2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十七）　椭圆 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十七）　椭圆 word版含答案，共7页。试卷主要包含了已知椭圆C，故选C，设F1，F2分别是椭圆E等内容，欢迎下载使用。
1．(2017·四川遂宁模拟)椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距为2，则m的值是( )
A．6或2 B．5
C．1或9 D．3或5
解析：选D 由题意，得c＝1，当椭圆的焦点在x轴上时，由m－4＝1，解得m＝5；当椭圆的焦点在y轴上时，由4－m＝1，解得m＝3，所以m的值是3或5，故选D．
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq \r(6)＝0相切，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1
C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选C 由题意知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,4)，即a2＝eq \f(4,3)b2．以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2，由题意可知b＝eq \f(\r(6),\r(2))＝eq \r(3)，所以a2＝4，b2＝3．故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故选C．
3．设椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或eq \f(3,2)
C．eq \f(3,2) D．6或3
解析：选C 由已知a＝2，b＝eq \r(3)，c＝1，则点P为短轴顶点(0，eq \r(3))时，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或|PF2|＝\f(b2,a)))，S△PF1F2＝eq \f(1,2)·eq \f(b2,a)·2c＝eq \f(b2c,a)＝eq \f(3,2)．故选C．
4．(2017·湖北优质高中联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq \f(y2,n)＝1的离心率是________．
解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝eq \f(\r(4－1),2)＝eq \f(\r(3),2)；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝eq \f(\r(4＋1),1)＝eq \r(5)．
答案：eq \f(\r(3),2)或eq \r(5)
5．(2017·北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶eq \r(3)，则椭圆C的方程是____________________．
解析：设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝b2＋c2，,a∶b＝2∶\r(3)，,c＝2，))解得a2＝16，b2＝12．
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
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1．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k＜9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D c2＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两个曲线的焦距相等．
2．若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(2),3)
解析：选D 不妨设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则2a＝2b×3，即a＝3b．
∴a2＝9b2＝9(a2－c2)．
即eq \f(c2,a2)＝eq \f(8,9)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),3)，故选D．
3．过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(5,3)
C．eq \f(5,4) D．eq \f(10,3)
解析：选B 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2．联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2，))解得交点(0，－2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(4,3)))，∴S△OAB＝eq \f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq \f(1,2)×1×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－2－\f(4,3)))＝eq \f(5,3)，故选B．
4．(2017·西宁模拟)设F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|eq \(PF1,\s\up7(―→))＋eq \(PF2,\s\up7(―→))|＝2eq \r(3)，则∠F1PF2＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
解析：选D 因为eq \(PF1,\s\up7(―→))＋eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2eq \(PO,\s\up7(―→))，O为坐标原点，|eq \(PF1,\s\up7(―→))＋eq \(PF2,\s\up7(―→))|＝2eq \r(3)，所以|PO|＝eq \r(3)，又|OF1|＝|OF2|＝eq \r(3)，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝eq \f(π,2)．
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2eq \r(5)，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1
C．eq \f(x2,30)＋eq \f(y2,10)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,25)＝1
解析：选B 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2eq \r(5)，0)为C的左焦点，所以c＝2eq \r(5)．由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(4\r(5)2－42)＝8．由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2eq \r(5))2＝16，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1．
6．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3．又b＝4，
∴a＝eq \r(b2＋c2)＝5．
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的左顶点为(－5,0)．
答案：(－5,0)
7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2)．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
∵AB过F1且A，B在椭圆C上，
∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|
＝4a＝16，
∴a＝4．
又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
∴c＝2eq \r(2)，
∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1．
答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
8．已知椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝eq \f(1,4)，则椭圆的离心率为________．
解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋a)·\f(y0,a－x0)))＝eq \f(y\\al(2,0),a2－x\\al(2,0))＝eq \f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),a2))),a2－x\\al(2,0))＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
从而e＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2)．
答案：eq \f(\r(3),2)
9．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率．
(2)若AF2―→＝2F2B―→，AF1―→·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c．
所以a＝eq \r(2)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)．
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝eq \r(a2－b2)，设B(x，y)．
由AF2―→＝2F2B―→，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝eq \f(3c,2)，y＝－eq \f(b,2)，
即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2)))．
将B点坐标代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(\f(9,4)c2,a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，
即eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，解得a2＝3c2①．
又由AF1―→·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－c，－b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(3b,2)))＝eq \f(3,2)，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②．
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2．
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．
10．设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝eq \f(4,3)a，
设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝eq \r(a2－b2)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点的坐标满足方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))
消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝eq \f(－2a2c,a2＋b2)，x1x2＝eq \f(a2c2－b2,a2＋b2)．
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝eq \r(2)|x2－x1|＝eq \r(2[x1＋x22－4x1x2])，
即eq \f(4,3)a＝eq \f(4ab2,a2＋b2)，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝ eq \r(1－\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)．
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，
由(1)知x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－a2c,a2＋b2)＝－eq \f(2c,3)，
y0＝x0＋c＝eq \f(c,3)．
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，
即eq \f(y0＋1,x0)＝－1，得c＝3，
从而a＝3eq \r(2)，b＝3．
故椭圆E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1．
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1．(2017·石家庄质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A．eq \f(\r(26),13) B．eq \f(2\r(26),13)
C．eq \f(2\r(13),13) D．eq \f(4\r(13),13)
解析：选B 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y1,x1＋2)＝－1，,\f(y1,2)＝\f(x1－2,2)＋3，))解得x1＝－3，y1＝1，
易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝eq \r(26)，
因此椭圆C的离心率e＝eq \f(|AB|,|PA|＋|PB|)＝eq \f(4,|PA|＋|PB|)的最大值为eq \f(2\r(26),13)．
2．(2017·云南统测)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于eq \f(\r(3),2)，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4eq \r(5)．直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，求m2的取值范围．
解：(1)根据已知设椭圆E的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，
由已知得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，∴c＝eq \f(\r(3),2)a，b2＝a2－c2＝eq \f(a2,4)．
∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4eq \r(5)，
∴4eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(5)a＝4eq \r(5)，∴a＝2，b＝1．
∴椭圆E的方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1．
(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,4x2＋y2－4＝0))得，(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0．
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，
即k2－m2＋4>0，
且x1＋x2＝eq \f(－2km,k2＋4)，x1x2＝eq \f(m2－4,k2＋4)．
由eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))得x1＝－3x2．
∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12xeq \\al(2,2)－12xeq \\al(2,2)＝0．
∴eq \f(12k2m2,k2＋42)＋eq \f(4m2－4,k2＋4)＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0．
当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，
∴k2＝eq \f(4－m2,m2－1)．
∵k2－m2＋4>0，
∴eq \f(4－m2,m2－1)－m2＋4>0，即eq \f(4－m2m2,m2－1)>0．
∴1