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2021学年第三讲 柯西不等式与排序不等式三 排序不等式复习课件ppt
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这是一份2021学年第三讲 柯西不等式与排序不等式三 排序不等式复习课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了网络体系，nn0，nk+1等内容，欢迎下载使用。
【核心速填】 1.二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:____________________________________________.
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(2)柯西不等式的向量形式:__________________________________________.当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 =k 时,等号成立.
设 是两个向量,则
(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么________________________________________
2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则________________________________________________.当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
3.排序不等式设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________≤a1b1+a2b2+…+anbn.
a1c1+a2c2+…+ancn
4.数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当____时,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明______时,命题也成立.
【易错警示】 关注数学归纳法应用时常出现的三个错误(1)对假设设而不用.(2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误.(3)没有搞清从k到k+1的跨度.
＜1- ＜ .
类型一 利用柯西不等式证明不等式【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:
【证明】1- 所以求证式等价于 < < .
由柯西不等式,有 [(n+1)+(n+2)+…+2n]>n2,于是 > = = ≥ = .
又由柯西不等式,有所以
【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解.
(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会.
【变式训练】1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:
【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左边应是两个向量的数量积.由于变量a,b,c的系数都相等,由整体性可构造向量m=( ),n=(1,1,1),利用|m·n|≤|m||n|可得证.
【证明】令m=( ),n=(1,1,1),则m·n= 而|m|= 又|n|= ,由|m·n|≤|m||n|,得所以 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.
2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证: (2)求 的最小值.
【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)]≥(5x+4y+3z)2,因为5x+4y+3z=10,所以
(2)根据基本不等式,得 当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,当且仅当 时,等号成立.综上, ≥2×32=18.
类型二 利用排序不等式证明不等式【典例2】设A,B,C表示△ABC的三个内角的弧度数,a,b,c表示其对边,求证:
【证明】方法一:不妨设A>B>C,则有a>b>c由排序原理:顺序和≥乱序和所以aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC
上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)所以
方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c,由排序不等式 即aA+bB+cC≥ (a+b+c),所以
【延伸探究】在本例条件下,你能证明吗?
【证明】能.由0
(2)根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷.
【变式训练】若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明: 当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,等号成立.
【证明】不妨设a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn.则由排序原理得:a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2……
a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1.将上述n个式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)上式两边除以n2,得 等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立.
类型三 利用柯西不等式和排序不等式求最值【典例3】(1)已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求u=x+2y+3z的最小值和最大值.(2)设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,求M=a1+ 的最小值.
【解析】(1)因为(x+2y+3z)2=(x·1+ y· + z· )2≤[x2+( y)2+( z)2]·[12+( )2+( )2]=(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18.
当且仅当 ,即x=y=z时,等号成立.所以-3 ≤x+2y+3z≤3 ,即u的最小值为-3 ,最大值为3 .
(2)设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,且b1
【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定,其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时,要关注等号成立的条件,不能忽略.
【变式训练】1.设x1,x2,x3,x4是2,3,4,5的任一排列,则2x1+3x2+4x3+5x4的最小值是_________.【解析】反序和最小,即最小值为2×5+3×4+4×3+5×2=44.答案:44
2.已知|x|≤1,|y|≤1,试求x +y 的最大值.【解析】由柯西不等式得x +y 当且仅当xy= 即x2+y2=1时,等号成立,所以x +y的最大值为1.
类型四 用数学归纳法证明恒等式【典例4】用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2 -(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).
【证明】(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),
则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],
即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对任何n∈N+,等式都成立.
【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的方法用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+1时命题成立,从n=k+1的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端,再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化(即用k+1代替恒等式中的n).
【变式训练】1.用数学归纳法证明: (n∈N+).【证明】(1)当n=1时,左边=1- ,右边= ,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即当n=k+1时,
所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对于任意n∈N+等式都成立.
2.是否存在常数a,b,使得2+4+6+…+(2n)=an2+bn对一切n∈N+恒成立?若存在,求出a,b的值,并用数学归纳法证明,若不存在,说明理由.
【解析】取n=1和2, 即2+4+6+…+(2n)=n2+n.以下用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证.
(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时等式成立,即2+4+6+…+(2k)=k2+k,那么,当n=k+1时有2+4+6+…+(2k)+(2k+2)=k2+k+(2k+2)=(k2+2k+1)+(k+1)=(k+1)2+(k+1),
即当n=k+1时等式成立.根据(1)(2)知,存在 使得对任意n∈N+,等式都成立.
类型五 利用数学归纳法证明不等式【典例5】设a,b为正实数,n∈N+.求证:
【证明】(1)当n=1时, 显然成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即 要证明n=k+1时,不等式成立,即证明:
在 的两边同时乘以 得要证明 只需证明 因为
⇔2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk)⇔2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)≥0⇔ak+1-abk-bak+bk+1≥0⇔(a-b)(ak-bk)≥0.又a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,
这就证明了当n=k+1时,不等式成立.综合(1)(2)可知,对任何n∈N+,不等式恒成立.
【方法技巧】利用数学归纳法证明不等式的关键应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异及联系,利用拆、添、并、放等手段,从p(k+1)中分离出p(k),再进行局部调整,也可考虑寻求二者的结合点,以便顺利过渡,利用归纳假设,经过适当放缩、恒等变形,得到结论需要的形式.
【变式训练】求证: (n∈N+).【证明】(1)当n=1时, ,不等式成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即
当n=k+1时,因此,欲证明n=k+1时,原不等式成立,只需证明 成立.即证明
可以转化为证明 也就是证明 而 =k2+3k+2-[2k+1+2 ]=k2+k+1-2 =[ -1]2>0,
【核心速填】 1.二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:____________________________________________.
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(2)柯西不等式的向量形式:__________________________________________.当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 =k 时,等号成立.
设 是两个向量,则
(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么________________________________________
2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则________________________________________________.当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
3.排序不等式设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________≤a1b1+a2b2+…+anbn.
a1c1+a2c2+…+ancn
4.数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当____时,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明______时,命题也成立.
【易错警示】 关注数学归纳法应用时常出现的三个错误(1)对假设设而不用.(2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误.(3)没有搞清从k到k+1的跨度.
＜1- ＜ .
类型一 利用柯西不等式证明不等式【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:
【证明】1- 所以求证式等价于 < < .
由柯西不等式,有 [(n+1)+(n+2)+…+2n]>n2,于是 > = = ≥ = .
又由柯西不等式,有所以
【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解.
(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会.
【变式训练】1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:
【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左边应是两个向量的数量积.由于变量a,b,c的系数都相等,由整体性可构造向量m=( ),n=(1,1,1),利用|m·n|≤|m||n|可得证.
【证明】令m=( ),n=(1,1,1),则m·n= 而|m|= 又|n|= ,由|m·n|≤|m||n|,得所以 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.
2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证: (2)求 的最小值.
【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)]≥(5x+4y+3z)2,因为5x+4y+3z=10,所以
(2)根据基本不等式,得 当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,当且仅当 时,等号成立.综上, ≥2×32=18.
类型二 利用排序不等式证明不等式【典例2】设A,B,C表示△ABC的三个内角的弧度数,a,b,c表示其对边,求证:
【证明】方法一:不妨设A>B>C,则有a>b>c由排序原理:顺序和≥乱序和所以aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC
上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)所以
方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c,由排序不等式 即aA+bB+cC≥ (a+b+c),所以
【延伸探究】在本例条件下,你能证明吗?
【证明】能.由0
(2)根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷.
【变式训练】若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明: 当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,等号成立.
【证明】不妨设a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn.则由排序原理得:a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2……
a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1.将上述n个式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)上式两边除以n2,得 等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立.
类型三 利用柯西不等式和排序不等式求最值【典例3】(1)已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求u=x+2y+3z的最小值和最大值.(2)设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,求M=a1+ 的最小值.
【解析】(1)因为(x+2y+3z)2=(x·1+ y· + z· )2≤[x2+( y)2+( z)2]·[12+( )2+( )2]=(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18.
当且仅当 ,即x=y=z时,等号成立.所以-3 ≤x+2y+3z≤3 ,即u的最小值为-3 ,最大值为3 .
(2)设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,且b1
【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定,其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时,要关注等号成立的条件,不能忽略.
【变式训练】1.设x1,x2,x3,x4是2,3,4,5的任一排列,则2x1+3x2+4x3+5x4的最小值是_________.【解析】反序和最小,即最小值为2×5+3×4+4×3+5×2=44.答案:44
2.已知|x|≤1,|y|≤1,试求x +y 的最大值.【解析】由柯西不等式得x +y 当且仅当xy= 即x2+y2=1时,等号成立,所以x +y的最大值为1.
类型四 用数学归纳法证明恒等式【典例4】用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2 -(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).
【证明】(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),
则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],
即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对任何n∈N+,等式都成立.
【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的方法用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+1时命题成立,从n=k+1的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端,再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化(即用k+1代替恒等式中的n).
【变式训练】1.用数学归纳法证明: (n∈N+).【证明】(1)当n=1时,左边=1- ,右边= ,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即当n=k+1时,
所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对于任意n∈N+等式都成立.
2.是否存在常数a,b,使得2+4+6+…+(2n)=an2+bn对一切n∈N+恒成立?若存在,求出a,b的值,并用数学归纳法证明,若不存在,说明理由.
【解析】取n=1和2, 即2+4+6+…+(2n)=n2+n.以下用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证.
(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时等式成立,即2+4+6+…+(2k)=k2+k,那么,当n=k+1时有2+4+6+…+(2k)+(2k+2)=k2+k+(2k+2)=(k2+2k+1)+(k+1)=(k+1)2+(k+1),
即当n=k+1时等式成立.根据(1)(2)知,存在 使得对任意n∈N+,等式都成立.
类型五 利用数学归纳法证明不等式【典例5】设a,b为正实数,n∈N+.求证:
【证明】(1)当n=1时, 显然成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即 要证明n=k+1时,不等式成立,即证明:
在 的两边同时乘以 得要证明 只需证明 因为
⇔2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk)⇔2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)≥0⇔ak+1-abk-bak+bk+1≥0⇔(a-b)(ak-bk)≥0.又a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,
这就证明了当n=k+1时,不等式成立.综合(1)(2)可知,对任何n∈N+,不等式恒成立.
【方法技巧】利用数学归纳法证明不等式的关键应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异及联系,利用拆、添、并、放等手段,从p(k+1)中分离出p(k),再进行局部调整,也可考虑寻求二者的结合点,以便顺利过渡,利用归纳假设,经过适当放缩、恒等变形,得到结论需要的形式.
【变式训练】求证: (n∈N+).【证明】(1)当n=1时, ,不等式成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即
当n=k+1时,因此,欲证明n=k+1时,原不等式成立,只需证明 成立.即证明
可以转化为证明 也就是证明 而 =k2+3k+2-[2k+1+2 ]=k2+k+1-2 =[ -1]2>0,
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