专题26 双曲线（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题26 双曲线（解答题）（新高考地区专用）（解析版），共34页。试卷主要包含了由已知得，，，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
专题26 双曲线（解答题）
1．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线：与双曲线的左支交于､两点，求的取值范围．
【试题来源】宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二上期期中考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由条件可得，，然后可得答案；
（2）联立直线与双曲线的方程消元，然后可得，解出即可．
【解析】（1）设双曲线方程为(，)．由已知得，，
再由，所以，所以双曲线方程为．
（2）设，，将代入，
得，由题意知解得．
所以当时，l与双曲线左支有两个交点．
2．已知双曲线．
（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率．
【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设所求双曲线方程为，代入点坐标，求得k，即可得答案；
（2）设，利用点差法，代入A、B的中点坐标为（1，1），即可求得斜率．
【解析】（1）因为所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
所以设所求双曲线方程为，代入，得，
所以所求双曲线方程为；
（2）设，因为、在双曲线上，
所以，（1）-（2）得，
因为A、B的中点坐标为（1，1），即，
所以．
3．已知点和，动点到，两点的距离之差的绝对值为2，记点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设与直线交于两点，，求线段的长度．
【试题来源】福建省南平市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，由于，，利用双曲线的定义求解即可；（2）直线和双曲线方程联立消，利用根与系数关系以及弦长公式求解即可．
【解析】（1）设，则，
所以点的轨迹为双曲线，且，，
则，，所以轨迹的方程为；
（2）由，得，
因为，所以直线与双曲线有两个交点，
设，，则，，
故．
所以线段的长度为．
4．已知中心在原点的双曲线的一个焦点，一个顶点为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左右两支各有一个交点，求的取值范围．
【试题来源】四川省雅安市雅安中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题可得，求出即得双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，利用判别式和根与系数关系即可求出．
【解析】（1）双曲线的一个焦点，一个顶点为，
双曲线的焦点在x轴上，且，，
双曲线的方程为；
（2）联立直线与双曲线方程，可得，
直线与双曲线的左右两支各有一个交点，
，解得．
5．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点
（1）求双曲线的方程；
（2）设双曲线两条渐近线分别为，已知直线交，于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求的面积
【试题来源】四川省成都市树德中学2020-2021学年高二上学期12月月考数（文）学试题
【答案】（1）；（2）2．
【分析】（1）设方程为，将点代入方程即可求解．（2）求出直线与的交点， 再求出，由 即可求解．
【解析】（1）因为双曲线的离心率为，故该双曲线为等轴双曲线，
设方程为，代入点，
得，故双曲线的方程为
（2）在直线方程中，令，得，
故，联立，得，
由题意得，故，
联立，得；联立，得，
因此.
6．在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．
（1）求的值；
（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．
【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）根据两曲线的方程分别计算和，即可求出的值；（2）根据双曲线渐近线的斜率小于，得，再由椭圆与双曲线的性质，即可计算出离心率的范围．
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，
双曲线的离心率为，
所以；
（2）因为双曲线的渐近线方程为，
若双曲线渐近线的斜率小于，则，所以，
因此，
，
又，分别为椭圆与双曲线的离心率，所以，，
因此，．
7．已知双曲线经过点且实轴长是半焦距的．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且线段PQ的中点为，求直线l的方程．
【试题来源】陕西省商洛市2020-2021学年高二上学期期末（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意可得，再根据双曲线过点，再结合，代入即可求得，，即可得到双曲线C的标准方程；（2）先设出P，Q的坐标，根据中点坐标公式即可求得，，将P，Q两点代入双曲线方程，两式相减即可得到斜率为，再利用点斜式即可求出直线l的方程．
【解析】（1）因为实轴长是半焦距的倍，所以，即，
因为双曲线C经过点，，
因为，所以，，
故双曲线C的标准方程为；
（2）设P，Q的坐标分别为，，
因为线段PQ的中点为，所以，，
因为，，所以，
整理得，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即．
8．设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值．
【试题来源】陕西省延安市黄陵中学2020-2021学年高二上学期期末（理）
【答案】（1）椭圆方程为，双曲线方程为；（2）．
【分析】（1）利用题设分别求椭圆和双曲线的基本量；（2）根据椭圆及双曲线的定义建立等式，可求出，再用余弦定理即可．
【解析】（1）由已知得，
设椭圆长、短半轴长分别为、，双曲线实半轴、虚半轴长分别为、，
则解得．所以．
故椭圆方程为，双曲线方程为．
（2）不妨设、分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，
则，所以．又，
故．
9．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为与双曲线交于两点，求的面积．
【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由两条双曲线有共同渐近线，可令双曲线方程为，求出即可得双曲线的方程；（2）根据已知有直线为，由其与双曲线的位置关系，结合弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求的面积．
【解析】（1）设所求双曲线方程为，代入点得，即，
所以双曲线方程为，即．
（2）由（1）知，即直线的方程为．
设，联立得，
满足且，，
由弦长公式得，
点到直线的距离．
所以
【名师点睛】本题考查了双曲线，根据双曲线共渐近线求双曲线方程，由直线与双曲线的相交位置关系求原点与交点构成三角形的面积，综合应用了弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式，属于基础题．
10．双曲线C的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线C过点(，1)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于M，N，求|MN|的最小值．
【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习讲练测
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设出双曲线方程x2－4y2＝k(k≠0)，将点代入即可求解．
（2）设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2(k1，k2＞0)，由（1）可得k1k2＝，写出直线PA1的方程与PA2的方程，求出点M，N，表示出|MN|，利用基本不等式即可求解．
【解析】由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2－4y2＝k(k≠0)，
把(2，1)代入可得k＝4，所以双曲线C的方程为－y2＝1．
（2）由题易知，P在右支上时|MN|取最小值．
由（1）可得A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x，y)，根据双曲线方程可得·＝，
直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2(k1，k2＞0)，则k1k2＝，
PA1的方程为y＝k1(x＋2)，令x＝1，得M(1，3k1)，
PA2的方程为y＝k2(x－2)，令x＝1，得N(1，－k2)，
所以|MN|＝|3k1－(－k2)|＝3k1＋k2≥2＝，
当且仅当3k1＝k2，即k1＝，k2＝时，等号成立．
故|MN|的最小值为．
【名师点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是求出k1k2＝，再表示出|MN|，考查了运算能力．
11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．
【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习学与练
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标公式、实轴长公式，以及之间的关系进行求解即可；（2）直线l与双曲线C的方程联立，根据一元二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解即可．
【解析】（1）设双曲线C的方程为 (a>0，b>0)．
由已知得，a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，
所以双曲线C的方程为．
（2）设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2与联立，
得(1－3k2)x2－12kx－36＝0．由题意可得，
，
，，
解不等式，得