÷8+3.96×12.5%+2.04
（3）32﹣0.8×（10.25+14.75）÷1.25．
23．（12分）（2017•广东）解方程
8x÷0.7＝8；
mm；
0.4：x＝（1）：5．
五、解答题（6小题，共46分）
24．（6分）（2018•广东）做一种零件，8个工人0.5小时完成64个，照这样计算，3小时要完成144个零件，需要多少个工人？
25．（6分）（2017•广东）小雨在超市用若干元买了某种品牌的饮料28盒．过一段时间再去超市，发现这种饮料进行降价销售，每盒让利0.6元，他用同样的钱比上次多买3盒，求这种饮料降价前每盒多少元？
26．（8分）（2017•广东）一个正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，绳长都是3米，问两只羊都能吃到草的面积有多大？（圆周率取3.14）
27．（8分）（2017•广东）甲乙二人分别从A、B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次距B地500米，A、B两地相距多少米？
28．（8分）（2017•广东）有两根蜡烛，一根比较细，长30厘米，可以点3小时，一根比较粗，长20厘米，可以点4小时；同时点燃这两根蜡烛，几小时后两根蜡烛一样长？
（1）请你仔细观察图1中蜡烛燃烧的图示，然后把蜡烛燃烧的情况表示在图2的方格图中．

（2）请将图1图2 两个图画在同一幅图（图3）中，请写出点燃几小时后两根蜡烛一样高？此时的高度是多少？
29．（10分）（2018•广东）如图，房间里地面是长方形形状，是由九个不同的正方形地砖拼接铺成，其中最小的地砖边长是1，求这个房间的地面面积．


2018年广东省省实天河小升初数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共10分）
1．（2分）（2017•广东）不计算，下面四个算式中谁的结果最大（a是不为零的自然数）（　　）
A．a B．a C．a D．不能确定
【考点】1C：分数大小的比较；2E：分数的加法和减法；2F：分数乘法；2G：分数除法．菁优网版权所有
【分析】此题可通过A．B．C3个式子于a比较，即A根据是差比被减数小；
B根据一个非0的数乘以一个真分数，积比被乘数小；
C根据一个非0的数除以一个真分数，商比被除数大，即可知道谁的结果最大．
【解答】解：根据是差比被减数小：可知A．aa；
根据一个非0的数乘以一个真分数，积比被乘数小：可知B．aa；
根据一个非0的数除以一个真分数，商比被除数大：可知C．aa．
所以a最大．
故选：C．
【点评】遇到比较未知数的大小时，要分析算式的结果与未知数相比是变大还是变小．
2．（2分）（2017•广东）周长都相等的圆、正方形和长方形，它们的面积（　　）
A．圆最大 B．正方形最大 C．长方形最大 D．一样大
【考点】A5：长方形、正方形的面积；A9：圆、圆环的面积．菁优网版权所有
【分析】我们采用假设的方法解答这道题，假设周长是16厘米，进而求得长方形和正方形的面积、圆的面积，进行比较得出结论．
【解答】解：假设正方形、长方形、圆的周长都是16厘米，则：
（1）正方形的边长：16÷4＝4（厘米），
面积：4×4＝16（平方厘米）；
（2）假设长方形的长为6厘米，宽为2厘米，
则面积：2×6＝12（平方厘米）；
（3）圆的半径：16÷3.14÷2（厘米），
面积：3.14×（），
＝3.14，
，
＝20（平方厘米）；
所以，12平方厘米＜16平方厘米＜20平方厘米，
故选：A．
【点评】此题没有数据，分析时应假设出周长，然后根据面积公式进行分析，进而得出问题答案；可以得出结论：周长相等的长方形、正方形和圆，圆的面积最大，正方形其次，长方形的面积最小．
3．（2分）（2017•广东）如图，E是梯形ABCD下底BC的中点，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】O7：三角形面积与底的正比关系．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】依据等底等高的三角形面积相等，即可作答．
【解答】解：三角形DBE、三角形AEC、三角形ABE都与三角形DEC等底等高，
则这四个三角形的面积相等．
故选：C．
【点评】解答此题的关键是明白，等底等高的三角形面积相等．
4．（2分）（2017•广东）白菜2元一斤，菜心3元一斤，小亮有10元钱，则他可以买（　　）
A．1斤白菜3斤菜心 B．2斤白菜2斤菜心
C．2斤白菜3斤菜心 D．4斤白菜1斤菜心
【考点】33：整数、小数复合应用题．菁优网版权所有
【专题】451：简单应用题和一般复合应用题．
【分析】用两种菜的单价乘斤数再加起来即可得出答案．
【解答】解：2×2+3×2
＝4+6
＝10（元）
答：他可以买2斤白菜2斤菜心．
故选：B．
【点评】本题先找出已知和所求，再根据数量关系列式求解．
5．（2分）（2017•广东）下面各数，在读数时一个“零”也不读的是（　　）
A．620080000 B．35009000 C．700200600 D．80500000
【考点】15：整数的读法和写法．菁优网版权所有
【专题】411：整数的认识．
【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，分别读出各数再作选择．
【解答】解：6 2008 0000读作：六亿二千零八万；
3500 9000读作：三千五百万九千；
7 0020 0600读作：七亿零二十万零六百；
8050 0000读作：八千零五十万．
故选：B．
【点评】本题是考查整数的读法，分级读或借助数位顺序表读能较好的避免读错数中“0”的情况．
二、判断题（每小题2分，共10分）
6．（2分）（2017•广东）一项工程，20人去做，15天完成；如果30人去做，10天就可以完成．　√　（判断对错）
【考点】3A：简单的工程问题．菁优网版权所有
【专题】45D：工程问题．
【分析】把每人每天的工作效率看成1，那么分别求出20人去做，15天完成的工作量和30人去做，10天的工作量进行比较即可判断．
【解答】解：设每人每天的工作效率是1，那么：
1×20×15＝300
1×30×10＝300
300＝300
20人去做，15天的工作量与30人去做，10天的工作量相同，所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】设出每人的工作效率，分别求出它们的工作总量进而比较即可．
7．（2分）（2017•广东）化成小数后是一个无限不循环小数．　×　（判断对错）
【考点】1J：小数与分数的互化．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】根据分数化成小数的方法，把化成小数，进而做出判断．
【解答】解：0.8571，是循环小数，
所以，化成小数后是一个无限循环小数．
故答案为：×．
【点评】此题考查的目的是理解掌握分数化成小数的方法，以及循环小数的概念．
8．（2分）（2017•广东）一个长方形的长和宽都增加5厘米，它的面积增加25平方厘米．　错误　．（判断对错）

【考点】A5：长方形、正方形的面积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；461：平面图形的认识与计算．
【分析】如图所示，增加的面积即为边长为5厘米的正方形的面积和两个长方形的面积，据此等量关系即可求解．

【解答】解：如上图：长方形的长是a厘米，宽是b厘米，增加的面积是5a+5b+5×5（平方厘米）；
故答案为：错误．
【点评】解答此题可以通过画图分析，增加的面积分为三部分，由此解答．
9．（2分）（2017•广东）把一个不为零的数扩大100倍，只需要在这个数的末尾添上两个零．　错误　．（判断对错）
【考点】1G：小数点位置的移动与小数大小的变化规律．菁优网版权所有
【分析】此题要考虑这个不为零的数是整数和小数两种情况：当是整数时，把一个不为零的整数扩大100倍，只需要在这个数的末尾添上两个零即可；当是小数时，把一个小数扩大100倍，需要把这个小数的小数点向右移动两位即可；据此进行判断．
【解答】解：当是整数时，把一个不为零的整数扩大100倍，只需要在这个数的末尾添上两个零即可；
当是小数时，把一个小数扩大100倍，需要把这个小数的小数点向右移动两位即可；
故判断为：错误．
【点评】此题考查把一个不为零的数扩大100倍的方法，要分两种情况解答：当是整数时，只需要在这个数的末尾添上两个零；当是小数时，需要把这个小数的小数点向右移动两位．
10．（2分）（2017•广东）已知一刀可以把一个平面切成2块，两刀最多可以把一个平面切成4块，三刀最多可以切成7块…，由此可以推测，五刀最多可以切成16块．　√　（判断对错）
【考点】O4：图形的拆拼（切拼）．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】可以发现，两条直线时比原来多了2块，三条直线比原来多了3块，四条直线时比原来多了4块，…，n条时比原来多了n块，
则n＝1，S1＝1+1；
n＝2，S2＝S1+2；
n＝3，S3＝S2+3；
n＝4，S4＝S3+4；
…
n＝n，Sn＝Sn﹣1+n．
以上式子相加整理得，Sn＝1+1+2+3+…+n＝1nn（n+1）．
【解答】解：n＝5，
S5＝1nn（n+1）
＝15×（5+1）
＝15×6
＝1+15
＝16（块）
答：五刀最多可以切成16块．
故答案为：√．
【点评】考查了通过操作实验探索规律．本题是找规律题，解题的关键是找到Sn＝1+1+2+3+…+n＝1nn（n+1）．
三、填空题（每小题2分，共20分）
11．（2分）（2017•广东）数102.6连续减去　54　 个1.9，结果是0．
【考点】2M：小数四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】423：文字叙述题．
【分析】求102.6连续减去几个1.9，结果是0，就是求102.6里面有几个1.9，用除法求解即可．
【解答】解：102.6÷1.9＝54
答：102.6连续减去 54 个1.9，结果是0．
故答案为：54．
【点评】本题根据除法的包含意义，求一个数里面有几个另一个数，直接求解即可．
12．（2分）（2017•广东）2000名学生排成一排按1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1、1、2、3、4、5、6、7、6、5、4，、3，、2、1、…循环报数，则第2000名学生所报的数是　3　．
【考点】72：数列中的规律．菁优网版权所有
【分析】观察学生所报数的特点，知道按1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1、循环报数，即每13个数为一个循环，所以2000除以13，看余数对应的循环数中的几就是该名学生所报的数．
【解答】解：2000÷13＝153…11，
因为，在1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1这组循环数中，第11个数是3，
答：第2000名学生报的数是：3．
故答案为：3．
【点评】关键是找出循环数，再找出余数对应的是循环数中的几．
13．（2分）（2017•广东）如果a※b表示，那么5※（4※8）＝　　．
【考点】HD：定义新运算．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】因为a※b表示a与b和的一半，由此方法运算得出答案即可．
【解答】解：5※（4※8）
＝5※（）
＝5※6

．
故答案为：．
【点评】解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子．
14．（2分）（2017•广东）把一个长8厘米 宽4厘米的长方形，如图所示折一折，得到右面图形，则阴影部分四个三角形的周长之和是　24　厘米．

【考点】8Q：简单图形的折叠问题．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】由题意可知：阴影部分的周长就等于长方形的周长，利用长方形的周长公式即可求其周长．
【解答】解：（8+4）×2
＝12×2
＝24（厘米）；
答：图中阴影部分的周长之和是24厘米．
故答案为：24．
【点评】解答此题的关键是明白：阴影部分的周长就等于长方形的周长．
15．（2分）（2017•广东）甲、乙、丙三人到图书馆去借书．甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次．如果2015年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是　3　月　18　日．
【考点】3X：公因数和公倍数应用题．菁优网版权所有
【专题】45E：约数倍数应用题．
【分析】甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次．如果2015年1月5日他们三人在图书馆相遇，下次相遇的间隔时间是6、8、9的最小公倍数，根据最小公倍数的求解方法求出时间是72天，然后用1月5日加72天，即可得解，根据年月日的知识，1月是大月有31天，还有31﹣5＝26天，2015除以4有余数，说明2015年是平年2月有28天，72﹣26﹣28＝18天，所以下一次他们一起到图书馆相遇是3月18日．
【解答】解：6＝3×2
8＝2×2×2
9＝3×3
所以6、8、9的最小公倍数是3×2×2×2×3＝72
所以2015年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是72天后；
1月还有31﹣5＝26天
2015÷4＝503…3
2015年是平年，2月有28天，
72﹣26﹣28＝18（天）
答：他们一起到图书馆相遇是3月18日．
故答案为：3，18．
【点评】灵活应用最小公倍数的求解方法求出时间是解决此题的关键；还要注意平年闰年的判断．
16．（2分）（2017•广东）甲数比乙数多三分之一，甲数与乙数的比是　4：3　．
【考点】61：比的意义．菁优网版权所有
【专题】433：比和比例．
【分析】根据题意，把乙数看作单位“1”，那么甲数就是1，进而写出甲数与乙数的比，并化简比得解．
【解答】解：把乙数看作单位“1”，那么甲数就是1，那么
甲数：乙数：1＝4：3．
答：甲数与乙数的比是4：3．
故答案为：4：3．
【点评】解决此题也可以把乙数看作是3份数，那么甲数就是3+1＝4份数，进而写出它们对应的份数比即可．
17．（2分）（2017•广东）一个正方体木块，棱长4厘米，把它的外表涂成绿色，然后切割成棱长为1厘米的小正方体．小正方体中，只有一面是绿色的有　24　块，没有一个面是绿色的有　8　块．
【考点】8H：正方体的特征；8S：简单的立方体切拼问题．菁优网版权所有
【专题】462：立体图形的认识与计算．
【分析】棱长为4厘米的正方体的每条棱长上都能切下4个棱长1厘米的小正方体，由此根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面上，没有一面涂色的小正方体在正方体的内部，即可解答问题．
【解答】解：4﹣2＝2（个），
则一面涂色的有：2×2×6＝24（个），
没有一面涂色的有：2×2×2＝8（个），
答：只有一面是绿色的有24块，没有一个面是绿色的有8块．
故答案为：24；8．
【点评】解决此类问题的关键是：根据正方体切拼正方体的特点得出计算内部没有刷漆的小正方体的体积为：（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2），这里的2，是指分别从长宽高里减掉2个小正方体的棱长．
18．（2分）（2017•广东）王叔叔记得李叔叔的七位电话号码的前五位数：76045口口，还记得其中最大数字是7，各个数字又不重复，但忘记最后两位数字是什么了，王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打　6　次．
【考点】P5：最佳方法问题．菁优网版权所有
【专题】451：简单应用题和一般复合应用题．
【分析】根据“其中最大数字是7，各个数字又不重复”以及已知的前五个数字是76045，所以余下的两个数只能是3、2、1中的任意2个，根据排列组合的乘法原理，即可得解．
【解答】解：根据“其中最大数字是7，各个数字又不重复”可知：余下的两个数只能是3、2、1中的任意2个，
3×2＝6（种）
王叔叔的号码可能是7605432、7605431、7605423、7605421、7605413、7605412共6种可能；
答：王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打 6次．
故答案为：6．
【点评】首先判断出这两个数字是3、2、1中的任意2个，然后根据乘法原理来解决问题是解决此题的关键．
19．（2分）（2017•广东）一辆汽车上山速度是每小时40千米，下山速度是每小时60千米/时，由此可知这辆汽车上、下山的平均速度是每小时　48　千米．
【考点】3E：简单的行程问题．菁优网版权所有
【专题】45F：行程问题．
【分析】根据题意可知，把这条路的总长度看作单位“1”，则上山的时间为，下山的时间为；然后用往返的总路程÷往返的总时间＝上下山的平均速度解答即可．
【解答】解：2÷（）
＝2
＝48（千米）
答：这辆汽车上、下山的平均速度是每小时48千米．
故答案为：48．
【点评】本题用到的知识点为：平均速度＝总路程÷总时间；要注意求平均速度不能用“速度和÷2”，因为这是求速度的平均值．
20．（2分）（2017•广东）社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有4、4、10、10、这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是　（10×10﹣4）÷4　．
【考点】I1：填符号组算式．菁优网版权所有
【专题】48P：填运算符号、字母等的竖式与横式问题．
【分析】要使结果为24，根据给出的四个数，10、10、4、4，这四个数的特点，10×10＝100，100﹣4＝96，96÷4＝24，由此可以得出答案．
【解答】解：（10×10﹣4）÷4，
＝（100﹣4）÷4，
＝96÷4，
＝24，
故答案为：（10×10﹣4）÷4．
【点评】要使四个数和运算符号组成一个算式，结果是24，一般是根据四则混合运算的运算顺序逐步解答即可．
四、计算题（3小题，共34分）
21．（10分）（2017•广东）直接写出得数．

13﹣4
0.75×4＝
5.6÷0.04＝
3×51÷7＝
8.5﹣3.5×2＝
55＝
（）×21＝
0.3751＝
3÷（13）＝
【考点】2E：分数的加法和减法；2I：分数的四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据分数和小数加减乘除法的计算方法进行计算．
（）×21根据乘法分配律进行简算．
【解答】解：

13﹣48
0.75×4＝3
5.6÷0.04＝140
3×51÷7
8.5﹣3.5×2＝1.5
55＝25
（）×21＝4
0.3751＝2.5
3÷（13）
【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后在进一步计算．
22．（12分）（2017•广东）尽量用简便的方法计算，书写计算过程
（1）（41.9﹣2.85）+（1.1﹣2.15）
（2）10÷8+3.96×12.5%+2.04
（3）32﹣0.8×（10.25+14.75）÷1.25．
【考点】H5：四则混合运算中的巧算．菁优网版权所有
【专题】481：计算问题（巧算速算）．
【分析】（1）先去括号，再运用加法的交换律、结合律，减法的性质进行简算；
（2）把除以8化成乘以，再运用乘法的分配律进行简算；
（3）先算小括号里的加法，再算乘除法，最后算减法．
【解答】解：（1）（41.9﹣2.85）+（1.1﹣2.15）
＝41.9﹣2.85+1.1﹣2.15
＝41.9+1.1﹣2.85﹣2.15
＝4（1.9+1.1）﹣（2.85+2.15）
＝43﹣5
＝75
＝2；

（2）10÷8+3.96×12.5%+2.04
＝103.96×12.5%+2.04
＝（10+3.96+2.04）
＝16
＝2；

（3）32﹣0.8×（10.25+14.75）÷1.25
＝32﹣0.8×25÷1.25
＝32﹣20÷1.25
＝32﹣16
＝16．
【点评】此题考查的目的是理解掌握四则运算的性质，并且能够灵活运用这些运算定律和运算性质进行简便计算．
23．（12分）（2017•广东）解方程
8x÷0.7＝8；
mm；
0.4：x＝（1）：5．
【考点】57：方程的解和解方程；68：解比例．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；433：比和比例．
【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时乘以0.7，再两边同时除以8求解；
（2）根据等式的性质，方程两边同时减去m，再两边同时除以求解；
（3）根据比例的基本性质，原式化成（1）x＝0.4×5，再根据等式的性质方程两边同时除以1求解．
【解答】解：（（1）8x÷0.7＝8
8x÷0.7×0.7＝8×0.7
8x＝5.6
8x÷8＝5.6÷8
x＝0.7；

（2）mm
mmmm
m
m
m；

（3）0.4：x＝（1）：5
（1）x＝0.4×5
1x＝2
1x÷12÷1
x．
【点评】本题考查了利用等式的性质以及比例的基本性质解方程的方法，计算时要细心，注意把等号对齐．
五、解答题（6小题，共46分）
24．（6分）（2018•广东）做一种零件，8个工人0.5小时完成64个，照这样计算，3小时要完成144个零件，需要多少个工人？
【考点】3B：简单的归一应用题．菁优网版权所有
【专题】451：简单应用题和一般复合应用题．
【分析】“照这样计算”，意思是平均每人每小时的工作效率是一定的，首先求出每人每小时的工作效率，再求出每人3小时完成多少个，然后再根据“包含”除法的意义，用除法解答．
【解答】解：144÷（64÷8÷0.5×3），
＝144÷（16×3），
＝144÷48，
＝3（个）；
答：需要3个工人．
【点评】此题属于二次反归一问题，解答关键是求出“单一量”，最后用除法解答．
25．（6分）（2017•广东）小雨在超市用若干元买了某种品牌的饮料28盒．过一段时间再去超市，发现这种饮料进行降价销售，每盒让利0.6元，他用同样的钱比上次多买3盒，求这种饮料降价前每盒多少元？
【考点】33：整数、小数复合应用题．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】设这种饮料降价前每盒x元，运用总钱数不变列方程进行解答即可，运用单价×数量＝总价进行列式解答即可．
【解答】解：设这种饮料降价前每盒x元．
28x＝（x﹣0.6）×（28+3）
28x＝31x﹣18.6
3x＝18.6
x＝6.2
答：这种饮料降价前每盒6.2元．
【点评】本题关键找准等量关系，花去的钱数相等，买到的盒数不同，运用单价、数量、总钱数之间数量关系进行解答即可．
26．（8分）（2017•广东）一个正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，绳长都是3米，问两只羊都能吃到草的面积有多大？（圆周率取3.14）
【考点】3P：有关圆的应用题．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】由所画图形可知两只羊都能吃到的草地面积＝（圆的面积的正方形面积的一半）×2．

【解答】解：（3.14×323×3）×2
＝（7.065﹣4.5）×2
＝2.565×2
＝5.13（平方米）
答：两只羊都能吃到草的面积是5.13平方米．
【点评】此题考查了组合图形的面积计算，本题关键是得到两只羊都能吃到的草地面积＝（圆的面积的正方形面积的一半）×2，这是本题的难点．
27．（8分）（2017•广东）甲乙二人分别从A、B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次距B地500米，A、B两地相距多少米？
【考点】M4：多次相遇问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了800米，再次相遇时，甲应该行驶了3个第一次相遇时行驶的距离，即800×3＝2400米，最后减第二次相遇时甲距离B地的距离即可解答．
【解答】解：800×3﹣500
＝2400﹣500
＝1900（米）
答：AB两地相距1900米．
【点评】明确两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，是解答本题的关键．
28．（8分）（2017•广东）有两根蜡烛，一根比较细，长30厘米，可以点3小时，一根比较粗，长20厘米，可以点4小时；同时点燃这两根蜡烛，几小时后两根蜡烛一样长？
（1）请你仔细观察图1中蜡烛燃烧的图示，然后把蜡烛燃烧的情况表示在图2的方格图中．

（2）请将图1图2 两个图画在同一幅图（图3）中，请写出点燃几小时后两根蜡烛一样高？此时的高度是多少？
【考点】L9：工程问题．菁优网版权所有
【专题】48H：工程问题专题．
【分析】一根比较细，长30厘米，可以点3小时，则每小时可燃30÷3＝10厘米．一根比较粗，长20厘米，可以点4小时，则每小时可燃20÷4＝5厘米，所以细的比粗的每小时多燃10﹣5＝5厘米，细蜡烛比粗蜡烛长30﹣20＝10厘米，根据除法的意义可知，同时点燃这两根蜡烛，10÷5＝2小时后两根蜡烛一样长．
（1）由图1可知，纵轴表示蜡烛长度，横轴表示时间，粗蜡烛长20厘米，4小时燃烧完，由此可得图2．
（2）根据已知条件将请将图1图2 两个图画在同一幅图（图3）中，由此可以发现，两条线交于2小时，即两小时后，两小时后两根蜡烛一样高．此时的高度是10厘米．

【解答】解：（30﹣20）÷（30÷3﹣20÷4）
＝10÷（10﹣5）
＝10÷5
＝2（小时）
答：2小时后两根蜡烛一样长．
（1）由已知条件可得图2．
（2）由已知条件可得图3．

由图2可以发现，两条线交于2小时，即两小时后，两小时后两根蜡烛一样高．此时的高度是10厘米．
【点评】解答本题运用了追及问题公式：路程差÷速度差＝追及时间．
29．（10分）（2018•广东）如图，房间里地面是长方形形状，是由九个不同的正方形地砖拼接铺成，其中最小的地砖边长是1，求这个房间的地面面积．

【考点】82：图形的拼组．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】黑色部分正方形边长为1，其他正方形边长未知．所以我们可以设AB的长度为x，那么1号正方形边长为x+1，2号正方形边长为x+2，3号正方形边长为x+3，4号正方形边长为x+4，5号正方形边长为4号正方形边长与AB的差，也就是x+4﹣x＝4，6号正方形边长为x+8，7号正方形边长为2x+3，8号正方形边长为x+12．根据长方形的宽相等可以列方程求解即可．
【解答】解：如下图所示，

黑色部分正方形边长为1，其他正方形边长未知．
所以我们可以设AB的长度为x，那么1号正方形边长为x+1，2号正方形边长为x+2，3号正方形边长为x+3，4号正方形边长为x+4，5号正方形边长为4号正方形边长与AB的差，也就是x+4﹣x＝4，6号正方形边长为x+8，7号正方形边长为2x+3，8号正方形边长为x+12．
根据长方形的宽相等可以列方程（x+3）+（x+2）+（2x+3）＝（x+8）+（x+12）
解得x＝6
所以长方形的长为（2x+3）+（x+12）＝33
宽为（x+8）+（x+12）＝32
面积为33×32＝1056．
答：这个房间的地面面积是1056．
【点评】考查了图形的拼组，关键是数形结合、用方程解决问题．

考点卡片
1．整数的读法和写法
【知识点解释】
读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零．
写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0．

【命题方向】
常考题型：
例：下面各数中，读两个零的数是（　　）
A、606000 B、6060000 C、6060606 D、6060600
分析：整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，据此读出个选项中的数，然后分析选择．
解：A、606000读作：六十万六千，一个零也不读出；
B、6060000读作：六百零六万，读出一个零；
C、6060606读作：六百零六万零六百零六，读出三个零；
D、6060600读作：六百零六万零六百，读出两个零；
故选：D．
点评：本题主要考查整数的读法，注意零的读法．
2．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．

【命题方向】
常考题型：
例1：小于而大于的分数只有一个分数．　×　（判断对错）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将和的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在和间会出现无数个真分数，所以，大于而小于的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
3．小数点位置的移动与小数大小的变化规律
【知识点归纳】
（1）小数点向右移动一位，原数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原数就扩大1000倍；依此类推．按此规律，小数点向右移动n位，则原小数就扩大10n倍．
小数点向右移动，遇到小数部分的位数不够时，就在末位添0补足，缺几位就补几个0．
（2）小数点向左移动一位，原数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原数就缩小1000倍；依此类推．按此规律，小数点向左移动n位，则原小数就缩小10n倍．
小数点向左移动，遇到整数部分的位数不够时，就在原来整数部分的前面添0补足，缺几位就补几个0，然后，再点上小数点，再小数点的前边再添一个0，以表示整数部分是0．

【命题方向】
常考题型：
例：一个小数，小数点向左移动一位，再扩大1000倍，得365，则原来的小数是　3.65　．
分析：把365缩小1000倍，即小数点向左移动3位，然后把这个数的小数点再向右移动一位，也就是扩大10倍，就得原数．
解：365÷1000＝0.365，
0.365×10＝3.65，
故答案为：3.65．
点评：此题主要考查小数点位置移动引起数的大小变化规律：一个数的小数点向右（向左）移动一位、两位、三位…，这个数就比原来扩大（缩小）10倍、100倍、1000倍…，反之也成立．
4．小数与分数的互化
【知识点归纳】
（1）小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分
（2）分数化成小数：用分子去除分母，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位数
（3）一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数
（4）小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时，在后面添上百分号
（5）百分数化成小数：把百分号去掉，同时，把小数点向左移动两位
（6）分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数
（7）百分数化成分数：先把百分数改写成分数，能约分的，要约成最简分数．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个分数的分母如果含有2，5以外的质因数就不能化成有限小数．　×　．
分析：本题需要根据这个分数是不是最简分数进行讨论．
解：若这个分数是最简分数，那么是不能化成有限小数的；如：0.1，不能化成有限小数；
若这个分数不是最简分数，要看约分后分母还有没有含有2和5以外的质因数，如果有，则不能化成有限小数，如果没有了，就能化成有限小数，如：化简后就是，就能化成有限小数．
故答案为：×．
点评：此题主要考查什么样的分数可以化成有限小数，一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数．

例2：在、0.606、66%这三个数中，最大的数是　66%　，最小的数是　0.606　．
分析：根据题目要求，应把、66%化成小数后再比较大小，最后得出最大的数和最小的数各是什么．
解：5÷8＝0.625，66%＝0.66
0.66＞0.625＞0.606
故答案为：66%，0.606．
点评：在有分数、小数和百分数的数中找出最大和最小的数，应先化成相同类型的一种数，通过比较大小找出最大和最小的数，关键是要选择好转化成什么样的数，对于不能化成有限小数的分数，都要化成分数，在这里因为在能化成有限小数，所以把不是小数的其它数都化成小数，然后通过比较大小，找到最大和最小的数．
5．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．

【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少千克后是　5　千克，6千克减少它的后是　4　千克．
分析：（1）第一个千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的，由此列式解决问题．
解：（1）65（千克）；
（2）6﹣66﹣2＝4（千克）．
故答案为：5，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．

例2：修路队修一条公路，第一周修了km，第二周修了km，第三周比前两周修的总和少km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少km，两周修的总和为：（）km，那么第三周修了：（）
解：（），
，
，

＝1（km）
答：第三周修了1km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
6．分数乘法
【知识点归纳】
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．
乘积是1的两个数叫做互为倒数．
分数乘法法则：
（1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．
（2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分．
（3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．
分数乘法的运算定律：
（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．
（2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变．
（3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．

【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的等于乙数的，那么甲数（　　）乙数．（甲数乙数不为0）
A、大于 B、小于 C、等于
分析：甲数的等于乙数的．首先把甲数看作‘单位1’乙数是甲数的．
解：把甲数看作‘单位1’，平均分成5份乙数就相当于甲数的．
故选：A．
点评：此题主要考查分数大小的比较．

例2：一个数乘分数的积一定比原来这个数小．　×　．（判断对错）
分析：本题的说法是错误的：（1）当这个数为零时，积总为零．（2）假分数≥1，当分数为假分数时，积≥这个数．真分数＜1，只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
解答：解：只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
故答案为：×．
点评：本题从这个数是否为零、真分数、假分数三个方面进行分析．
7．分数除法
【知识点归纳】
分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
分数除法法则：
（1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．
（2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数．
（3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算．
分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同
（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．
（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．
（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．
（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．

【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的是18，乙数的是18，甲数（　　）乙数．
分析：甲数的是18用除法求出甲数，乙数的是18用除法求出乙数；然后比较大小．
解：18，
＝18，
＝27；
18，
＝18，
＝24；
27＞24；
所以甲数＞乙数；
故选：A．
点评：此题考查了基本的分数除法的运用：已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．

例2：一个数（0除外）除以，这个数就（　　）
A、扩大6倍 B、增加6倍 C、缩小6倍
分析：除以一个数等于乘这个数的倒数，由此解决．
解：设这个数为a，则：
a6a，a不为0，6a就相当于把a扩大了6倍．
故选：A．
点评：本题运用了分数除法的计算方法来求解，注意扩大6倍和增加6倍的区别．
8．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序一致，先算括号内的数（按照小括号、中括号、大括号的顺序），同一括号内或括号外的数，要按照先算乘除、后算加减的顺序进行计算．如果是同级运算，要按照从左到右的顺序，依次进行．
繁分数：在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这种形式的分数，叫做繁分数．
繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线（也叫主分线），主分线比其他分数线要长一些．
繁分数的化简：
①先找出中主分线，确定分子部分和分母部分，然后，这两部分分别进行计算，每部分的计算结果能约分的要约分，最后，改成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出结果．
②根据分数的基本性质，把繁分数的分子部分和分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后，通过计算，化为最简分数或整数．

【命题方向】
常考题型：
例1：比的少的数是（　　）
分析：求一个数的几分之几用乘法，得出的是：； 再求一个数比另一个数少几分之几的数，先求这个数占一个数的几分之几：1，最后求一个数的几分之几用乘法：（）×（1）．
解：（）×（1），
，
；
故选：D．
点评：此题考查了分数的四则混合运算．求比一个数少几分之几的数，把一个数看作“1”，用乘法来解答．

例2：下面各题．
①
②7[1（4）]＝
分析：按运算顺序计算即可．
解：①，
，
2，
＝2；

②7[1（4）]，
＝7[1]，
＝7，
＝24
点评：本题主要考查分数四则混合运算的计算顺序．
9．小数四则混合运算
【知识点归纳】
小数四则运算的运算顺序与整数四则运算的运算顺序相同．同级运算，从左往右依次运算，两级运算，先算乘除，后算加减；有括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后，算大括号里面的，最后算括号外面的．

【命题方向】
常考题型：
例1：递等式计算：
①0.11×1.8+8.2×0.11
②0.8×（3.2﹣2.99÷2.3）
③5.4÷（3.94+0.86）×0.8
④（8.1﹣5.4）÷3.6+85.7．
分析：①利用乘法分配律的逆运算，可把原式变成（1.8+8.2）×0.11；
②④题，注意运算顺序即可；
③题，在计算5.4÷4.8×0.8时，利用除法的性质，变为5.4÷（4.8÷0.8），这样可以使计算简便．
解：①0.11×1.8+8.2×0.11，
＝（1.8+8.2）×0.11，
＝10×0.11，
＝1.1；
②0.8×（3.2﹣2.99÷2.3），
＝0.8×（3.2﹣1.3），
＝0.8×1.9，
＝1.52；
③5.4÷（3.94+0.86）×0.8，
＝5.4÷4.8×0.8，
＝5.4÷（4.8÷0.8），
＝5.4÷6，
＝0.9；
④（8.1﹣5.4）÷3.6+85.7，
＝2.7÷3.6+85.7，
＝0.75+85.7，
＝86.45．
点评：此题考查了学生对小数四则混合运算题的计算能力，以及灵活巧算的能力．如：a÷b×c＝a÷（b÷c）．
10．整数、小数复合应用题
【知识点归纳】
1．有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题．
2．含有三个已知条件的两步计算的应用题．
3．运算按照整数和小数的运算法则进行运算即可．

【命题方向】
常考题型：
例1：三年级3个班平均每班有学生40人．其中一班有38人，二班有40人，三班有（　　）人．
A、38 B、40 C、42
分析：先根据“3个班平均每班有学生40人”求出三年级的总人数是多少，然后用总人数减去一班和二班的人数即是三班的人数是多少．
解：40×3﹣（38+40）
＝120﹣78，
＝42（人）；
答：三班有42人．
故选：C．
点评：先根据3个班的平均数求出总人数是完成本题的关键．

例2：买10千克大米用25.5元，买4.5千克大米用（　　）元．
A、11.475 B、11.48 C、11.4 D、11.47
分析：知道买10千克大米用25.5元，可求买1千克大米用多少钱，进而可求买4.5千克大米用多少钱，计算后选出即可．
解：25.5÷10×4.5
＝2.55×4.5
＝11.475
≈11.48（元）．
故选：B．
点评：此题考查整数、小数复合应用题，先求出每千克大米的钱数，再求4.5千克大米的钱数．
11．简单的工程问题
【知识点归纳】
探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题．
解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式．
数量关系式：
工作总量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率
合作时间＝工作总量÷工作效率和

【命题方向】
常考题型：
例1：打一份文件，甲用4小时，乙用6小时，两人合打（　　）小时能完成．
A、 B、 C、10
分析：把这项工程看做单位“1”，那么甲的工作效率是，乙的工作效率是，利用工作时间＝工作总量÷工作效率即可求得两人合打需要的时间，由此即可进行选择．
解：根据题干分析可得：
1÷（），
＝1，
；
答：两人合打小时能完成．
故选：A．
点评：此题考查了工作时间＝工作总量÷工作效率在实际问题中的灵活应用，把工作总量看做单位“1”得出甲和乙的工作效率是解决本题的关键．

例2：要装配210台电脑，已经装了6天，每天装配15台，剩下的每天装配20台，还要几天才能装完？
分析：我们运用要装配电脑的台数减去已经装的台数，除以剩下的每天装配的台数，就是要用的天数．
解：
（210﹣15×6）÷20
＝120÷20
＝6（天）；
答：还要6天才能装完．
点评：本题运用“工作总量÷工作效率＝工作时间”进行解答即可．
12．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）

【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（　　）
A、 B、 C、
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40．
答：3小时做这批零件的．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．

例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
13．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．

【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．

例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，小时行了全程的，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4，
，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华小时行驶的路程．

例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（　　）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
14．有关圆的应用题
【知识点归纳】

当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r；
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d，直径所在的直线是圆的对称轴．
圆的性质：圆有无数条半径和无数条直径．
圆的周长＝πd＝2πr
圆的面积＝πr2．

【命题方向】
常考题型：
例1：火车主动轮的半径是0.75米，如果每分钟转300周，每小时可行多少米？
分析：先求出主动轮转动一周所行的米数，即主动轮的周长．然后根据每分钟转动的周数求出每分钟行的米数，最后用每分钟行的米数乘60即可．
解：3.14×（0.75×2）×300×60，
＝3.14×1.5×300×60，
＝84780（米）；
答：每小时可行84780米．
点评：解答此题的关键是求主动轮的周长，即主动轮转动一周所行的米数．

例2：为美化校园环境，学校准备在周长是37.68米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克？
分析：在周长是37.68米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，这条小路就是一个圆环，已知里圆的周长是37.68米，根据圆的周长公式c＝2πr，求出半径r，外圆的半径就是r+2米，圆环的面积即可求出π（R2﹣r2）；如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克，用乘法，面积乘15，即可得解．
解：设花坛的半径为r，外圆的半径R，由圆的周长公式，则有：
2πr＝37.68，
r＝6（米），
R＝r+2＝6+2＝8（米），
这条小路的面积是：
S＝π（R2﹣r2），
＝3.14×（82﹣62），
＝87.92（平方米）；
87.92×15＝1318.8（千克）；
答：这条小路的面积是87.92平方米，铺这条小路一共需要水泥1318.8千克．
点评：此题考查了有关圆的应用题，理清思路，灵活应用圆的周长公式和面积公式是解决此题的关键．

15．公因数和公倍数应用题
【知识点归纳】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．

【命题方向】
常考题型：
例1：有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的小段，每根不准有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
分析：根据题意，可计算出18与12的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．
解：18＝2×3×3，
12＝2×2×3，
所以最大公因数是2×3＝6，
所以每段最长6米，
18÷6+12÷6
＝3+2
＝5（段），
可以截成5段，
答：每小段木条最长6米；一共可以截成5段．
点评：解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可．

例2：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果4月25日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
分析：由甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，可知：他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数的数，最小公倍数是72，72天比要比两个月的时间要多，因此再求出4月里还有几天，5月和6月的天数，最后用72减去4月里剩下的天数，再减去5月和6月的天数，得数是几就是7月几日，据此解答．
解：6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，
所以6、8、9的最小公倍数：2×3×2×2×3＝72；
4月和6月是小月有30天，5月是大月有31天，
所以4月里还有：30﹣25＝5，5月里有31天，6月里有30天，
还剩下：72﹣5﹣31﹣30＝6（天）；
即下一次都到图书馆是7月6日；
答：下一次都到图书馆是7月6日．
点评：解答本题的关键是：理解他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数，再根据年月日的知识，找出4、5、6月里的天数．
16．方程的解和解方程
【知识点归纳】
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
求方程的解的过程，叫做解方程．

【命题方向】
常考题型：
例1：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做（　　）
A、方程 B、解方程 C、方程的解 D、方程的得数
分析：根据方程的解的意义进行选择即可．
解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
故选：C．
点评：此题主要考查方程的解的意义．

例2：x＝4是方程（　　）的解．
A、8x÷2＝16 B、20x﹣4＝16 C、5x﹣0.05×40＝0 D、5x﹣2x＝18
分析：使方程的左右两边相等的未知数的值，是这个方程的解，把x＝4代入下列方程中，看左右两边是否相等即可选择．
解：A、把x＝4代入方程：左边＝8×4÷2＝16，右边＝16；左边＝右边，所以x＝4是这个方程的解；
B、把x＝4代入方程：左边＝20×4﹣4＝76，右边＝16；左边≠右边，所以x＝4不是这个方程的解；
C、把x＝4代入方程：左边＝5×4﹣0.05×40＝20﹣2＝18，右边＝0；左边≠右边，所以x＝4不是这个方程的解；
D、把x＝4代入方程：左边＝5×4﹣2×4＝12，右边＝18；左边≠右边，所以x＝4不是这个方程的解；
故选：A．
点评：将x的值代入方程中进行检验，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．
17．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．

【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（　　）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1）：1，
：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．

例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（　　）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3xx，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3xx，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
18．解比例
【知识点归纳】
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：
（1）求未知外项
（2）求未知内项

【命题方向】
常考题型：
例1：在比例中，两个外项的积是，其中的一个内项是4，另一个内项是　　．
分析：分析“两个外项的积是，其中的一个内项是4”这两个条件，根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，用两个外项的积除以其中的一个内项，算出另一个内项是多少．
解：4
故答案为：．
点评：这道题重点考查学生对于比例的基本性质的应用．

例2：如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项（　　）
A、成反比例 B、成正比例 C、不成比例
分析：根据互为倒数的定义和比例的两内项之积等于两外项之积，可得比例的两个内项之积等于1，再根据成反比例的定义即可求解．
解：因为比例的两个外项互为倒数，
那么比例的两个内项之积＝1（为恒指），
则比例的两个内项成反比例．
故选：A．
点评：本题考查了倒数的定义和成反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定．这两种量叫做成反比例的量．它们的关系叫做反比例关系．
19．数列中的规律
【知识点归纳】
按一定的次序排列的一列数，叫做数列．
（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中．
例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1；
1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系．
（2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律．
例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组；
1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和．
（3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律．
例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15．
（4）相邻两数的关系中隐含着规律．
例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12…

【命题方向】
常考题型：
例1：一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…．中的第35个数为（　　）
A、6 B、7 C、8 D、无答案
分析：从这组数可以得出规律，当数为n时，则共有n个n，所以第35个数为n，则1+2+3+…+n﹣1＜35＜1+2+3+…+n，可以求出n
解：根据规律，设第35个数为n，则1+2+3+…+n﹣1＜35＜1+2+3+…+n，
所以35；
所以n＝8．
故选：C．
点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．

例2：一对成熟的兔子每月繁殖一对小兔子，而每对小兔子一个月后就变成一对成熟的兔子．那么，从一对刚出生的兔子开始，一年后可变成　144　对兔子．
分析：从第二个月起，每个月兔子的对数都等于相邻的前两个月的兔子对数的和．找到这个数列的第12项即可．
解：兔子每个月的对数为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
所以，从一对新生兔开始，一年后就变成了144对兔子．
故答案为：144．
点评：本题属于斐波那契数列，先找到兔子增加的规律，再根据规律求解．
20．图形的拼组
【知识点归纳】
1．平面镶嵌的概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌．
2．规律：
用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形．
用不同的正多边形镶嵌：
（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；
（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌．

【命题方向】
常考题型：
例：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形的周长是（　　）
A、24厘米 B、36厘米 C、38厘米
分析：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形有边长就是（3×2）厘米，根据正方形有周长公式可列式解答．
解：根据题意画图如下，

正方形的周长：
（3×2）×4，
＝6×4，
＝24（厘米）．
答：周长是24厘米．
故选：A．
点评：本题考查了学生对拼组图形周长的计算能力．画图可更好的帮助学生理解．
21．正方体的特征
【知识点归纳】
正方体的特征：
①8个顶点．
②12条棱，每条棱长度相等．
③相邻的两条棱互相垂直．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个棱长是4分米的正方体，棱长总和是（　　）分米．
A、16 B、24 C、32 D、48
分析：一个正方体有12条棱，棱长总和为12条棱的长度和．
解：4×12＝48（分米）．
故选：D．
点评：此题考查计算正方体的棱长总和的方法，即用棱长乘12即可．

例2：至少（　　）个完全一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体．
A、4 B、8 C、9
分析：假设小正方体的棱长是1厘米，体积是1立方厘米，拼成的稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积为8立方厘米，进一步求出个数．
解：假设小正方体的棱长是1厘米，体积：1×1×1＝1（立方厘米）；
稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积：2×2×2＝8（立方厘米）；
需要小正方体的个数：8÷1＝8（个）．
故选：B．
点评：此题考查运用正方体的特征与正方体的体积来解决问题．
22．简单图形的折叠问题
【知识点归纳】
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；
4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一．

【命题方向】
常考题型：
例1：把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（　　）
A、 B、 C、
分析：把原来这根绳子的长度看作单位“1”，把主根绳子对折一次，就是把这根绳子平均分成2段，每段是绳子是全长的，对折两次，就是把绳子全长的再对折，每段绳子是全长的的，即，对折三次，就是把绳子全长的再对折，每段绳子是全长的的，即．
解：1；
故选：B
点评：本题是考查简单图形的折叠问题、分数的意义．

例2：把一张长方形纸折成如图时，其中∠1和∠2相等，那么∠1＝（　　）

A、90° B、45° C、60°
分析：如图，把这张长方形纸对折，∠1和∠2相等，也就是把以长方形边上的折痕为顶点的平角（180°）平均分成3份，每份是180°÷3＝60°，即∠1＝60°．
解：如图，

因为2∠2+∠1＝180°，∠1＝∠2
所以∠1＝180°÷3＝60°．
故选：C．
点评：本题是考查简单图形的折叠问题．关键明白2∠2+∠1＝180°．
23．简单的立方体切拼问题
【知识点归纳】
1．拼起来，表面积减小，因为面的数目减少．
2．剪切会增加表面积，因为面的数目增加．
3．两种方式的体积都没有发生变化．

【命题方向】
常考题型：
例1：把两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了（　　）平方分米．
A、4 B、8 C、16
分析：两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积正好减少了2个2×2的小正方体的面，由此计算出减少的表面积即可选择．
解：2×2×2＝8（平方分米），
答：这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了8平方分米．
故选：B．
点评：两个正方体拼成一个长方体，表面积减少2个正方体的面．

例2：有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体表面积和原来的表面积相比较，（　　）
A、大了 B、小了 C、不变 D、无法确定
分析：根据观察可得：挖去小正方体后，减少三个面，同时又增加三个面，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的．
解：由图可知，挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的，
因此，剩下图形的表面积与原来小正方体的表面积大小不变．
故选：C．
点评：本题主要考查正方体的截面．挖去的正方体中相对的面的面积都相等．

24．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．

例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．

【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．

25．圆、圆环的面积
【知识点归纳】
圆的面积公式：
S＝πr2
圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：
S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）

【命题方向】
常考题型：
例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（　　）
A、2倍 B、4倍 C、 D、
分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．
解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，
圆的面积＝πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2＝4倍，
所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．
故选：B．
点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．

例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？
分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．
解：因为10×10＝100，
所以正方形的边长是10厘米，
所以圆的面积是：3.14×10×10＝314（平方厘米）；
周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米），
答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．
点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．

26．四则混合运算中的巧算
【知识点归纳】
1．运用运算定律．
2．商不变的性质：两个数相除，被除数和除数同时扩大（或缩小相同的倍数）商不变．利用这个性质也可以进行一些简便计算．
3．从一个数里连续减去几个数，可以先把所有的减数加在一起，再一次减去．
4．加数（减数）接近整十、整百、整千、…的可以把这个加数（减数）先看作整十、整百、整千的数进行计算，然后按照“多加要减，少加要加，多减要加，少减要减”的原则进行调整．

【命题方向】
常考题型：
例1：99999×77778+33333×66666＝　9999900000　．
分析：根据算式可将666666改写成3×22222，然后用乘法结合律计算3×33333等于99999，再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．
解：99999×77778+33333×66666，
＝99999×77778+33333×（3×22222），
＝99999×77778+（33333×3）×22222，
＝99999×77778+99999×22222，
＝99999×（77778+22222），
＝99999×100000，
＝9999900000；
故答案为：9999900000．
点评：此题主要考查的是乘法结合律和乘法分配律再整数计算中的运算．

易错题型：
例2：已知从12+22+…+102＝385，那么1×2+2×3+…+10×11＝　440　．
分析：先把1×2+2×3+…+10×11进行拆项，变为1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+4×（4+1）+…+10×（10+1），然后把从12+22+…+102＝385代入，计算即可．
解：1×2+2×3+…+10×11
＝1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+4×（4+1）+…+10×（10+1）
＝（12+22+…+102）+（1+2+3+…+10）
＝385+（1+10）×5
＝440
故答案为：440．
点评：把1×2+2×3+…+10×11转化为1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+4×（4+1）+…+10×（10+1），是解答此题的关键．

【解题方法点拨】
在加减混合运算中，常常利用改变运算顺序进行巧算，其中利用两数互补关系进行凑整巧算、借数凑数巧算、选择合适的数作为基数巧算等，还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算．
在乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”，要达到“凑整”的目的，就要对一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某数组合到一起，使复杂的计算过程简单化．
27．定义新运算
【知识点归纳】
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．

注意：
（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算．
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的．

【命题方向】
常考题型：
例1：规定：a△b＝3a﹣2b．已知x△（4△1）＝7，那么x△5＝（　　）
A、7 B、17 C、9 D、19
分析：根据所给出是等式，知道a△b等于3与a的积减去2与b的积，由此用此方法计算4△1的值，再求出x的值，进而求出x△5的值．
解：4△1＝3×4﹣2×1，
＝10，
x△（4△1）＝7，
x△10＝7，
3x﹣2×10＝7，
3x﹣20＝7，
3x＝20+7，
3x＝27，
x＝27÷3，
x＝9；
x△5＝9△5，
＝3×9﹣2×5，
＝27﹣10，
＝17，
故选：B．
点评：解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题．

经典题型：
例2：定义新运算aVb＝a+b﹣1，aWb＝ab﹣1，若xV（xW4）＝30，那么这个式子中x的值为（　　）
A、4.3 B、3.2 C、6.4 D、12.8
分析：由所给算式得出新运算方法为：aVb等于两个数的和减去1，aWb等于两个数的乘积减去1，据此计算xV（xW4）＝30即可解出x的值．
解：xV（xW4）＝30，
xV（x×4﹣1）＝30，
xV（4x﹣1）＝30，
x+4x﹣1﹣1＝30，
5x﹣2＝30，
5x＝32，
x＝32÷5，
x＝6.4．
故选：C．
点评：解决本题的关键是找出新运算方法，根据这个方法计算．

【解题方法点拨】
（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算．
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的．
28．填符号组算式
【知识点归纳】
解决方法：
1．试算法．
2．逆推法．
3．分组法．
4．凑数法．

【命题方向】
常考题型：
例1：算24点：用四则运算符号+、﹣、×、÷，括号及四个数3、5、7、8组成算式（每个数必须用且只能用一次），最后得数为24，算式是　5×7﹣3﹣8　．
分析：因为5×7＝35，35﹣3＝32，32﹣8＝24；由此解答即可．
解：5×7﹣3﹣8
＝35﹣3﹣8
＝24
故答案为：5×7﹣3﹣8．
点评：此题考查对运算符号的熟练运用，有一定的技巧性，关键是把24如何拆成含那四个数的四则混合运算．

例2：将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中，选出六个填在下面方框中，使算式成立，一个方框填一个数字，各个方框数字不相同．□+□□＝□□□则算式中的三位数最大是　105　．
分析：由题意得：和的前两位是1和0，两位数的十位是9，因此加数的个位最大是7和8；此题可解．
解：97+8＝105或98+7＝105；
故答案为：105．
点评：解答此题应根据数的特点，进行分析，进而得出结论；也可以用列举法，进行列举．

【解题方法点拨】
根据题目给定的条件和要求添运算符号和括号，没有固定的法则．解决这类问题，一般的方法有试验法、凑整法、逆推法．如果题中的数字较简单，可以采用试验的方法，找到答案，如果题中结果较大，可以把数字先分组，然后每组试验．
凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候．这时要先凑出一个与结果较接近的数，然后再对算式中算式的数字做适当的安排，即增加或减少，使等式成立．
29．工程问题
【知识点归纳】
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效；
　　工作总量÷工效＝工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
　　1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；
　　1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间．
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

【命题方向】
经典题型：
例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
分析：求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间＝多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量＝工作效率×工作时间即可解答．
解：120÷（9﹣5）×（9+5）
＝120÷4×14
＝420（个）
答：这批零件共有420个．
点评：解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．

例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？
分析：由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为，甲单独12天完成，甲的工作效率为，那么乙的工作效率．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：x3x＝1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天．
解：．
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
x3x＝1，
xx＝1，
x＝1，
x＝4．
4+4×3
＝4+12，
＝16（天）．
答：这个工程实际工期为16天．
点评：首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．
30．多次相遇问题
【知识点归纳】
多次相遇的基本公式和方法计算：
距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系：
（1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙；
（2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙；
（3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲．
在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果．

【命题方向】
经典题型：
例1：如图：A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个图的周长．

分析：由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个周长．从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，小王第一段所走的行程为BC，第二段所走的为CD，则CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米，所以半圆周长是100+80＝180米，圆的周长是180×2＝360米．
对于第二种情况，小王所走的行程为BC，第二段所走的为CD，同样有CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，则BC＝40÷2＝20米，则半圆周长是100+20＝120米，圆的周长是120×2＝240米．
即这个圆的周长为360米或240米．

解：由题可知，C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米，
所以半圆周长是100+80＝180（米），
圆的周长是180×2＝360（米）．
对于第二种情况，CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，则BC＝40÷2＝20米，
则半圆周长是100+20＝120（米），
圆的周长是120×2＝240（米）．
即这个圆的周长为360米或240米．
点评：完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答．

31．图形的拆拼（切拼）
【知识点归纳】
1．图形拆拼的内容：
如果是拆拼图形，要抓住“拆、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定拆拼的方法．
2．解决的关键点：
把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形，完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系．

【命题方向】
经典题型：
例1：请将下面等边三角形按要求分割成若干个形状和大小都一样的三角形
（1）分成2个 （2）分成3个 （3）分成4个 （4）分成6个

分析：（1）在三角形ABC中，找出BC边的中点，连结AD，就分成了2个一样的三角形；
（2）在三角形ABC中，找出BC边的中点，连结AD，再找出AD的中点O，连结OA、OB、OC，则三角形AOB、AOC、BOC即为所求；
（3）找出三角形ABC各边中点F、G、E，连结FE、FG、GE即可；
（4）找出三角形ABC各边中点F、D、E，连结AD、BF、CE即可．
解：如图所示：

点评：此题解答的关键在于找出三角形ABC边的中点，进而解决问题．
32．三角形面积与底的正比关系
【知识点归纳】
三角形的面积：s底×高，由该公式有以下推论：
1．当底相同时：
S1：S2＝a：b；
2．当两个三角形相似时：
S1：S2＝（a：b）2．

【命题方向】
常考题型：
例1：已知S△DOC＝15平方厘米，BOBD．求梯形的面积．
分析：由BOBD推出ODOB，S△BCO＝2S△DOC，算出△DBC＝45平方厘米，由AD∥BC推出ADBC，又因△DBC与梯形ABCD等高，可根据三角形和梯形的面积公式进行等量代换，推算出梯形的面积．
解：设梯形的高为h，它也是△DBC的高，
因为OBBD，BD＝BO+OD，
所以BO＝2OD，
又因为在△AOD和△DBC里，AD∥BC，BO＝2OD，
所以ADBC
因为△DOC与△BOC等高，BO＝2OD，S△DOC＝15平方厘米，
所以S△BOC＝2△DOC＝2×15＝30（平方厘米），
因为S△DBC＝S△DOC+S△BOC，
所以S△DBC＝15+30＝45（平方厘米），
又因为S△DBCBC×h，
所以BCh＝45，
因为梯形ABCD的面积（AD+BC）h，
所以梯形ABCD的面积（BC+BC）h，
BCh，
45，
＝67.5（平方厘米），
答：梯形的面积是67.5平方厘米．
点评：此题主要是根据B0＝2OD，找出AD与BC、梯形ABCD与三角形BDC的关系．

33．最佳方法问题
【知识点归纳】
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日期：2019/5/6 9:36:39；用户：jiangwenxiu；邮箱：jiangwenxiu@xyh.com；学号：26799902