2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 选修4-4-2 word版含答案

1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.

(1)将曲线C的参数方程化为极坐标方程；

(2)求直线l与曲线C的交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．

解　(1)将曲线C：(θ为参数)消去参数θ后，化为普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即为x2＋y2－4x＝0.将代入x2＋y2－4x＝0，得ρ2＝4ρcosθ，化简得ρ＝4cosθ.

(2)直线l的极坐标方程化为ρcosθ－ρsinθ＝2，

则它的直角坐标方程为x－y－2＝0，

又曲线C的普通方程为x2＋y2－4x＝0.

联立解得 或

则交点的极坐标为，.

2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝m(m∈R)．

(1)求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程；

(2)若圆C上到直线l的距离为1的点有3个，求m的值．

解　(1)由(α为参数)，得(x－1)2＋(y－2)2＝9，而ρcos＝m⇔ρcosθ＋ρsinθ＝m，即x＋y＝m.

所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆C的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9.

(2)由于圆C的半径为3，根据题意，若圆C上到直线l的距离为1的点有3个，则圆心C(1,2)到直线l的距离为2，可得＝2，解得m＝3＋2或m＝3－2.

3．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设点P的直角坐标为P(2,1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，并且|PA|·|PB|＝，求tanα的值．

解　(1)将方程ρsin2θ＝4cosθ两边同乘以ρ，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得y2＝4x.

经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．

所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.

(2)将代入y2＝4x，

得sin2α·t2＋(2sinα－4cosα)t－7＝0，

因为P(2,1)在直线l上，所以|t1t2|＝＝，

所以sin2α＝，α＝或α＝，即tanα＝或tanα＝－.

4．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程

(φ为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋cosθ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

解　(1)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，

又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ.

(2)解法一：设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，

则有解得

设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，

则有解得

由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2，

所以线段PQ的长为2.

解法二：直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，①

射线OM的方程为y＝x(x≥0)，②

⊙C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，③

联立①②解得Q，

联立②③解得P，

∴|PQ|＝ ＝2.

5．已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．

(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；

(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

解　(1)l的普通方程为y＝(x－1)，

C1的普通方程为x2＋y2＝1.

联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.

(2)C2的参数方程为(θ为参数)，故点P的坐标是，

从而点P到直线l的距离是

d＝＝，

由此当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1)．

6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 ρsin＝.

(1)求C的普通方程和l的倾斜角；

(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.

解　(1)由消去参数α得＋y2＝1，

即C的普通方程为＋y2＝1.

由ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*)

将代入(*)，化简得y＝x＋2，

所以直线l的倾斜角为.

(2)由(1)，知点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，

即(t为参数)，

代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，

Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，

所以t1<0，t2<0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.