2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练7：特殊平行四边形相关的综合题（附答案）

这是一份2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练7：特殊平行四边形相关的综合题（附答案），共30页。试卷主要包含了将抛物线C1等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练7：特殊平行四边形相关的综合题（附答案）
1．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积．

2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A（﹣4，0），B（1，0），∠ACB＝90°．
（1）求点C的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当DF＝EF时，求点E的坐标；
（3）设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．E为抛物线上一点，直线AE交y轴于点D，且OD＝OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴交直线AE于点Q，交x轴于点F，过点P作PG⊥AE于点G，交x轴于点H，求PQ﹣GQ的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点K为线段OD的中点，作射线AK，将该抛物线沿射线AK方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点I．点N是平面内一点，点M是新抛物线上一点，若以点I、E、M、N为顶点的四边形是以IE为边的矩形，请直接写出点N的坐标．

4．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．
（1）求线段AB的长；
（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH的长度；
（3）在（2）中，HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F′作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
（3）将△BOC沿直线BC平移，平移后的三角形为△B'O'C'（其中点O'与点O不重合），点S是坐标平面内一点，若以A，C，O'，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点O'的坐标．

6．将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．
（1）请求出抛物线C2的表达式；
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
7．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象L经过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）作x轴的平行线，交L于A，B两点（点A在点B的左边），过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为点D，C．当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求点A的坐标．
8．如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．
（1）请求出A、B、C三点的坐标；
（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．

9．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；
（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B′、C′．
（1）若a＝1，求原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；
（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．

11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点坐标；
（3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．

14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）该抛物线的解析式为　 　；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m＝，求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点D、P为（2）中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面内一点，当以点P、D、Q、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N的坐标．


参考答案
1．解：（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为直线x＝﹣1．
∵M（m，0），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．
（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．
∵A（﹣3，0），C（0，3），
设直线AC的解析式y＝kx+b，
∴，解得k＝1，b＝3，
∴直线AC的解析式y＝x+3，
令x＝﹣2，则y＝1，
∴E（﹣2，1），
∴EM＝1，AM＝1，
∴S△AEM＝AM×EM＝．
2．解：（1）由题意，OA＝4，OB＝1，OC⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOC＝∠COB，∠OCA+∠OAC＝90°，∠OCA＝∠OCB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCB，
∴△OAC～△OCB，
∴，
∴，
∴C（0，﹣2），
分别把A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得解得，
∴；
（2）设直线AC函数关系式为y＝kx+b，
代入A（﹣4，0），C（0，﹣2）得，，
解得，，b＝﹣2，
∴，
设D（m，0），
∴，，
∴，，
由题意m+2＝（﹣m2﹣2m），
解得，m＝﹣3或﹣4（舍去）
将m＝﹣3代入，得，
∴E（﹣3，﹣2）；
（3）存在，理由：
当以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，△AEM是等腰三角形．
由题意，AD＝1，DE＝2，，
在Rt△ADE中，由勾股定理的，，
①当AE是边时，
当时，
∵点A到直线l的距离是，
∴此时点M不存在．
当时，如图，此时菱形为AEMN，

过点E作EH⊥l于点H，
∴yH＝yE＝﹣2，，
在Rt△EHM中，由勾股定理得MH＝＝，
∴或，
∴，；
当点M为（﹣，﹣2+）时，
由EM＝AN知，xM﹣xE＝xN﹣xA，即﹣﹣（﹣3）＝xN﹣（﹣4），解得xN＝﹣，
同理可得，yN＝，故点N1的坐标为（﹣，）；
同理可得N2的坐标为（﹣，﹣）；
②当AE是对角线时，
此时MA＝ME，即MA2＝ME2，此时菱形为AM3EN，
即MG2+AG2＝MH2+EH2，
设，，
解得n＝0，
∴，即点M3在x轴上，
则EN＝AM3＝﹣+4＝＝xN﹣xE＝﹣3﹣xN，
解得xN＝﹣；
综上，，，．
3．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
则﹣8a＝﹣4，解得a＝，
抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4①；
（2）∵OA＝OD＝2，故点D（0，2），
由点A、D的坐标得，直线AE的表达式为y＝x+2，
设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣4），则点Q（x，x+2），
∵OA＝OD，故∠QAK＝45°，
而GP⊥AE，则△PQG为等腰直角三角形，

过点G作GK⊥PQ于点K，则QK＝PK＝GQ，
则PQ﹣GQ＝PQ﹣QK＝PK＝PQ＝（x+2﹣x2+x+4）＝﹣x2+x+3，
∵﹣＜0，故抛物线开口向下，
∴PQ﹣GQ有最大值，当x＝2时，PQ﹣GQ的最大值为4，
此时点P（2，﹣4）；
（3）联立y＝x2﹣x﹣4和y＝x+2并解得或，故点E（6，8），
∵点K为线段OD的中点，则点K（0，1），
∴tanKAO＝＝，则sin∠KAO＝，cos∠KAO＝，
则该抛物线沿射线AK方向平移个单位长度相当于向右平移1个单位向上平移个单位，
则平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣4+＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣2x﹣2②；
联立①②并解得，
故点I的坐标为（2，﹣4），
设点M（m，n），n＝m2﹣2m﹣2③，
而点E（6，8），
则点I向右平移4个单位向上平移12个单位得到点E，
同样，点M（N）向右平移4个单位向上平移12个单位N（M），
当点M在点N的下方时，直线IM的解析式为y＝﹣x﹣，
由，解得或，
∴M（4，﹣）或（﹣，﹣），
由平移的性质可知N（8，）或（，），
当点M在点N的上方时，
同理可得，点N的坐标为（，）或（，）；
综上，点N的坐标为（8，）或（，）或（，）或（，）．
4．解：（1）当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3，故点A（1，3），
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，故点B（3，3），
∴AB＝2；
（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴交BE于N．

∵直线BE的解析式为y＝x，
∴N（m，m），
∴S△PEB＝×2×（﹣m2+3m）＝﹣m2+3m，
∴当m＝时，△PEB的面积最大，此时P（，），H（，3），
∴PH＝﹣3＝；
（3）存在，理由：
如图1，作直线OG交AB于G，使得∠COG＝30°，作HK⊥OG于K交OC于F，
∵FK＝OF，
∴HF+FO＝FH+FK＝HK，此时HF+OF的值最小，
∵S△OGH＝•HG•OC＝•OG•HK，
∴HK＝＝+，
∴HF+OF的最小值为＝+，
如图2中，由题意CH＝，CF＝，QF′＝，CQ＝1，

∴Q（﹣1，3），D（2，4），DQ＝，
①当DQ为菱形的边时，
则DQ＝QS1＝，而点Q（﹣1，3），则点S1（﹣1，3﹣），
同理可得：S2（﹣1，3+），S4（5，3）；
②当DQ为对角线时，同理可得S3（﹣1，8），
综上所述，满足条件的点S坐标为（﹣1，3﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，8）或（5，3）．
5．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），
∵抛物线过C（0，﹣4），
∴﹣8a＝﹣4，
∴，
∴此抛物线解析式为；
（2）过点P作PE∥y轴交AC于点E，如下图所示，

∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），
∴AC解析式为y＝﹣x﹣4，
设P（），E（m，﹣m﹣4），则PE＝，
∵，
∴当时，PE最大，此时PD最大，
∴P（﹣2，﹣4）；
（3）∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），O′（a，2a），
∴AC2＝32，CO'2＝5a2+16a+16，AO'2＝5a2+8a+16，
①CA2＝CO′2即5a2+16a+16＝32，
∴，
∴O1′（﹣4，﹣8），，
②AC2＝AO′2即5a2+8a+16＝32，
∴，
∴，，
③CO'2＝AO'2即5a2+8a+16＝5a2+16a+16，
∴a＝0，
∴O5′（0，0）（舍），
综上所述，满足条件的点O'坐标有O1′（﹣4，﹣8），，，．
答：（1）此抛物线解析式为；
（2）P（﹣2，﹣4）；
（3）点O'坐标有O1′（﹣4，﹣8），，，．
6．解：（1）∵抛物线C1：y＝﹣x2+3的顶点为（0，3），
∴翻折后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），
∴抛物线C2解析式为：y＝x2﹣3；
（2）存在
连接AN，NE，EM，MA，

依题意可得：M（﹣m，3），N（m，﹣3），
∴M，N关于原点O对称，
∴OM＝ON，
原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣，0），（，0），
∴A（﹣﹣m，0），E（+m，0），
∴A，E关于原点O对称，
∴OA＝OE，
∴四边形ANEM为平行四边形，
∴AM2＝3+9＝12，
ME2＝（+m+m）2+32＝4m2+4m+12，
AE2＝（+m++m）2＝4m2+8m+12，
若AM2+ME2＝AE2，
∴12+4m2+4m+12＝4m2+8m+12，
解得m＝，
此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90°，
∴当m＝时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．
7．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象L经过原点，与x轴的另一个交点为（8，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．
（2）如图，设A（m，﹣m2+m），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∴|﹣m2+m|＝2（4﹣m），
解得m＝2或12（舍弃）或﹣4或6（舍弃），
∴A（2，4）或（﹣4，﹣16），
综上所述，满足条件的等A的坐标为（2，4）或（﹣4，﹣16）．

8．解：（1）∵抛物线y＝x2+2x与x轴交于B、C两点，
∴0＝x2+2x，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
∴点B（﹣2，0），点C（0，0），
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴点A（﹣1，﹣1）；
（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），
∴点D（m﹣1，﹣1+n），
∵y＝（x+1﹣m）2﹣1+n＝x2+2×（1﹣m）x+m2﹣2m+n，
∴点E（0，m2﹣2m+n），
Ⅰ、如图1，当点D在点A的下方时，过点A作AM⊥y轴于N，过点D作DM⊥AM于M，

∴∠ANE＝∠AMD＝90°，
∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴∠EAN+∠DAM＝90°，
∵∠AEN+∠EAN＝90°，
∴∠AEN＝∠DAM，
∴△AEN≌△DAM（AAS），
∴AN＝DM，EN＝AM，
∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），
∴n＝﹣1，m＝3，
∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；
Ⅱ、如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，

同理可证△EDN≌△DAM，
∴DN＝AM，EN＝DM，
∴m﹣1＝﹣1+n+1，m2﹣2m+n﹣（﹣1+n）＝m﹣1+1，
∴m＝，n＝，
∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣）2﹣，
Ⅲ、当∠AED＝90°时，

同理可求：y＝（x﹣1）2﹣1；
综上所述：平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣1）2﹣1．
9．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，
∴点B（3，0），点C（0，3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过B，C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图，连接AM，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点A与点B关于对称轴对称，
∴AM＝BM，点A（1，0），
∵点C（0，3），点A（1，0），点B（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，OB＝3，
∵四边形COAM周长＝OC+OA+AM+CM，
∴四边形COAM周长＝4+BM+CM，
∴当点B，点M，点C三点共线时，BM+CM有最小值为BC的长，
∴四边形COAM周长的最小值＝4+BC，
∵BC＝＝＝3，
∴四边形COAM周长的最小值＝4+3；
（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点P（2，﹣1），
又∵点C（0，3），
∴PC＝＝2，
设点M（2，t），
∴MC＝＝，
MP＝|t+1|，
∵以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形，
∴△CPM是等腰三角形，
若MC＝MP，则＝|t+1|，
∴t＝，
∴点M（2，）；
若MP＝PC，则2＝|t+1|，
∴t1＝﹣1+2，t2＝﹣1﹣2，
∴点M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
若MC＝PC，则＝2，
解得：t3＝﹣1（不合题意舍去），t4＝7，
∴点M（2，7）；
综上所述：点M的坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）．
10．解：（1）由题意得：，
解得，
∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，

∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），
∴C（1，﹣4），
∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6．
∴E（0，﹣6），
∵抛物线绕点M旋转180°，
∴MB＝MB′，MC＝MC′，
∴四边形BCB′C′是平行四边形，
∴S△BCM＝×40＝10，
∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE＝×（3﹣1）×ME＝ME，
∴ME＝10，
∴m＝4或m＝﹣16；
（3）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，
当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，
∴＝，
即MO•MD＝BO•CD．
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），
∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，
∴﹣m（m+4a）＝3，
∴m2+4am+3＝0，
∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，
∴a≥．
所以a≥时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．
11．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得．
故此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）．
∵A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4），
∴AC＝，OA＝OC＝3，CD＝，∠OCD＝∠CAE＝135°，
∴点E只能在A点左边．
①若△CAE∽△DCO，
则，
∴AE＝9，
∴OE＝12，
∴E（﹣12，0）．
∵C（0，3），
∴．
联立，
解得，（舍去），
∴P；
②若△CAE∽△OCD，
则，
∴AE＝2，
∴OE＝5，
∴E（﹣5，0）．
∵C（0，3），
∴．
联立，
解得，（舍去），
∴P．
因此，P或；
（3）在抛物线上存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形．
①若CF为对角线，则CF与NM互相垂直平分时，四边形CNFM为菱形，
∵∠NCF＝∠FCM＝∠ACO＝45°，
∴∠NCM＝90°，
∴CN⊥CM，四边形CNFM为正方形，
∴N点与顶点D重合，
∵D（﹣1，4），
∴N（﹣1，4），CN＝，
∴菱形CNFM的周长为；
②若CF为菱形的一边，则MN∥CF，CM∥FN，CN＝CF，四边形CNMF为菱形，
∵∠NCM＝∠FCM＝45°，
∴∠NCM＝90°，
∴CN⊥CF，四边形CNMF为正方形，
∵CN＝2，
∴菱形CNMF的周长为2×4＝8；
若CF为菱形的一边，则MN∥CF，CM∥FN，NM＝NF时，四边形CNFM为菱形．

过F作FH⊥NM于H，设直线NM交x轴于G，N（m，﹣m2﹣2m+3），则M（m，m+3），G（m，0）．
∴NM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|＝NF，
∵CM∥FN，∠ACO＝45°，
∴∠NFH＝∠FNH＝45°，
∴NF＝FH，
又∵FH＝OG＝|m|，
∴|m2+3m|＝|m|，
∴m＝﹣3﹣或m＝﹣3+，
∴NF＝，或NF＝，
∴菱形周长为或
因此，存在菱形，其周长为或8或或．

12．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，

设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，
∵＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）；

设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；
联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，故点E（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，﹣3）．
13．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，
在x轴下方作∠ABD＝30°，交y轴负半轴于D，则BD＝2OD，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
根据勾股定理得，BD2﹣OD2＝32，
∴4OD2﹣OD2＝9，
∴OD＝，BD＝2，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∴CD＝3+，
过点P作PB'⊥BD于B'，
在Rt△PB'B中，PB'＝PB，
∴PC+PB＝PC+PB'，
当点C，P，B在同一条直线上时，PC+PB最小，最小值为CB'，
∵S△BCD＝CD•OB＝BD•CB'，
∴CB'＝＝＝，
即PC+PB的最小值，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠DBC＝45°+30°＝75°，
∴∠BCP＝90°﹣75°＝15°，
∴∠OCP＝30°，
∵OC＝3，
∴OP＝，
∴P（，0）；
（3）如备用图，
设M（m，﹣m2+2m+3），
以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴∠BMC＝90°，
∵点A在x轴负半轴，且∠BOC＝90°，
∴点M在x轴上方的抛物线，
过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，
∴∠MEO＝∠MFO＝90°＝∠EOF，
∴四边形OEMF是矩形，
∴∠EMF＝90°，
∴∠BME＝∠CMF，
∵∠BEM＝∠CFM＝90°，
∴△BEM∽△CFM，
∴，
∴．
∴m＝，
∴M（，）或（，），
∵点N是点M关于点E（，）的对称点，
∴N（，）或（，）．

14．解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），
∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，
故答案为：y＝﹣x2+x+4；
（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．

∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，
∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，

有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，
∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得，
∴OD2＝OE•OQ，
∴1＝•OQ，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，

∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）