高考数学一轮复习总教案：5.8 三角函数的综合应用

这是一份高考数学一轮复习总教案：5.8 三角函数的综合应用，共3页。教案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。
典例精析
题型一 利用三角函数的性质解应用题
【例1】如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.
【解析】如图，连接AP，过P作PM⊥AB于M.
设∠PAM＝α，0≤α≤eq \f(π,2)，
则PM＝90sin α，AM＝90cs α，
所以PQ＝100－90cs α，PR＝100－90sin α，
于是S四边形PQCR＝PQ·PR
＝(100－90cs α)(100－90sin α)
＝8 100sin αcs α－9 000(sin α＋cs α)＋10 000.
设t＝sin α＋cs α，则1≤t≤eq \r(2)，sin αcs α＝eq \f(t2－1,2).
S四边形PQCR＝8 100·eq \f(t2－1,2)－9 000t＋10 000
＝4 050(t－eq \f(10,9))2＋950 (1≤t≤eq \r(2)).
当t＝eq \r(2)时，(S四边形PQCR)max＝14 050－9 000eq \r(2) m2；
当t＝eq \f(10,9)时，(S四边形PQCR)min＝950 m2.
【点拨】同时含有sin θcs θ，sin θ±cs θ的函数求最值时，可设sin θ±cs θ＝t，把sin θcs θ用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.
【变式训练1】若0＜x＜eq \f(π,2)，则4x与sin 3x的大小关系是( )
A.4x＞sin 3xB.4x＜sin 3x
C.4x≥sin 3xD.与x的值有关
【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，则f′(x)＝4－3cs 3x.因为f′(x)＝4－3cs 3x＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x＜eq \f(π,2)，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故选A.
题型二 函数y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用
【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acs ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【解析】(1)由表中数据知，周期T＝12，所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6).
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
所以A＝0.5，b＝1，所以振幅为eq \f(1,2).所以y＝eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，
所以eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1＞1，所以cs eq \f(π,6)t＞0，
所以2kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(π,6)t＜2kπ＋eq \f(π,2)，即12k－3＜t＜12k＋3.①
因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.
【点拨】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.
【变式训练2】如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d m(P在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2))，且当点P从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A＝10；②ω＝eq \f(2π,15)；③φ＝eq \f(π,6)；④k＝5.其中正确结论的序号是 .
【解析】①②④.
题型三 正、余弦定理的应用
【例3】为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A、B之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤.
【解析】(1)如图所示：①测AB间的距离a；②测俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中 ，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得
BM＝eq \f(ABsin φ,sin∠AMB)＝eq \f(asin φ,sin(φ＋β))，
同理在△BAN中，BN＝eq \f(ABsin θ,sin∠ANB)＝eq \f(asin θ,sin(θ＋γ))，
所以在△BMN中，由余弦定理得
MN＝
＝eq \r(\f(a2sin2φ,sin2(φ＋β))＋\f(a2sin2θ,sin2(θ＋γ))－\f(2a2sin θsin φcs(γ－β),sin(φ＋β)sin(θ＋γ))).
【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是 海里/小时.
【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，显然有eq \f(OB,OC)＝tan∠OCB＝tan 60°且eq \f(OA,OC)＝tan∠OCA＝tan 75°，
因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有
OC＝eq \f(AB,tan 75°－tan 60°)＝eq \f(10,tan 75°－tan 60°)
＝eq \f(10,tan(30°＋45°)－tan 60°)
＝eq \f(10,\f(tan 30°＋tan 45°,1－tan 30°tan 45°)－tan 60°)＝eq \f(10,\f(\f(1,\r(3))＋1,1－\f(1,\r(3)))－\r(3))＝5.
由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时.
总结提高
1.解三角形的应用题时应注意：
(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；
(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；
(3)方程思想在解题中的运用.
2.解三角函数的综合题时应注意：
(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；
(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c；
(3)换元方法在解题中的运用.