2021高考物理大一轮复习领航教学案：第二章　相互作用

这是一份2021高考物理大一轮复习领航教学案：第二章　相互作用，共99页。学案主要包含了重力，弹力，摩擦力，数据处理，误差分析，注意事项等内容，欢迎下载使用。



第1节　重力　弹力　摩擦力

一、力
1．力的概念：物体与物体之间的相互作用．
2．力的作用效果
两类效果
二、重力
1．产生：由于地球的吸引而使物体受到的力．
2．大小：G＝mg.
3．方向：总是竖直向下．
4．重心：因为物体各部分都受重力的作用，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心．
◆特别提醒：(1)重力的方向不一定指向地心．
(2)并不是只有重心处才受到重力的作用．
三、弹力
1．弹力
(1)定义：发生弹性形变的物体由于要恢复原状，对与它接触的物体产生力的作用．
(2)产生的条件
①两物体相互接触；②发生弹性形变．
(3)方向：与物体形变方向相反．
◆特别提醒：有弹力作用的两物体一定相接触，相接触的两物体间不一定有弹力．
2．胡克定律
(1)内容：弹簧的弹力的大小F跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比．
(2)表达式：F＝kx.
①k是弹簧的劲度系数，单位为N/m；k的大小由弹簧自身性质决定．
②x是弹簧长度的变化量，不是弹簧形变以后的长度．
四、摩擦力
1．产生：相互接触且发生形变的粗糙物体间，有相对运动或相对运动趋势时，在接触面上所受的阻碍相对运动或相对运动趋势的力．
2．产生条件：接触面粗糙；接触面间有弹力；物体间有相对运动或相对运动趋势．
3．大小：滑动摩擦力Ff＝μFN，静摩擦力：0 4．方向：与相对运动或相对运动趋势方向相反．
5．作用效果：阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势．
◆特别提醒：(1)摩擦力阻碍的是物体间的相对运动或相对运动趋势，但不一定阻碍物体的运动．
(2)受静摩擦力作用的物体不一定静止，受滑动摩擦力作用的物体不一定运动．
(3)接触面处有摩擦力时一定有弹力，且弹力与摩擦力方向总垂直，反之不一定成立．
[自我诊断]
1．判断正误
(1)只要物体发生形变就会产生弹力作用．(×)
(2)物体所受弹力的方向与自身形变的方向相同．(√)
(3)轻绳、轻杆的弹力方向一定沿绳、杆的方向．(×)
(4)滑动摩擦力的方向一定与物体运动方向相反．(×)
(5)滑动摩擦力的方向与物体的运动方向不相同就相反．(×)
(6)运动的物体不可能受到静摩擦力的作用．(×)
(7)根据μ＝可知动摩擦因数μ与Ff成正比，与FN成反比．(×)
2．(多选)关于弹力的方向，下列说法中正确的是(　　)
A．放在水平桌面上的物体所受弹力的方向是竖直向上的
B．放在斜面上的物体所受斜面的弹力的方向是竖直向上的
C．将物体用绳吊在天花板上，绳所受物体的弹力方向是竖直向上的
D．物体间相互挤压时，弹力的方向垂直接触面指向受力物体
解析：选AD.放在水平桌面上的物体所受弹力为支持力，其方向为垂直于桌面向上，故A正确；放在斜面上的物体所受斜面的支持力方向垂直于斜面向上，故B错误，D正确；绳子对物体的拉力总是沿绳子收缩的方向，而物体对绳子的弹力方向指向绳子伸长的方向，故C错误．
3．(多选)关于胡克定律，下列说法正确的是(　　)
A．由F＝kx可知，在弹性限度内弹力F的大小与弹簧形变量x成正比
B．由k＝可知，劲度系数k与弹力F成正比，与弹簧的长度改变量成反比
C．弹簧的劲度系数k是由弹簧本身的性质决定的，与弹力F的大小和弹簧形变量x的大小无关
D．弹簧的劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时弹力的大小
解析：选ACD.在弹性限度内，弹簧的弹力与形变量遵守胡克定律F＝kx，故A正确；弹簧的劲度系数是由弹簧本身的性质决定的，与弹力F及x无关，故C正确，B错误；由胡克定律得k＝，可理解为弹簧每伸长(或缩短)单位长度时受到的弹力的值与k相等，故D正确．

4．(2017·中山模拟)如图所示，放在粗糙水平面上的物体A上叠放着物体B，A和B之间有一根处于压缩状态的弹簧，A、B均处于静止状态，下列说法中正确的是(　　)
A．B受到向左的摩擦力　　
B．B对A的摩擦力向右
C．地面对A的摩擦力向右
D．地面对A没有摩擦力
解析：选D.压缩的弹簧对B有向左的弹力，B有向左运动的趋势，受到向右的摩擦力，选项A错误；A对B的摩擦力向右，由牛顿第三定律可知，B对A的摩擦力向左，选项B错误；对整体研究，根据平衡条件分析可知，地面对A没有摩擦力，选项C错误，D正确．

考点一　弹力的分析和计算
1．弹力有无的判断方法
(1)条件法：根据产生弹力的两个条件——接触和发生弹性形变直接判断．
(2)假设法或撤离法：可以先假设有弹力存在，然后判断是否与研究对象所处状态的实际情况相符合．还可以设想将与研究对象接触的物体“撤离”，看研究对象能否保持原来的状态．
2．弹力方向的判断方法
(1)根据物体所受弹力方向与施力物体形变的方向相反判断．
(2)根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向．
3．弹力大小的确定方法
(1)弹簧类弹力：由胡克定律知弹力F＝kx，其中x为弹簧的形变量，而不是伸长或压缩后弹簧的总长度．
(2)非弹簧类弹力：根据运动状态和其他受力情况，利用平衡条件或牛顿第二定律来综合确定．

1．如图所示，小车内一根轻质弹簧沿竖直方向和一条与竖直方向成α角的细绳拴接一小球．当小车和小球相对静止，一起在水平面上运动时，下列说法正确的是(　　)

A．细绳一定对小球有拉力的作用
B．轻弹簧一定对小球有弹力的作用
C．细绳不一定对小球有拉力的作用，但是轻弹簧对小球一定有弹力
D．细绳不一定对小球有拉力的作用，轻弹簧对小球也不一定有弹力
解析：选D.若小球与小车一起匀速运动，则细绳对小球无拉力；若小球与小车有向右的加速度a＝gtan α，则轻弹簧对小球无弹力，D正确．
2．(2016·高考江苏卷)一轻质弹簧原长为8 cm，在4 N的拉力作用下伸长了2 cm，弹簧未超出弹性限度．则该弹簧的劲度系数为(　　)
A．40 m/N B．40 N/m
C．200 m/N D．200 N/m
解析：选D.根据胡克定律有F＝kx，则k＝＝ N/m＝200 N/m，故D正确．
3．(2017·安庆质检)如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆间的夹角为θ，在斜杆的下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断正确的是(　　)

A．小车静止时，F＝mgsin θ，方向沿杆向上
B．小车静止时，F＝mgcos θ，方向垂直于杆向上
C．小车以向右的加速度a运动时，一定有F＝
D．小车以向左的加速度a运动时，F＝，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角θ1满足tan θ1＝
解析：选D.小车静止时，由物体的平衡条件知此时杆对球的作用力方向竖直向上，大小等于球的重力mg，A、B错误；小车以向右的加速度a运动，设小球受杆的作用力的方向与竖直方向的夹角为θ1，如图甲所示．根据牛顿第二定律，有Fsin θ1＝ma，Fcos θ1＝mg，两式相除可得tan θ1＝，只有当球的加速度a＝gtan θ时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有F＝，C错误；小车以加速度a向左加速运动时，由牛顿第二定律，可知小球所受到的重力mg与杆对球的作用力的合力大小为ma，方向水平向左，如图乙所示．所以杆对球的作用力的大小F＝，方向斜向左上方，tan θ1＝，D正确．


几种典型弹力的方向

考点二　静摩擦力的有无及方向的判断
1．假设法：利用假设法判断的思维程序如下：

2．状态法
根据物体的运动状态来确定，思路如下．

3．转换法
利用牛顿第三定律(作用力与反作用力的关系)来判定．先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的大小和方向，再确定另一物体受到的反作用力——静摩擦力的大小和方向．


1．如图，质量mA>mB的两物体A、B叠放在一起，靠着竖直墙面．让它们由静止释放，在沿粗糙墙面下落过程中，物体B的受力示意图是(　　)

解析：选A.两物体A、B叠放在一起，在沿粗糙墙面下落过程中，由于物体与竖直墙面之间没有压力，所以没有摩擦力，二者一起做自由落体运动，A、B之间没有弹力作用，物体B的受力示意图是图A.
2．(2017·东北三校二联)(多选)如图所示是主动轮P通过皮带带动从动轮Q的示意图，A与B、C与D分别是皮带上与轮缘上相互接触的点，则下列判断正确的是(　　)

A．B点相对于A点运动趋势方向与B点运动方向相反
B．D点相对于C点运动趋势方向与C点运动方向相反
C．D点所受静摩擦力方向与D点运动方向相同
D．主动轮受到的摩擦力是阻力，从动轮受到的摩擦力是动力
解析：选BCD.P为主动轮，假设接触面光滑，B点相对于A点的运动方向一定与B点的运动方向相同，A错误；Q为从动轮，D点相对于C点的运动趋势方向与C点的运动方向相反，Q轮通过静摩擦力带动，因此，D点所受的静摩擦力方向与D点的运动方向相同，B、C均正确；主动轮靠摩擦带动皮带，从动轮靠摩擦被皮带带动，故D也正确．

3．(多选)如图所示，倾角为θ的斜面C置于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，已知A、B、C都处于静止状态，则(　　)
A．B受到C的摩擦力一定不为零
B．C受到地面的摩擦力一定为零
C．C有沿地面向右滑动的趋势，一定受到地面向左的摩擦力
D．将细绳剪断，若B依然静止在斜面上，此时地面对C的摩擦力为0
解析：选CD.若绳对B的拉力恰好与B的重力沿斜面向下的分力平衡，则B与C间的摩擦力为零，A项错误；将B和C看成一个整体，则B和C受到细绳向右上方的拉力作用，故C有向右滑动的趋势，一定受到地面向左的摩擦力，B项错误，C项正确；将细绳剪断，若B依然静止在斜面上，利用整体法判断，B、C整体在水平方向不受其他外力作用，处于平衡状态，则地面对C的摩擦力为0，D项正确．
考点三　摩擦力的计算
1．静摩擦力大小的计算
(1)物体处于平衡状态(静止或匀速运动)，利用力的平衡条件来判断其大小．
(2)物体有加速度时，若只有静摩擦力，则Ff＝ma.若除静摩擦力外，物体还受其他力，则F合＝ma，先求合力再求静摩擦力．
2．滑动摩擦力的计算
滑动摩擦力的大小用公式Ff＝μFN来计算，应用此公式时要注意以下几点：
(1)μ为动摩擦因数，其大小与接触面的材料、表面的粗糙程度有关；FN为两接触面间的正压力，其大小不一定等于物体的重力．
(2)滑动摩擦力的大小与物体的运动速度和接触面的大小均无关．
考向1：静摩擦力的计算
[典例1]　(2017·黄冈模拟) 如图所示，质量分别为m和M的两物体P和Q叠放在倾角为θ的斜面上，P、Q间的动摩擦因数为μ1，Q与斜面间的动摩擦因数为μ2.当它们从静止开始沿斜面滑下时，两物体始终保持相对静止，则物体P受到的摩擦力大小为(　　)
A．μ1mgcos θ，方向平行于斜面向上
B．μ1mgcos θ，方向平行于斜面向下
C．μ2mgcos θ，方向平行于斜面向上
D．μ2mgcos θ，方向平行于斜面向下

解析　当物体P和Q一起沿斜面加速下滑时，其加速度为a＝gsin θ－μ2gcos θ＜gsin θ，因为P和Q相对静止，所以P和Q之间的摩擦力为静摩擦力，且方向平行于斜面向上，B、D错误；不能用公式Ff＝μFN求解，对物体P运用牛顿第二定律得mgsin θ－F静＝ma，求得F静＝μ2mgcos θ，C正确．
答案　C

判断摩擦力方向时应注意的两个问题
(1)静摩擦力的方向与物体的运动方向没有必然关系，可能相同，也可能相反，还可能成一定的夹角．
(2)分析摩擦力方向时，要注意静摩擦力方向的“可变性”和滑动摩擦力的“相对性”．
考向2：滑动摩擦力的计算
[典例2]　如图所示，质量为mB＝24 kg的木板B放在水平地面上，质量为mA＝22 kg的木箱A放在木板B上，另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°.已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5.现用水平向右、大小为200 N的力F将木板B从木箱A下面匀速抽出(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，重力加速度g取10 m/s2)，则木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为(　　)
A．0.3　 B．0.4
C．0.5 D．0.6

解析　对A受力分析如图甲所示，由题意得
FTcos θ＝Ff1①
FN1＋FTsin θ＝mAg②
Ff1＝μ1FN1③
由①②③得：FT＝100 N

对A、B整体受力分析如图乙所示，由题意得
FTcos θ＋Ff2＝F④
FN2＋FTsin θ＝(mA＋mB)g⑤
Ff2＝μ2FN2⑥
由④⑤⑥得：μ2＝0.3，故A选项正确．
答案　A
　

计算摩擦力时的三点注意
(1)首先分清摩擦力的性质，因为只有滑动摩擦力才有公式，静摩擦力通常只能用平衡条件或牛顿运动定律来求解．
(2)公式Ff＝μFN中FN为两接触面间的正压力，与物体的重力没有必然联系，不一定等于物体的重力．
(3)滑动摩擦力的大小与物体速度的大小无关，与接触面积的大小也无关．

1．如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的质量之比为(　　)
A.　　　 B．
C. D.

解析：选B.对A、B整体受力分析，F＝Ff1＝μ2(mA＋mB)g.对B受力分析，Ff2＝μ1F＝mBg.联立解得＝，B正确．


2．(多选)如图所示，小车的质量为m0，人的质量为m，人用恒力F拉绳，若人和小车保持相对静止，不计绳和滑轮质量及小车与地面间的摩擦，则小车对人的摩擦力可能是(　　)
A．0 B.F，方向向右
C.F，方向向左 D.F，方向向右
解析：选ACD.假设小车对人的静摩擦力方向向右，先对整体分析受力有2F＝(m0＋m)a，再隔离出人，对人分析受力有F－Ff＝ma，解得Ff＝F，若m0>m，则和假设的情况相同，D正确；若m0＝m，则静摩擦力为零，A正确；若m0 考点四　轻杆、轻绳、轻弹簧模型

[典例3]　如图所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹角为37°，小球的重力为12 N，轻绳的拉力为10 N，水平轻弹簧的拉力为9 N，求轻杆对小球的作用力．

解析　以小球为研究对象，受力如图所示，小球受四个力的作用：重力、轻绳的拉力、轻弹簧的拉力、轻杆的作用力，其中轻杆的作用力的方向和大小不能确定，重力与弹簧拉力的合力大小为F＝＝15 N .

设F与竖直方向夹角为α，sin α＝＝，则α＝37°
即方向与竖直方向成37°角斜向下，这个力与轻绳的拉力恰好在同一条直线上．根据物体平衡的条件可知，轻杆对小球的作用力大小为5 N，方向与竖直方向成37°角斜向右上方．
答案　5 N　方向与竖直方向成37°角斜向右上方


1．如图所示，小车内有一固定光滑斜面，一个小球通过细绳与车顶相连，细绳始终保持竖直．关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A．若小车静止，则绳对小球的拉力可能为零
B．若小车静止，则斜面对小球的支持力一定为零
C．若小车向右运动，则小球一定受两个力的作用
D．若小车向右运动，则小球一定受三个力的作用
解析：选B.小车向右运动可能有三种运动形式：向右匀速运动、向右加速运动和向右减速运动．当小车向右匀速运动时，小球受力平衡，只受重力和绳子拉力两个力的作用．当小车向右加速运动时，小球需有向右的合力，但由细绳保持竖直状态和斜面形状可知，该运动形式不可能有．当小车向右减速运动时，小球需有向左的合力，则一定受重力和斜面的支持力，可能受绳子的拉力，也可能不受绳子的拉力，故B正确．

2．如图所示，滑轮本身的质量可忽略不计，滑轮轴O安在一根轻木杆B上，一根轻绳AC绕过滑轮，A端固定在墙上，且绳保持水平，C端挂一重物，BO与竖直方向的夹角θ＝45°，系统保持平衡．若保持滑轮的位置不变，改变夹角θ的大小，则滑轮受到木杆作用力大小变化情况是(　　)
A．只有角θ变小，作用力才变大
B．只有角θ变大，作用力才变大
C．不论角θ变大或变小，作用力都是变大
D．不论角θ变大或变小，作用力都不变
解析：选D.由于两侧细绳中拉力不变，若保持滑轮的位置不变，则滑轮受到木杆作用力大小不变，与夹角θ没有关系，选项D正确，A、B、C错误．
3．(多选)两个中间有孔的质量为M的小球用一轻弹簧相连，套在一水平光滑横杆上．两个小球下面分别连一轻弹簧．两轻弹簧下端系在同一质量为m的小球上，如图所示．已知三根轻弹簧的劲度系数都为k，三根轻弹簧刚好构成一等边三角形．则下列判断正确的是(　　)

A．水平横杆对质量为M的小球的支持力为Mg＋mg
B．连接质量为m小球的轻弹簧的弹力为
C．连接质量为m小球的轻弹簧的伸长量为mg
D．套在水平光滑横杆上轻弹簧的形变量为mg
解析：选CD.水平横杆对质量为M的小球的支持力为Mg＋，选项A错误；设下面两个弹簧的弹力均为F，则2Fsin 60°＝mg，解得F＝mg，结合胡克定律得kx＝mg，则x＝mg，选项B错误，选项C正确；下面的一根弹簧对M的水平分力为Fcos 60°＝mg，再结合胡克定律得kx′＝mg，解得x′＝mg，选项D正确．

课时规范训练
[基础巩固题组]
1．下列说法正确的是(　　)
A．有力作用在物体上，其运动状态一定改变
B．单个孤立物体有时也能产生力的作用
C．作用在同一物体上的力，只要大小相同，作用的效果就相同
D．找不到施力物体的力是不存在的
解析：选D.由于力的作用效果有二：其一是改变物体运动状态，其二是使物体发生形变，A错误；力是物体对物体的作用，B错误；力的作用效果是由大小、方向、作用点共同决定的，C错误；力是物体与物体之间的相互作用，只要有力就一定会有施力物体和受力物体，D正确．
2．(多选)下列关于摩擦力的说法，正确的是(　　)
A．作用在物体上的滑动摩擦力只能使物体减速，不可能使物体加速
B．作用在物体上的静摩擦力只能使物体加速，不可能使物体减速
C．作用在物体上的滑动摩擦力既可能使物体减速，也可能使物体加速
D．作用在物体上的静摩擦力既可能使物体加速，也可能使物体减速
解析：选CD.滑动摩擦力既能提供动力，也能提供阻力，如把物体无初速度放在传送带上，滑动摩擦力对物体做正功，使物体加速，选项A错误，C正确；静摩擦力既能提供动力，也能提供阻力，汽车启动过程中，车厢里的货物跟随汽车一起加速，静摩擦力使货物加速．汽车刹车时，汽车车厢里的货物跟汽车一起停下来的过程，静摩擦力使货物减速，选项B错误，D正确．
3．如图所示，完全相同、质量均为m的A、B两球，用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根劲度系数为k的轻弹簧，系统处于静止状态时，弹簧处于水平方向，两根细线之间的夹角为θ，则弹簧的长度被压缩(　　)

A.　 B．
C. D.
解析：选C.以A球为对象，其受力如图所示，所以F弹＝mgtan ，则Δx＝＝tan ，C正确．

4．如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁．开始时a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力Ffa≠0，b所受摩擦力Ffb＝0，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间(　　)

A．Ffa大小不变 B．Ffa方向改变
C．Ffb仍然为零 D．Ffb方向向左
解析：选A.右侧细绳剪断的瞬间，弹簧弹力来不及发生变化，故a的受力情况不变，a左侧细绳的拉力、静摩擦力的大小方向均不变，A正确，B错误；而在剪断细绳的瞬间，b右侧细绳的拉力立即消失，静摩擦力向右，C、D错误．
5．如图所示，一质量为m的木板置于水平地面上，其上叠放一质量为m0的砖块，用水平力F将木板从砖下抽出，则该过程中木板受到地面的摩擦力为(已知m与地面间的动摩擦因数为μ1，m0与m间的动摩擦因数为μ2)(　　)

A．μ1mg B．μ1(m0＋m)g
C．μ2mg D．μ2(m0＋m)g
解析：选B.滑动摩擦力的计算公式F＝μFN，题中水平地面所受压力的大小为(m0＋m)g，木板与地面间的动摩擦因数为μ1，所以木板受滑动摩擦力大小为μ1(m0＋m)g，B正确．
6．如图所示，一重为10 N的球固定在支杆AB的上端，用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为7.5 N，则AB杆对球的作用力(　　)

A．大小为7.5 N
B．大小为10 N
C．方向与水平方向成53°角斜向右下方
D．方向与水平方向成53°角斜向左上方
解析：选D.对小球进行受力分析可得，AB杆对球的作用力与绳的拉力的合力与小球重力等值反向，AB杆对球的作用力大小F＝＝12.5 N，A、B错误；令AB杆对小球的作用力与水平方向夹角为α，可得tan α＝＝，α＝53°，D正确．
7．(多选)如图所示，物块M在静止的传送带上以速度v匀速下滑时，传送带突然启动，方向如图中箭头所示，若传送带的速度大小也为v，则传送带启动后(　　)

A．M静止在传送带上
B．M可能沿斜面向上运动
C．M受到的摩擦力不变
D．M下滑的速度不变
解析：选CD.由M匀速下滑可知其处于平衡状态，受重力、摩擦力和支持力作用，传送带启动以后对M受力没有影响，自然也不会影响其运动状态，C、D正确．
[综合应用题组]
8．如右图所示，把一重为G的物体，用一水平方向的推力F＝kt(k为恒量，t为时间)压在竖直的足够高的平整墙上，从t＝0开始物体所受的摩擦力Ff随t的变化关系是下图中的(　　)


解析：选B.物体在竖直方向上只受重力G和摩擦力Ff的作用．由于Ff从零开始均匀增大，开始一段时间Ff＜G，物体加速下滑；当Ff＝G时，物体的速度达到最大值；之后Ff＞G，物体向下做减速运动，直至减速为零．
在整个运动过程中，摩擦力为滑动摩擦力，其大小为Ff＝μFN＝μF＝μkt，即Ff与t成正比，是一条过原点的倾斜直线．
当物体速度减为零后，滑动摩擦力突变为静摩擦力，其大小Ff＝G，所以物体静止后的图线为平行于t轴的线段，正确答案为B.
9．如图所示，质量为m的物体用细绳拴住放在水平粗糙传送带上，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，当传送带分别以v1、v2的速度做逆时针运动时(v1＜v2)，绳中的拉力分别为F1、F2，物体受到的摩擦力分别为Ff1、Ff2则下列说法正确的是(　　)

A．Ff1＜Ff2　 B．物体所受摩擦力方向向右
C．F1＝F2 D．Ff1＝μmg
解析：选C.物体的受力分析如图所示，滑动摩擦力与绳的拉力的水平分量平衡，因此方向向左，B错误；设绳与水平方向成θ角，则Fcos θ－μFN＝0，FN＋Fsin θ－mg＝0，解得F＝，F大小与传送带速度大小无关，C正确；物体所受摩擦力Ff＝Fcos θ恒定不变，A、D错误．

10．(多选)两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b串接在一起，a弹簧的一端固定在墙上，如图所示．开始时两弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在b弹簧的P端向右拉动弹簧，已知a弹簧的伸长量为L，则(　　)

A．b弹簧的伸长量也为L
B．b弹簧的伸长量为
C．P端向右移动的距离为2L
D．P端向右移动的距离为L
解析：选BD.两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b串接在一起，两弹簧中的弹力大小相等，k1L＝k2x，解得b弹簧的伸长量为x＝，选项A错误，B正确；P端向右移动的距离为L＋x＝L，选项C错误，D正确．
11．如图所示，水平桌面上平放有一堆卡片，每一张卡片的质量均为m.用手指以竖直向下的力压第1张卡片，并以一定速度向右移动手指，确保第1张卡片与第2张卡片之间有相对滑动．设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，手指与第1张卡片之间的动摩擦因数为μ1，卡片之间、卡片与桌面之间的动摩擦因数均为μ2，且有μ1＞μ2，则下列说法正确的是(　　)

A．任意两张卡片之间均可能发生相对滑动
B．上一张卡片受到下一张卡片的摩擦力一定向左
C．第1张卡片受到手指的摩擦力向左
D．最下面那张卡片受到水平桌面的摩擦力向右
解析：选B.对第2张卡片分析，它对第3张卡片的压力等于上面两张卡片的重力及手指的压力的和，最大静摩擦力Ffm＝μ2(2mg＋F)，而其受到第1张卡片的滑动摩擦力为Ff＝μ2(mg＋F)＜Ffm，则第2张卡片与第3张卡片之间不发生相对滑动，同理，第3张到第54张卡片也不发生相对滑动，故A错误；根据题意，因上一张卡片相对下一张卡片要向右滑动或有向右滑动的趋势，故上一张卡片受到下一张卡片的摩擦力一定向左，B正确；第1张卡片相对于手指的运动趋势方向与手指的运动方向相反，则其受到手指的静摩擦力与手指的运动方向相同，即受到手指的摩擦力向右，C错误；对53张卡片(除第1张卡片外)研究，其处于静止状态，水平方向受到第1张卡片的滑动摩擦力，方向与手指的运动方向相同，则根据平衡条件可知：第54张卡片受到桌面的摩擦力方向与手指的运动方向相反，即水平向左，D错误．
12．如图所示，两个小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点，现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为θ＝45°，已知弹簧的劲度系数为k，则弹簧形变量不可能是(　　)

A. B.
C. D.
解析：选B.对a球进行受力分析，利用图解法可判断：当弹簧上的拉力F与细线上的拉力垂直时，拉力F最小，为Fmin＝2mgcos θ＝mg，再根据胡克定律得：最小形变量Δx＝，则形变量小于是不可能的，所以应该选B.

13．如图甲所示，粗糙的水平地面上有一斜劈，斜劈上一物块正沿斜面以速度v0匀速下滑，斜劈保持静止，地面对斜劈的摩擦力为Ff1；如图乙所示，若对该物块施加一平行于斜面向下的推力F1，使其加速下滑，则地面对斜劈的摩擦力为Ff2；如图丙所示，若对该物块施加一平行于斜面向上的推力F2，使其减速下滑，则地面对斜劈的摩擦力为Ff3.下列关于Ff1、Ff2、Ff3的大小关系正确的是(　　)

A．Ff1＞0 B．Ff2＞Ff3
C．Ff2＜Ff3 D．Ff2＝Ff3
解析：选D.图甲中斜劈和物块都处于平衡状态，对整体，只有竖直方向的重力和支持力，地面对斜劈的摩擦力Ff1＝0，若有摩擦力，则系统不能平衡，故A项错误；根据图甲的情景可知，在图乙、丙中，物块受到斜面作用的都是滑动摩擦力和支持力，合力与物块重力平衡即竖直向上，因此物块对斜面的作用力(摩擦力和压力的合力)总是竖直向下的，且与物块的重力等大，所以斜劈只受到了竖直方向的重力、地面支持力和物块的作用力，与图甲的受力情况相同，因此有Ff1＝Ff2＝Ff3＝0，B、C错误，D项正确．
14．(多选)某同学用传感器来探究摩擦力，他将力传感器接入数据采集器，再连接到计算机上；将一质量m＝3.75 kg的木块置于水平桌面上，用细绳将木块和传感器连接起来进行数据采集，然后沿水平方向缓慢地拉动传感器，使木块运动一段时间后停止拉动．获得的数据在计算机上显示出如图所示的图象．下列有关这个实验的几个说法，其中正确的是(　　)

A．0～6 s内木块一直受到静摩擦力的作用
B．最大静摩擦力比滑动摩擦力大
C．木块与桌面间的动摩擦因数约为0.08
D．木块与桌面间的动摩擦因数约为0.11
解析：选BC.在0～2 s内，物体不受外力，此时没有摩擦力，故选项A错误；由图象可知，用力沿水平方向拉木块，拉力从0开始逐渐增大；刚开始木块处于静止状态，木块受拉力和桌面对木块的静摩擦力，当拉力达到4 N时，木块与桌面发生相对滑动，由图可知木块与桌面间的最大静摩擦力Ffm为4 N；当拉力大于4 N时，发生相对滑动，木块与桌面间的摩擦力为滑动摩擦力；由图可知木块与桌面间的滑动摩擦力Ff为3 N，故选项B正确；根据滑动摩擦力公式得μ＝＝＝0.08，选项C正确、D错误．
第2节　力的合成与分解

一、力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力．
(2)关系：合力和分力是一种等效替代关系．
2．共点力：作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力．
3．力的合成：求几个力的合力的过程．
4．力的运算法则
(1)三角形定则：把两个矢量首尾相连从而求出合矢量的方法．(如图甲所示)

(2)平行四边形定则：求互成角度的两个力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．(如图乙所示)
二、力的分解
1．概念：求一个力的分力的过程．
2．遵循的原则：平行四边形定则或三角形定则．
3．分解的方法
(1)按力产生的效果进行分解．
(2)正交分解．
[自我诊断]
1．判断正误
(1)两个力的合力一定大于任一个分力．(×)
(2)合力及其分力可以同时作用在物体上．(×)
(3)合力与分力是等效替代的关系．(√)
(4)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则．(√)
(5)按效果分解是力分解的一种方法．(√)
(6)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形．(√)
(7)既有大小又有方向的物理量一定是矢量．(×)
2．(多选)作用在同一点上的两个力，大小分别是5 N和4 N，则它们的合力大小可能是(　　)
A．0　　　 B．5 N
C．3 N D．10 N
解析：选BC.根据|F1－F2|≤F≤F1＋F2得，合力的大小范围为1 N≤F≤9 N，B、C正确．
3．(2017·江苏南京一模)减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是(　　)

解析：选B.减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向上分力产生向上运动的作用效果，故B正确，D错误．
4．(多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A. B.
C. D.F
解析：选AC.如图所示，因F2＝F＞Fsin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由ΔF＝＝F，即F1的大小分别为Fcos 30°－ΔF和Fcos 30°＋ΔF，即F1的大小分别为F和F，A、C正确．


考点一　共点力的合成
1．共点力合成的方法
(1)作图法：根据力的三要素，利用力的图示法画规范图示求解．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，是解题的常用方法．
(3)重要结论
①二个分力一定时，夹角θ越大，合力越小．
②合力一定，二等大分力的夹角越大，二分力越大．
③合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力．
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3；
②最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力的大小减去另外两个较小的力的大小之和．

1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是(　　)
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
解析：选C.合力不一定大于分力，B错；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，A错；当三个力的大小分别为3a、6a、8a，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D错．
2．一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)

A．三力的合力有最大值为F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
解析：选B.方法一：以F1和F2为邻边作平行四边形，对角线必沿F3方向，其大小F12＝2F3，再与F3求合力，故F＝3F3，与F3同向，所以只有B正确．
方法二：分解F1、F2，竖直方向抵消，水平方向合成后相当于2F3，所以合力为3F3.
考点二　力的分解
1．按力的效果分解
(1)根据力的实际作用效果两个实际分力的方向；
(2)再根据两个实际分力方向平行四边形；
(3)最后由三角形知识两分力的大小．
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的
力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(3)方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解．

x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝.
[典例1]　(2017·浙江杭州模拟)如图所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，试求AO绳和BO绳拉力的大小？

解析　法一：力的作用效果分解法
结点O为研究对象，悬挂灯的拉力产生了两个效果，一是沿AO向下的使AO张紧的分力F1，二是沿BO向左的使BO绳张紧的分力F2，画出平行四边形如图甲所示，因此，由几何关系得

F1＝＝10 N
F2＝＝10 N

法二：正交分解法
结点O与灯看作一个整体，其受到三个力作用FA、FB、G，如图乙所示．
由水平方向和竖直方向，列方程得
FAsin 45°＝G，FAcos 45°＝FB
解得FA＝10 N，FB＝10 N
答案　10 N　10 N

正交分解法的适用原则
正交分解法是分析力或其他矢量问题的常用方法，往往适用于下列情况：
(1)物体受到三个以上的力的情况．
(2)物体受到三个力的作用，其中有两个力互相垂直的情况．
(3)只分析物体某一方向的运动情况时，需要把不沿该方向的力正交分解，然后分析该方向上的受力情况．

1．(多选)将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中正确的是(　　)

解析：选ABD.A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B项图画得正确．C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力G1和G2，故C项图画错．D项中物体的重力分解为水平向左使球压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项图画得正确．

2．(多选)如图所示，质量为M的斜面体A放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为m的小球B置于斜面上，整个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与竖直方向夹角均为θ＝30°.不计小球与斜面间的摩擦，则(　　)
A．轻绳对小球的作用力大小为mg
B．斜面对小球的作用力大小为mg
C．斜面体对水平面的压力大小为(M＋m)g
D．斜面体与水平面间的摩擦力大小为mg
解析：选AD.以B为研究对象，受力如图甲所示，
由几何关系知θ＝β＝30°.根据受力平衡可得
FT＝FN＝mg
以斜面体为研究对象，其受力如图乙所示

由受力平衡得FN1＝Mg＋FN′ cos θ＝Mg＋mg
Ff＝FN′ sin θ＝mg
故B、C选项错误，A、D选项正确．
3．(2017·江西抚州临川一中质检)如图所示，开口向下的“
┍┑”形框架两侧竖直杆光滑固定，上面水平横杆中点固定一定滑轮，两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，此时连接滑块A的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B的绳与水平方向的夹角为2θ，则A、B两滑块的质量之比为(　　)
A．1∶2cos θ　
B．2cos θ∶1
C．2sin θ∶1
D．1∶2sin θ

解析：选A.设绳的拉力为F，对两个滑块分别受力分析，如图所示，根据力的平衡条件可知：mAg＝Fsin θ，mBg＝Fsin 2θ，因此＝＝，A项正确．

考点三　力的合成与分解方法在实际问题中的应用

1．某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，图中a＝0.5 m，b＝0.05 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为(　　)
A．4 B．5
C．10 D．1

解析：选B.按力F的作用效果沿AC、AB杆方向分解为图甲所示的F1、F2，则F1＝F2＝，由几何知识得tan θ＝＝10，再按F1的作用效果将F1沿水平向左和竖直向下分解为图乙所示的F3、F4，则F4＝F1 sin θ，联立得F4＝5F，即物体D所受压力的大小与力F的比值为5，B对．

2．电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图所示，将相距为L的两根固定支柱A、B(图中的小圆圈表示支柱的横截面)垂直于金属绳水平放置，在A、B的中点用一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于A、B的方向竖直向上发生一个偏移量d(d≪L)，这时仪器测得金属绳对支柱C竖直向下的作用力为F.

(1)试用L、d、F表示这时金属绳中的张力FT；
(2)如果偏移量d＝10 mm，作用力F＝400 N，L＝250 mm，计算金属绳中张力的大小．
解析：(1)设C′点受两边金属绳的张力分别为FT1和FT2，BC与BC′的夹角为θ，如图所示．依对称性有：

FT1＝FT2＝FT
由力的合成有：F＝2FTsin θ
根据几何关系有sin θ＝
联立上述二式解得FT＝
因d≪L，故FT＝.
(2)将d＝10 mm，F＝400 N，L＝250 mm
代入FT＝
解得FT＝2.5×103N，即金属绳中的张力为2.5×103 N.
答案：(1)　(2)2.5×103 N

把力按实际效果分解的一般思路

考点四　绳上的“死结”和“活结”模型
1．“死结”模型的4个特点
(1)“死结”可理解为把绳子分成两段；
(2)“死结”是不可以沿绳子移动的结；
(3)“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳；
(4)“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．
2．“活结”模型的4个特点
(1)“活结”可理解为把绳子分成两段；
(2)“活结”是可以沿绳子移动的结点；
(3)“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳；
(4)“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线．
[典例2]　如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：

(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力．
解析　题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图a和b所示，根据平衡规律可求解．

(1)图a中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图b中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g
所以＝
(2)图a中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有
FNC＝FTAC＝M1g
方向与水平方向成30°，指向右上方．
(3)图b中，根据平衡方程有
FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcos 30°＝FNG
所以FNG＝M2gcot 30°＝M2g
方向水平向右．
答案　(1)　(2)M1g　方向与水平方向成30°指向右上方　(3)M2g　方向水平向右

1．(2017·陕西宝鸡质检)如图所示，某同学通过滑轮组将一重物吊起，该同学对绳的竖直拉力为F1，对地面的压力为F2，不计滑轮与绳的重力及摩擦，则在重物缓慢上升的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．F1逐渐变小　
B．F1逐渐变大
C．F2先变小后变大
D．F2先变大后变小

解析：选B.由题图可知，滑轮两边绳的拉力均为F1，设动滑轮两边绳的夹角为θ，对动滑轮有2F1cos ＝mg，当重物上升时，变大，cos 变小，F1变大；对该同学，有F2′＋F1＝Mg，而F1变大，Mg不变，则F2′变小，即对地面的压力F2变小．综上可知，B正确．

2．(多选)如图所示，A物体被绕过小滑轮P的细线所悬挂，B物体放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根细线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态．若悬挂小滑轮的细线OP上的张力是20 N，取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A．弹簧的弹力为10 N
B．A物体的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
解析：选ABC.分别以物体A、B和结点O′及小滑轮为研究对象进行受力分析，对物体A有 mAg＝FO′a，对小滑轮有2FO′acos 30°＝FOP，联立解得mA＝2 kg，FO′a＝20 N，选项B正确；同一根细线上的张力相同，故OP的延长线为细线张角的角平分线，由此可知OP与竖直方向的夹角为30°，选项D错误；对结点O′，有FO′asin 30°＝F弹，FO′acos 30°＝FO′b，对物体B有Ff＝FO′b，联立解得弹簧弹力F弹＝10 N，B物体所受的摩擦力Ff＝10 N，选项A、C正确．
课时规范训练
[基础巩固题组]
1．物体受共点力F1、F2、F3作用而做匀速直线运动，若F1、F2、F3三个力不共线，则这三个力可能选取的数值为(　　)
A．15 N、5 N、6 N　　 B．3 N、6 N、4 N
C．1 N、2 N、10 N D．1 N、6 N、7 N
解析：选B.物体在F1、F2、F3作用下而做匀速直线运动，则三个力的合力必定为零，只有B选项中的三个力的合力可以为零且三个力不共线，B正确．
2．如图所示，一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索上表演．已知独轮车和演员的总质量为60 kg，两侧钢索的夹角为150°，钢索所能承受的最大拉力为2 000 N，g取10 m/s2.当独轮车和演员在图示位置静止不动时，钢索对独轮车的作用力大小为(　　)

A．600 N B．1 200 N
C．2 000 N D．4 000 N
解析：选A.独轮车和演员处于平衡状态，所以钢索对独轮车的作用力大小为600 N，A正确．
3．如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为(　　)

A．0°，G B．30°，G
C．60°，G D．90°，G
解析：选B.小球重力不变，位置不变，则绳OA拉力的方向不变，故当拉力F与绳OA垂直时，力F最小，故θ＝30°，F＝Gcos θ＝G，B正确．
4．如图所示，光滑斜面的倾角为30°，轻绳通过两个滑轮与A相连，轻绳的另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦．物块A的质量为m，不计滑轮的质量，挂上物块B后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A、B恰能保持静止，则物块B的质量为(　　)

A. m B. m
C．m D．2 m
解析：选A.先以A为研究对象，由A物块受力及平衡条件可得绳中张力FT＝mgsin 30°.再以动滑轮为研究对象，分析其受力并由平衡条件有mBg＝FT，解得mB＝m，A正确．
5．如图所示，起重机将重为G的重物匀速吊起，此时四条钢索与竖直方向的夹角均为60°，则每根钢索中弹力大小为(　　)

A. B.
C. D.
解析：选D.设钢索中张力大小为F，由对称性可知，四条钢索中弹力大小相同，由平衡条件可得：4Fcos 60°＝G，得F＝.D正确．
6．图甲为杂技表演的安全网示意图，网绳的结构为正方格形，O、a、b、c、d…等为网绳的结点．安全网水平张紧后，若质量为m的运动员从高处落下，并恰好落在O点上．该处下凹至最低点时，网绳dOe、bOg均成120°向上的张角，如图乙所示，此时O点受到的向下的冲击力大小为F，则这时O点周围每根网绳承受的力的大小为(　　)

A．F B.
C．F＋mg D.
解析：选B.O点周围共有4根绳子，设每根绳子的力为F′，则4根绳子的合力大小为2F′，所以F＝2F′，所以F′＝，故B正确．
7．如图所示，相隔一定距离的两个相同的圆柱体A、B固定在等高的水平线上，一细绳套在两圆柱体上，细绳下端悬挂一重物．绳和圆柱体之间无摩擦，当重物一定时，绳越长(　　)

A．绳对圆柱体A的作用力越小，作用力与竖直方向的夹角越小
B．绳对圆柱体A的作用力越小，作用力与竖直方向的夹角越大
C．绳对圆柱体A的作用力越大，作用力与竖直方向的夹角越小
D．绳对圆柱体A的作用力越大，作用力与竖直方向的夹角越大
解析：选A.题中装置关于A、B连线的中垂线对称，因此三段绳中的张力相等．对物体，两段绳的张力的合力等于物体的重力，若绳越长，则两段绳间的夹角越小，则张力越小．对A圆柱体，两段绳的张力的合力即对圆柱体的作用力，绳越长，两绳的夹角越大，则合力越小，合力方向与竖直方向的夹角越小，选项A正确．
[综合应用题组]
8．(多选)一个大人拉着载有两个小孩的小车(其拉杆可自由转动)沿水平地面匀速前进，则对小孩和车下列说法正确的是(　　)

A．拉力的水平分力等于小孩和车所受的合力
B．拉力与摩擦力的合力大小等于车和小孩重力大小
C．拉力与摩擦力的合力方向竖直向上
D．小孩和车所受的合力为零
解析：选CD.小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件，拉力的水平分力等于小孩和车所受的摩擦力，故选项A错误；小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件，拉力、摩擦力的合力与重力、支持力的合力平衡，重力、支持力的合力竖直，故拉力与摩擦力的合力方向竖直向上，故选项B错误，C正确；小孩和车做匀速直线运动，故所受的合力为零，故选项D正确．
9．三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳是(　　)

A．必定是OA B．必定是OB
C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC
解析：选A.由于重物重力作用使细绳OC对O点有向下的拉力FC，大小等于重物的重力，拉力FC有两个效果，一是产生拉细绳OA的拉力FA(大小等于OA承受的拉力)，二是产生拉细绳OB的拉力FB(大小等于OB承受的拉力)，作出FC的分解图如图所示．从图中可以看出，FA最大，即若逐渐增加C端所挂物体的质量，细绳OA最先断，A正确．

10．如图所示，三根轻绳系于竖直杆上的同一点O，其中轻绳OA与OB等长且夹角为60°，竖直杆与平面AOB所成的角为30°.若轻绳OA、OB的拉力均为20 N，要使杆受到绳子作用力的方向竖直向下，则水平轻绳 OC的拉力大小为(　　)

A．10 N B．20 N
C．20 N D．10 N
解析：选D.根据平行四边形定则以及几何知识，可得轻绳OA与OB的合力F＝2FOAcos 30°＝20 N，F与竖直方向的夹角为30°，所以F的水平分量Fx＝F sin 30°＝10 N，要使杆受到绳子作用力的方向竖直向下，则水平轻绳OC的拉力应该与F的水平分量等值反向，所以轻绳OC的拉力大小FOC＝Fx＝10 N，故选D.

11．如图所示，作用在滑块B上的推力F＝100 N，若α＝30°，装置重力和摩擦力均不计，则通过连杆工件受到向上的压力为(　　)

A．100 N B．100 N
C．50 N D．200 N
解析：选B.对B进行受力分析，如图甲所示，得F2＝＝2F；对连杆上部进行受力分析，如图乙所示，其中F2′＝F2，得FN＝F2′·cos 30°＝100 N，根据牛顿第三定律可知B正确．

12．(多选)如图所示，作用于O点的三个力F1、F2、F3合力为零．F1沿－y方向，大小已知．F2与x轴正方向夹角为θ(θ＜90°)，大小未知．下列说法正确的是(　　)

A．F3可能指向第二象限
B．F3一定指向第三象限
C．F3与F2的夹角越小，则F3与F2的合力越小
D．F3的最小可能值为F1cos θ
解析：选AD.因F1、F2、F3的合力为零，故F3应与F2、F1的合力等大反向，故F3可能在第二象限，也可能在第三象限，选项A正确，B错误；F3、F2的合力与F1等大反向，而F1大小、方向均已知，故F3与F2的合力与其夹角大小无关，选项C错；当F3与F2垂直时，F3最小，其最小值为F1cos θ，选项D正确．
13．近年来，智能手机的普及使“低头族”应运而生．近日研究发现，玩手机时，就有可能让颈椎承受多达60磅(约270 N)的重量．不当的姿势与一系列健康问题存在关联，如背痛、体重增加、胃痛、偏头痛和呼吸道疾病等，当人体直立时，颈椎所承受的压力等于头部的重量；但当低头时，颈椎受到的压力会随之变化．现将人低头时头颈部简化为如图所示的模型：重心在头部的P点，颈椎OP(轻杆)可绕O转动，人的头部在颈椎的支持力和沿PA方向肌肉拉力的作用下处于静止．假设低头时颈椎OP与竖直方向的夹角为45°，PA与竖直方向的夹角为60°，此时颈椎受到的压力约为直立时颈椎受到的压力的(≈1.414，≈1.732)(　　)

A．4.2倍 B．3.3倍
C．2.8倍 D．2.0倍
解析：选B.设头部的质量为m，当人体直立时，颈椎所受的压力F＝mg；当低头时，设颈椎所受到的压力为F1，以P点为研究对象，受力分析如图所示，由正弦定理得＝，解得F1≈3.3mg，选项B正确，A、C、D错误．

14．(多选)如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O′处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点．已知容器半径为R，与水平地面之间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向的夹角为θ＝30°.下列说法正确的是(　　)

A．容器相对于水平面有向左的运动趋势
B．容器和弹簧对小球的作用力的合力竖直向上
C．弹簧原长为R＋
D．轻弹簧对小球的作用力大小为mg
解析：选BC.对小球受力分析，如图所示．θ＝30°，三角形OO′P为等边三角形，由相似三角形法得FN＝F＝mg，D错误．由整体法得，竖直方向有总重力、地面的支持力，根据平衡条件可知，容器不受水平面的静摩擦力，容器与地面没有相对运动趋势，A错误．小球处于平衡状态，容器和弹簧对小球的作用力的合力与重力平衡，B正确．由胡克定律有F＝mg＝k(L0－R)，解得弹簧原长L0＝R＋，C正确．

第3节　受力分析　共点力的平衡

一、受力分析
1．概念
把研究对象(指定物体)在指定的物理环境中受到的所有力都分析出来，并画出物体所受力的示意图，这个过程就是受力分析．
2．受力分析的一般顺序
先分析重力，然后按接触面分析接触力(弹力、摩擦力)，再分析其他力(电磁力、浮力等)，最后分析已知力．
二、共点力作用下物体的平衡
1．平衡状态
物体处于静止或匀速直线运动的状态．
2．共点力的平衡条件：F合＝0或者
3．平衡条件的几条重要推论
(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反．
(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反．
(3)多力平衡：如果物体受多个力作用处于平衡，其中任何一个力与其余力的合力大小相等，方向相反．
[自我诊断]
1．判断正误
(1)物体沿光滑斜面下滑时，受到重力、支持力和下滑力的作用．(×)
(2)对物体进行受力分析时不用区分外力与内力，两者要同时分析．(×)
(3)处于平衡状态的物体加速度一定等于零．(√)
(4)速度等于零的物体一定处于平衡状态．(×)
(5)若三个力F1、F2、F3平衡，若将F1转动90°时，三个力的合力大小为F1.(√)
(6)物体在缓慢运动时所处的状态不属于平衡状态．(×)
2．如图所示，一小车的表面由一光滑水平面和光滑斜面连接而成，其上放一球，球与水平面的接触点为a，与斜面的接触点为b.当小车和球一起在水平桌面上做直线运动时，下列结论正确的是(　　)

A．球在a、b两点处一定都受到支持力
B．球在a点一定受到支持力，在b点处一定不受支持力
C．球在a点一定受到支持力，在b点处不一定受到支持力
D．球在a点处不一定受到支持力，在b点处也不一定受到支持力
解析：选D.若球与车一起水平匀速运动，则球在b处不受支持力作用，若球与车一起水平向左匀加速运动，则球在a处的支持力可能为零，D正确．

3．如图所示，物块A放在倾斜的木板上，已知木板的倾角α分别为30°和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块和木板间的动摩擦因数为(　　)
A.　 B．
C. D.
解析：选C.由题意可以推断出，当倾角α＝30°时，物体受到的摩擦力是静摩擦力，大小为Ff1＝mgsin 30°；当α＝45°时，物体受到的摩擦力为滑动摩擦力，大小为Ff2＝μFN＝μmgcos 45°，由Ff1＝Ff2得μ＝，C正确．
4．体操运动员静止悬挂在单杠上，当两只手掌握点之间的距离减小时，关于运动员手臂受到的拉力，下列判断正确的是(　　)

A．不变 B．变小
C．变大 D．无法确定
解析：选B.对运动员受力分析如图所示．运动员静止悬挂在单扛上，受力平衡，设两臂与竖直方向夹角为α，根据三力平衡的特点可知运动员手臂受到的拉力F＝，α减小，cos α增大，F减小，故选项B正确.


考点一　物体的受力分析
1．定义：把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图，这个过程就是受力分析．
2．受力分析的一般顺序：先分析场力(重力、电场力、磁场力)，再分析接触力(弹力、摩擦力)，最后分析其他力．
3．研究对象选取方法：整体法和隔离法．
(1)当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法．
(2)在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法．
(3)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．

1．如图所示，光滑斜面固定于水平面，滑块A、B叠放在一起冲上斜面，且始终保持相对静止，A上表面水平，则在斜面上运动时B受力的示意图为(　　)

解析：选A.先将A、B当成一个整体，一起冲上斜面时，受重力及斜面的支持力，合力沿斜面向下．再用隔离法，单独对B进行受力分析可知，B所受摩擦力水平向左，所受A的支持力在竖直方向上，A正确．

2．(2017·四川达州一模)如图所示，用轻杆拴接同种材料制成的a、b两物体，它们沿斜面向下做匀速运动，关于a、b的受力情况，以下说法正确的是(　　)
A．a受三个力作用，b受四个力作用
B．a受四个力作用，b受三个力作用
C．a、b均受三个力作用
D．a、b均受四个力作用
解析：选C.对a、b和轻杆组成的整体分析，根据平衡条件有Mgsin θ＝μMgcos θ，解得μ＝tan θ.再隔离对a分析，假设受到拉力，有mgsin θ＝FT＋μmgcos θ，解得FT＝0.所以轻杆无拉力，a、b均受三个力，即重力、支持力和摩擦力，选项C正确，A、B、D错误．

3．(多选)如图所示，两个相似的斜面体A、B在竖直向上的力F的作用下静止靠在竖直粗糙墙壁上．关于斜面体A和B的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A．A一定受到4个力
B．B可能受到4个力
C．B与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D．A与B之间一定有摩擦力
解析：选AD.整体法确定外力：对斜面体A、B整体受力分析，其受到向下的重力G和向上的推力F，由平衡条件可知B与墙壁之间不可能有弹力，因此也不可能有摩擦力，故C错误．
假设法、状态法确定B对A的接触力：对斜面体A受力分析，A一定受到重力GA和推力F.假设撤掉A，B将下落，A、B间一定存在弹力FBA，如图甲所示，为保持A处于平衡状态，B一定给A一个沿斜面向下的摩擦力Ff.

转换法确定B的受力：根据牛顿第三定律可知，斜面体B除受重力外，一定受到A的支持力FAB和摩擦力Ff′，如图乙所示．综合以上分析可知，A、D正确．
考点二　共点力的静态平衡问题
解决共点力平衡问题常用的4种方法
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
效果分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
考向1：单个物体的平衡问题
[典例1]　如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ.下列关系正确的是(　　)
A．F＝ B．F＝mgtan θ
C．FN＝ D．FN＝mgtan θ

解析　解法一：合成法．滑块受力如图甲，由平衡条件知：＝tan θ，解得F＝，FN＝.

解法二：效果分解法．将重力按产生的效果分解，如图乙所示，F＝G2＝，FN＝G1＝.
解法三：正交分解法．将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，
联立解得：F＝，FN＝.
解法四：封闭三角形法．如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝，FN＝，故A正确．
答案　A
考向2：整体法和隔离法在多体平衡问题中的应用
[典例2]　(2017·广东佛山模拟)质量为m的四只完全相同的足球叠成两层放在水平面上，底层三只足球刚好接触成三角形，上层一只足球放在底层三只足球的正上面，系统保持静止．若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则(　　)
A．底层每个足球对地面的压力为mg
B．底层每个足球之间的弹力为零
C．下层每个足球对上层足球的支持力大小为
D．水平面的摩擦因数至少为

解析　根据整体法，设下面每个球对地面的压力均为FN，则3FN＝4mg，故FN＝mg，A错误；四个球的球心连线构成了正四面体，球放在水平面上，所以下层每个足球之间的弹力为零，B正确；上层足球受到重力、下层足球对上层足球的三个支持力，由于三个支持力的方向不是竖直向上，所以三个支持力在竖直方向的分量之和等于重力，则下层每个足球对上层足球的支持力大小大于，C错误；如图所示，根据正四面体几何关系可得，F与mg夹角的余弦值cos θ＝，正弦值sin θ＝，则有F·＋mg＝FN＝mg，F＝Ff，解得Ff＝mg，F＝mg，则μ＝＝，所以水平面的摩擦因数至少为，故D错误．

答案　B

1. (2017·安徽铜陵模拟)如图所示，质量分别为mA、mB的两物块A、B叠放在一起，若它们共同沿固定在水平地面上倾角为α的斜面匀速下滑．则(　　)

A．A、B间无摩擦力
B．B与斜面间的动摩擦因数μ＝tan α
C．A、B间有摩擦力，且B对A的摩擦力对A做负功
D．B对斜面的摩擦力方向沿斜面向上
解析：选B.因为A处于平衡状态，所以A受重力、支持力以及B对A的静摩擦力而平衡，可知A、B间有摩擦力，摩擦力的方向沿A与B的接触面斜向上，向下滑动的过程中，摩擦力的方向与A速度方向的夹角为锐角，所以B对A的摩擦力对A做正功，故A、C错误；A、B能一起匀速下滑，对整体分析，受重力、支持力和滑动摩擦力，则有(mA＋mB)gsin θ＝μ(mA＋mB)gcos θ，可得μ＝tan α，斜面对B的摩擦力方向沿斜面向上，所以B对斜面的摩擦力方向沿斜面向下，故B正确，D错误.
考点三　共点力的动态平衡问题
1．动态平衡：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡．
2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”．
3．常用方法：解析法、图解法和相似三角形法．
考向1：解析法的应用
[典例3]　如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动．关于物块受到的外力，下列判断正确的是(　　)
A．推力F先增大后减小
B．推力F一直减小
C．物块受到的摩擦力先减小后增大
D．物块受到的摩擦力一直不变

解析　对物块受力分析，建立如图所示的坐标系．由平衡条件得：Fcos θ－Ff＝0，FN－(mg＋Fsin θ)＝0，又Ff＝μFN，联立可得F＝，可见，当θ减小时，F一直减小，B正确；摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsin θ)，可知，当θ、F减小时，Ff一直减小 .

答案　B
考向2：图解法的应用
图解法的适用条件：物体受到三个力的作用，其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，还有一个力的方向变化．

[典例4]　(2017·湖南益阳模拟)在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙面间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．现对B施加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的摩擦力为F3.若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中(　　)
A．F1保持不变，F3缓慢增大
B．F1缓慢增大，F3保持不变
C．F2缓慢增大，F3缓慢增大
D．F2缓慢增大，F3保持不变

解析　球B受力情况如图所示，墙对球B的作用力及A对球B的作用力的合力与F及重力的合力大小相等，方向相反，故当F增大时，A对B的支持力F2′增大，故B对A的压力也增大，即F2增大，同理可知，墙对B的作用力F1增大；对整体分析，整体竖直方向受重力、支持力及压力F，水平方向受墙的作用力F1和地面对A的摩擦力为F3而处于平衡，由平衡条件得，当F增大时，地面对A的摩擦力F3增大，故选项C正确.
答案　C
考向3：相似三角形法的应用
相似三角形法的适用条件：物体受到三个力的作用，其中一个力的大小、方向均不变，另两个力的方向都变化．

[典例5]　(2017·江西南昌模拟)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，杆的A端用铰链固定，光滑轻小滑轮在A点正上方，B端吊一重物G，现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓缦上拉，在AB杆达到竖直前(均未断)，关于绳子的拉力F和杆受的弹力FN的变化，判断正确的是(　　)
A．F变大　 B．F变小
C．FN变大 D．FN变小
解析　设物体的重力为G.以B点为研究对象，分析受力情况，作出受力分析图，如图所示：

作出力FN与F的合力F2，根据平衡条件得知，F2＝F1＝G.由△F2FNB∽△ABO得＝，解得FN＝G，式中，BO、AO、G不变，则FN保持不变，C、D错误；由△F2FNB∽△ABO得＝，AB减小，则F一直减小，A错误，B正确．
答案　B

1．(2017·河南濮阳模拟)(多选)如图所示，一辆小车静止在水平地面上，车内固定着一个倾角为60°的光滑斜面OA，光滑挡板OB可绕转轴O在竖直平面内转动，现将一质量为m的圆球放在斜面与挡板之间，挡板与水平面的夹角θ＝60°，下列说法正确的是(　　)

A．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，则球对斜面的压力逐渐增大
B．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，则球对挡板的压力逐渐减小
C．若保持挡板不动，则球对斜面的压力大小为mg
D．若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，则球对挡板的压力可能为零

解析：选CD.若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，根据图象可知，FB先减小后增大，FA逐渐减小，根据牛顿第三定律可知，球对挡板的压力先减小后增大，球对斜面的压力逐渐减小，故选项A、B错误；球处于静止状态，受力平衡，对球进行受力分析，FA、FB以及G构成的三角形为等边三角形，根据几何关系可知，FA＝FB＝mg，故选项C正确；若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，当FA和重力G的合力正好提供加速度时，球对挡板的压力为零，故选项D正确．

2．如图所示，用OA、OB两根轻绳将物体悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平．现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳末端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°.设此过程中OA、OB的拉力分别为FOA、FOB，下列说法正确的是(　　)
A．FOA逐渐增大 B．FOA逐渐减小
C．FOB逐渐增大 D．FOB逐渐减小
解析：选B.以结点O为研究对象，受力如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出轻绳OB在两个位置时力的合成图如图，由图看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ＝90°时，FOB最小，选项B正确．

考点四　共点力平衡中的临界极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．
2．极值问题
物体平衡的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析．
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．

[典例6]　(2017·陕西宝鸡联考)如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小．
解析　(1)如图所1示，
对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝

(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图2所示，由平衡条件得
Fcos α＝mgsin α＋Ff

FN＝mgcos α＋Fsin α
Ff＝μFN
解得F＝
当cos α－μsin α＝0，即cot α＝时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°
答案　(1)　(2)60°

1．如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为(　　)
A．mg　 B．mg
C.mg D.mg


解析：选C.由题图可知，要想CD水平，各绳均应绷紧，则AC与水平方向的夹角为60°；结点C受力平衡，受力分析如图所示，则CD绳的拉力FT＝mgtan 30°＝mg；D点受绳子拉力大小等于FT，方向向左；要使CD水平，D点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的F1及另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小即为拉力的大小，故最小力F＝FTsin 60°＝mg，故C正确．
2．拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图所示)．设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g.某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.

(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切值tan θ0.
解析：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把，将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，由平衡条件得
Fcos θ＋mg－FN＝0①
Fsin θ－Ff＝0②
式中FN和Ff分别为地板对拖把的正压力和摩擦力，则
Ff＝μFN③
联立①②③式得F＝④
(2)使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力等于拖把与地板间的最大静摩擦力，设为Ffm，
则依题意有＝λ⑤
若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应满足
Fcos θ＋mg＝FN⑥
Fsin θ≤Ffm⑦
联立⑤⑥⑦式得F(sin θ－λcos θ)≤λmg⑧
因为λmg总是大于零，要使得F为任意值时上式总是成立，只要满足
sin θ－λcos θ≤0⑨
即有tan θ≤λ⑩
上式取等号即为临界状态，则tan θ0＝λ⑪
答案：(1)　(2)λ

课时规范训练
[基础巩固题组]
1．壁虎在竖直玻璃面上斜向上匀速爬行，关于它在此平面内的受力分析，下列图示中正确的是(　　)

解析：选A.壁虎在竖直玻璃面上斜向上匀速爬行，受力平衡，故受到的摩擦力一定和重力等大、反向，即方向竖直向上，A正确．
2．如图，一质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点．另一端系在滑块上．弹簧与斜面垂直，则(　　)

A．滑块不可能只受到三个力作用
B．弹簧不可能处于原长状态
C．斜面对滑块的支持力大小可能为零
D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于mg
解析：选D.弹簧与斜面垂直，则弹簧与竖直方向的夹角为30°，所以弹簧弹力的方向垂直于斜面，因为弹簧的形变情况未知，所以斜面与滑块之间的弹力大小不确定，所以滑块可能只受重力、斜面支持力和静摩擦力三个力的作用而平衡，此时弹簧弹力为零，处于原长状态，故选项A、B错误；假设斜面对滑块的支持力为零，则滑块只受重力和弹簧弹力，滑块不可能处于平衡状态，故滑块一定受支持力作用，故选项C错误；由于物块处于静止状态由受力分析知摩擦力与重力沿斜面向下的分力平衡，大小为mgsin 30°＝mg.故选项D正确．
3．“L”型木板P(上表面光滑)放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q相连，如图所示．若P、Q一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力．则木板P的受力个数为(　　)

A．3　　 B．4
C．5 D．6
解析：选C.P、Q一起沿斜面匀速下滑时，由于木板P上表面光滑，滑块Q受到重力、P的支持力和弹簧沿斜面向上的弹力，木板P受到重力、斜面的支持力、斜面的摩擦力、Q的压力和弹簧沿斜面向下的弹力，C正确．
4．如图所示，质量均为m的两个球A、B固定在杆的两端，将其放入光滑的半圆形碗中，杆的长度等于碗的半径，当杆与碗的竖直半径垂直时，两球刚好能平衡，则杆对小球的作用力为(　　)

A.mg B.mg
C.mg D．2mg
解析：选A.由已知条件知，球A、B间的杆一定水平，对A球受力分析，如图所示，由共点力的平衡知识可得，杆的作用力为F＝mgtan 30°＝mg，A正确．

5．(多选)如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上．现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动．在这一过程中，环对杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况是(　　)

A．Ff不变 B．Ff增大
C．FN减小 D．FN不变
解析：选BD.以结点O为研究对象进行受力分析，由题意可知，O点处于动态平衡，则可作出三力的平衡关系图如图甲所示，由图可知水平拉力增大．

以环和结点整体作为研究对象，对其受力分析如图乙所示，由整个系统平衡可知FN＝mg，Ff＝F，即Ff增大，FN不变，B、D正确．
6．如图所示，物块a、b的质量分别为2m、m，水平地面和竖直墙面均光滑，在水平推力F作用下，两物块均处于静止状态，则(　　)

A．物块b受四个力作用
B．物块b受到的摩擦力大小等于2mg
C．物块b对地面的压力大小等于mg
D．物块a受到物块b的作用力水平向右
解析：选B.对a分析，a受到竖直向下的重力，墙壁对a的支持力，b对a的弹力，要想保持静止，必须在竖直方向上受到b对a的向上的静摩擦力，故Ffba＝Ga＝2mg，B正确；对b分析，b受到竖直向下的重力，地面对b的竖直向上的支持力，a对b的竖直向下的静摩擦力，a对b的水平向左的弹力，以及推力F，共5个力作用，在竖直方向上有Gb＋Ffab＝FN，故FN＝3mg，即物块b对地面的压力大小等于3mg，A、C错误；物块a受到物块b的水平方向上的弹力和竖直方向上的摩擦力，合力方向不是水平向右，D错误．
7．半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN.在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止．如图所示是这个装置的纵截面图．若用外力先使MN保持竖直，然后缓慢地水平向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止．在此过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．MN对Q的弹力逐渐增大
B．Q所受的合力逐渐增大
C．P、Q间的弹力先减小后增大
D．地面对P的摩擦力逐渐减小
解析：选A.对圆柱体Q受力分析，受到重力、MN的支持力和P的支持力，如图甲所示，重力的大小和方向都不变，MN的支持力方向不变、大小改变，P的支持力方向和大小改变，然后根据平衡条件，得到FN1＝mgtan θ，FN2＝，由于θ不断增大，故FN1不断增大，FN2也不断增大，故选项A正确，C错误；对P、Q整体受力分析，受到总重力、MN的支持力FN1，地面的支持力FN3，地面的静摩擦力Ff，如图乙所示，根据共点力平衡条件有Ff＝FN1＝mgtan θ，由于θ不断增大，故Ff不断增大，故选项D错误；Q一直保持静止，所受合力为零，不变，故选项B错误．

[综合应用题组]
8．如图所示，竖直轻杆AB在细绳AC和水平拉力作用下处于平衡状态．若A C加长，使C点左移，AB仍保持平衡状态．细绳AC上的拉力FT和杆AB受到的压力FN与原先相比，下列说法正确的是(　　)

A．FT和FN都减小 B．FT和FN都增大
C．FT增大，FN减小 D．FT减小，FN增大
解析：选A.设细绳AC与地面的夹角为α，结点A受到三个力的作用，细绳AC的拉力FT、水平绳向右的拉力F(大小、方向均不变，等于所挂物体重力的大小mg)、轻杆AB对A点向上的弹力FN′，根据物体的平衡条件有：FT＝＝，FN′＝Ftan α＝mgtan α，因AC加长，C点左移，细绳AC与地面的夹角α减小，所以细绳AC的拉力FT、轻杆AB对A点向上的弹力FN′均减小．根据牛顿第三定律可知AB受到的压力FN与FN′是作用力与反作用力关系，故AB受到的压力FN减小，选项A正确．
9．(多选)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)

A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
解析：选BD.因为物块b始终保持静止，所以绳OO′的张力不变，连接a和b的绳的张力也不变，选项A、C错误；拉力F大小变化，F的水平分量和竖直分量都发生变化，由共点力的平衡条件知，物块b受到的支持力和摩擦力在一定范围内变化，选项B、D正确．
10．(多选)如图所示，质量分别为m1，m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面，m2在空中)，力F与水平方向成θ角．则m1所受支持力FN和摩擦力Ff正确的是(　　)

A．FN＝m1g＋m2g－Fsin θ
B．FN＝m1g＋m2g－Fcos θ
C．Ff＝Fcos θ
D．Ff＝Fsin θ
解析：选AC.以m1和m2整体为研究对象，受力情况如图所示，竖直方向有FN＋Fsin θ＝m1g＋m2g，解得FN＝m1g＋m2g－Fsin θ，选项A正确，选项B错误；水平方向有Ff＝Fcos θ，选项C正确、选项D错误．

11．(多选)如图所示，物体m通过定滑轮牵引另一水平面上的物体并沿斜面匀速下滑，此过程中斜面仍静止，斜面质量为M，则水平地面对斜面体(　　)

A．无摩擦力 　 B．有水平向右的摩擦力
C．支持力为(M＋m)g 　 D．支持力小于(M＋m)g
解析：选BD.设斜面夹角为θ，细绳的拉力为FT，M、m整体处于平衡状态，对M、m整体受力分析可得平衡方程FTcos θ＝Ff静，FTsin θ＋FN＝(M＋m)g，故Ff静方向水平向右，B、D正确．
12．如图所示，物块A和滑环B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，滑环B套在与竖直方向成θ＝37°的粗细均匀的固定杆上，连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖直平面内，滑环B恰好不能下滑，滑环和杆间的动摩擦因数μ＝0.4，设滑环和杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物块A和滑环B的质量之比为(　　)

A. B.
C. D.
解析：选C.设物块A和滑环B的质量分别为m1、m2，若杆对B的弹力垂直于杆向下，因滑环B恰好不能下滑，则由平衡条件有m2gcos θ＝μ(m1g－m2gsin θ)，解得＝；若杆对B的弹力垂直于杆向上，因滑环B恰好不能下滑，则由平衡条件有m2gcos θ＝μ(m2gsin θ－m1g)，解得＝－(舍去)．综上分析可知应选C.
13．如图甲所示，一物块放在粗糙斜面上，在平行斜面向上的外力F作用下斜面和物块始终处于静止状态，当F按图乙所示规律变化时，物块与斜面间的摩擦力大小变化规律可能是图中的(　　)


解析：选D.依题意，若静摩擦力的方向沿着斜面向上，则有F＋Ff＝mgsin θ，在力F减小的过程中，Ff增大，直到力F减小到零时Ff恒定，D正确；若静摩擦力的方向沿着斜面向下，则有F＝Ff＋mgsin θ，在力F减小的过程中，Ff先减小到零，然后反向增大到mgsin θ恒定，无选项对应．
14．如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为(　　)

A.　　　　　 B．m
C．m D．2m
解析：选C.如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等，且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心．由于a、b间距等于圆弧半径，则∠aOb＝60°，进一步分析知，细线与aO、bO间的夹角皆为30°.取悬挂的小物块研究，悬挂小物块的细线张角为120°，由平衡条件知，小物块的质量与小球的质量相等，即为m.故选项C正确．

实验二　探究弹力和弹簧伸长的关系

一、实验目的
1．探究弹力和弹簧伸长量的关系．
2．学会利用图象法处理实验数据，探究物理规律．
二、实验原理
1．如图所示，弹簧在下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等．

2．用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x、F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与伸长量间的关系．
三、实验器材
铁架台、弹簧、毫米刻度尺、钩码若干、三角板、坐标纸、重锤线．
四、实验步骤
1．将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然伸长状态时的长度l0，即原长．
2．如图所示，在弹簧下端挂质量为m1的钩码，测出此时弹簧的长度l1，记录m1和l1，填入自己设计的表格中．

3．改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录m2、m3、m4、m5和相应的弹簧长度l2、l3、l4、l5，并得出每次弹簧的伸长量x1、x2、x3、x4、x5.
钩码个数
长度
伸长量x
钩码质量m
弹力F
0
l0＝



1
l1＝
x1＝l1－l0
m1＝
F1＝
2
l2＝
x2＝l2－l0
m2＝
F2＝
3
l3＝
x3＝l3－l0
m3＝
F3＝
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
五、数据处理
1．以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图．连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线．
2．以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数，并解释函数表达式中常数的物理意义．
六、误差分析
1．钩码标值不准确造成系统误差．
2．弹簧长度的测量和作图时造成偶然误差．
七、注意事项
1．所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度，要注意观察，适可而止．
2．每次所挂钩码的质量差适当大一些，从而使坐标点的间距尽可能大，这样作出的图线准确度更高一些．
3．测弹簧长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于稳定状态时测量，以免增大误差．
4．描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使不在直线上的点均匀分布在直线的两侧．
5．记录实验数据时要注意弹力、弹簧的原长l0、总长l及弹簧伸长量的对应关系及单位．
6．坐标轴的标度要适中.

考点一　实验原理及操作
[典例1]　某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验．
(1)图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为7.73 cm；图乙是在弹簧下端悬挂钩码后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量Δl为________ cm.

(2)本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项中规范的做法是________(填选项前的字母)．
A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码的总重
B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
(3)图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量Δl与弹力F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是________________．
解析　(1)由图乙可知，弹簧长度为14.66 cm，因此弹簧伸长量为Δl＝14.66 cm－7.73 cm＝6.93 cm.
(2)规范的做法是逐一增挂钩码，记录每增加一只钩码标尺的刻度值和对应的钩码质量，这样规律增加钩码容易探究弹力与伸长量的关系，而且不会一开始就超过弹簧弹性限度，才能继续后面的实验，如果随意增加钩码，可能会造成开始就超过弹簧弹性限度，使后面实验无法进行．
(3)超过弹簧的弹性限度时，弹簧弹力与伸长量不再成正比关系，会造成图线偏离直线OA的现象．
答案　(1)6.93(6.92～6.94均正确)　
(2)A　(3)超过弹簧的弹性限度
考点二　数据处理及误差分析
[典例2]　某实验小组做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”实验，实验时，先把弹簧平放在桌面上，用直尺测出弹簧的原长L0＝4.6 cm，再把弹簧竖直悬挂起来，在下端挂钩码，每增加一只钩码均记下对应的弹簧长度x，数据记录如下表所示.
钩码个数
1
2
3
4
5
弹力F/N
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
弹簧的长度x/cm
7.0
9.0
11.0
13.0
15.0
(1)根据表中数据作出F－x图线；

(2)由此图线可得，该弹簧劲度系数k＝________N/m.
(3)图线与x轴的交点坐标大于L0的原因是_____________.
解析　(1)根据表中数据描点并作图，如图所示．

(2)根据图线的斜率可确定弹簧的劲度系数．
k＝＝×102 N/m＝50 N/m
(3)由题意知，测弹簧的原长L0时，弹簧是平放在桌面上的．当弹簧竖直悬挂时，由于弹簧自身重力的影响，即使不挂钩码，弹簧也会伸长一小段，所以图线与x轴的交点坐标大于L0.
答案　(1)见解析　(2)50　(3)未考虑弹簧自身重力的影响
考点三　实验改进　拓展创新
以本实验为背景，通过改变实验条件、实验仪器设置题目，不脱离教材而又不拘泥于教材，体现开放性、探究性等特点．
1．实验器材的改进
弹簧的弹力直接由力传感器测得，数据处理由计算机处理．

2．实验的拓展延伸
将弹簧水平放置或穿过一根水平光滑的直杆，在水平方向上做实验，消除了弹簧自重的影响．

[典例3]　在“探究弹力和弹簧伸长量的关系并测定弹簧的劲度系数”实验中，实验装置如图甲所示．右侧挂上钩码，相当于对弹簧提供了向右恒定的拉力．实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出相应的弹簧总长度L.

(1)有一个同学通过以上实验测量后把6组数据在坐标纸中描点，如图乙所示．请作出F－L图线．
(2)由此图线可得出该弹簧的原长L0＝________ cm，劲度系数k＝________ N/m.
(3)试根据以上该同学的实验情况，帮助他设计一个记录实验数据的表格(不必填写其实验测得的具体数据)．
(4)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，优点在于：__________________________________；
缺点在于：______________________________.
解析　(1)用平滑的曲线将各点连接起来(舍去偏离较大的点)，如图所示．

(2)弹簧的原长L0即为弹力为零时弹簧的长度，由图象可知，L0＝5×10－2 m＝5 cm.
劲度系数为图象直线部分的斜率，k＝20 N/m.
(3)记录数据的表格如下：
次数
1
2
3
4
5
6
弹力F/N






弹簧的长度L/(×10－2m)






弹簧的伸长量x/(×10－2m)






(4)优点是：避免弹簧自身所受重力对实验的影响．
缺点是：弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成的实验误差增大．
答案　(1)见解析　(2)5　20　(3)见解析　(4)避免弹簧自身所受重力对实验的影响　弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成的实验误差增大

1．(多选)如图甲所示，一个弹簧一端固定在传感器上，传感器与电脑相连．当对弹簧施加变化的作用力(拉力或压力)时，在电脑上得到了弹簧形变量与弹簧产生的弹力大小的关系图象，如图乙所示．则下列判断正确的是(　　)

A．弹簧产生的弹力和弹簧的长度成正比
B．弹簧长度的增加量与对应的弹力增加量成正比
C．该弹簧的劲度系数是200 N/m
D．该弹簧受到反向压力时，劲度系数不变
解析：选BCD.由题图知，F­x是一条过原点的直线，k＝ N/m＝200 N/m，可知A错误，B、C、D正确．
2．在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，某同学把两根弹簧如图甲连接起来进行探究．

钩码数
1
2
3
4
LA/cm
15.71
19.71
23.66
27.76
LB/cm
29.96
35.76
41.51
47.36
(1)某次测量如图乙所示，指针示数为________cm.
(2)在弹性限度内，将50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、B的示数LA和LB如表．用表中数据计算弹簧Ⅰ的劲度系数为________N/m(重力加速度g＝10 m/s2)．由表数据________(填“能”或“不能”)计算出弹簧Ⅱ的劲度系数．
解析：(1)刻度尺分度值为1毫米，读数应估读到毫米下一位，故指针的示数为16.00 cm.
(2)当A弹簧的弹力为FA1＝0.50 N、FA2＝1.00 N、FA3＝1.50 N、FA4＝2.00 N时，弹簧长度LA1＝15.71 cm、LA2＝19.71 cm、LA3＝23.66 cm、LA4＝27.76 cm，根据ΔF＝kΔx得k1＝12.50 N/m、k2＝12.66 N/m、k3＝12.20 N/m，所以弹簧Ⅰ的劲度系数k＝＝12.45 N/m.根据表可以计算出弹簧Ⅱ每次的伸长量Δx′，也可以根据ΔF＝k′Δx′计算弹簧Ⅱ的劲度系数(劲度系数的计算也可以通过作F­x图象处理，图象的斜率即等于弹簧的劲度系数)．
答案：(1)16.00(有效数字位数正确，15.96～16.05均可)
(2)12.45(12.20～12.80均可)　
能高效演练　跟踪检测
1．为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的砝码．实验测出了砝码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出(g取9.8 m/s2)

(1)作出m－l的关系图线；
(2)弹簧的劲度系数为________ N/m.
解析：(1)应使尽量多的点在同一条直线上．
(2)由胡克定律F＝kx，得k＝，即图线的斜率表示弹簧的劲度系数，由图象得k＝0.258.
答案：(1)如图所示

(2)0.258(0.248～0.262)
2．如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系．

(1)为完成实验，还需要的实验器材有；________.
(2)实验中需要测量的物理量有：___________________________.
(3)图乙是弹簧弹力F与弹簧伸长量x的F­x图线，由此可求出弹簧的劲度系数为________ N/m.图线不过原点是由于_________________________．
(4)为完成该实验，设计的实验步骤如下：
A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来；
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0；
C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺；
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个…钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码；
E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与伸长量的关系式．首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数；
F．解释函数表达式中常数的物理意义；
G．整理仪器．
请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：________.
解析：(1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和形变量．
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或弹簧长度)．
(3)取图象中(0.5,0)和(3.5,6)两个点，代入F＝kx可得k＝200 N/m，由于弹簧自重的原因，使得弹簧不加外力时就有形变量．
(4)根据完成实验的合理性可知，先后顺序为CBDAEFG.
答案：(1)刻度尺　(2)弹簧原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长度)　(3)200　弹簧自重　(4)CBDAEFG
3．某同学探究弹力与弹簧伸长量的关系．
(1)将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧，弹簧轴线和刻度尺都应在________方向(填“水平”或“竖直”)．
(2)弹簧自然悬挂，待弹簧________时，长度记为L0；弹簧下端挂上砝码盘时，长度记为Lx；在砝码盘中每次增加10 g砝码，弹簧长度依次记为L1至L6，数据如下表：
代表符号
L0
Lx
L1
L2
L3
L4
L5
L6
数值(cm)
25.35
27.35
29.35
31.30
33.4
35.35
37.40
39.30
表中有一个数值记录不规范，代表符号为________．由表可知所用刻度尺的最小分度为________．
(3)如图是该同学根据表中数据作的图，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与________的差值(填“L0”或“Lx”)．

(4)由图可知弹簧的劲度系数为________ N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为________ g(保留两位有效数字，重力加速度取9.8 m/s2)．
解析：(1)弹簧的轴线必须沿重力方向，所以应沿竖直方向．
(2)由于表中测量值已经估读到0.1 mm，所以刻度尺的最小刻度应是1 mm.
(3)因为m0g＝k(Lx－L0)，nmg＋m0g＝k(Ln－L0)，整理得nmg＝k(Ln－Lx)，所以横轴应为弹簧长度与Lx的差值．
(4)从上式可以看出图象的斜率表示k的大小，即k＝＝4.9 N/m，m0＝＝1.0×10－2 kg＝10 g.
答案：(1)竖直　(2)静止　L3　1 mm　(3)Lx
(4)4.9　10
4．某同学利用如图甲所示装置做“探究弹簧弹力大小与其长度的关系”的实验．
(1)在安装刻度尺时，必须使刻度尺保持________状态(填“水平”或“竖直”)．
(2)他通过实验得到如图乙所示的弹力大小F与弹簧长度x的关系图线．由此图线可得该弹簧的原长x0＝________cm，劲度系数k＝________ N/m.

(3)他又利用本实验原理把该弹簧做成一把弹簧秤，当弹簧秤上的示数如图丙所示时，该弹簧的长度x＝________ cm.
解析：(1)刻度尺应保持竖直状态以保障与弹簧轴线平行．
(2)图线在横轴上的截距等于弹簧的原长x0＝4.00 cm，图线斜率等于弹簧的劲度系数k＝50 N/m.
(3)把该弹簧做成一把弹簧秤，当弹簧秤上的示数为3.0 N时，弹簧伸长量Δx＝6 cm.此时弹簧的长度x＝x0＋Δx＝10 cm.
答案：(1)竖直　(2)4.00　50　(3)10

5．为了探究弹力F和弹簧伸长x的关系，某同学选了甲、乙两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图所示图象．
(1)从图象上看，该同学没能完全按照实验要求做，从而使图象上端成为曲线，图象上端成为曲线是因为________________．
(2)甲、乙弹簧的劲度系数分别为________ N/m和________ N/m(保留三位有效数字)；若要制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧________(填“甲”或“乙”)．
(3)从上述数据和图线中分析，请对这个研究课题提出一个有价值的建议．
建议：_______________________.
解析：(1)在弹性限度内弹簧的弹力与形变量成正比，超过弹簧的弹性限度，则此规律不成立，所以所给的图象上端为曲线，是因为弹簧形变量超过其弹性限度．
(2)甲、乙两根弹簧的劲度系数分别为
k甲＝＝ N/m≈66.7 N/m
k乙＝＝ N/m＝200 N/m
要制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选用在一定的外力作用时，弹簧的形变量大的弹簧，故选甲弹簧．
(3)建议：实验中钩码不能挂太多，以保证弹簧在弹性限度内．
答案：(1)弹簧形变量超过其弹性限度　(2)66.7　200　甲　(3)见解析
实验三　验证力的平行四边形定则

一、实验目的
1．验证力的平行四边形定则．
2．培养学生应用作图法处理实验数据和得出结论的能力．
二、实验原理
等效思想：一个力F′的作用效果和两个力F1、F2的共同作用效果都是让同一条一端固定的橡皮条伸长到同一点，所以力F′就是这两个力F1和F2的合力．作出力F′的图示，与根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F的图示比较，在实验误差允许的范围内，F′和F大小相等、方向相同．
三、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两个)、橡皮条、细绳套(两个)、三角板、刻度尺、图钉(多个)、铅笔．
四、实验步骤
1．仪器安装
(1)用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上．
(2)用图钉把橡皮条的一端固定在A点，如图所示，橡皮条的另一端拴上两个细绳套．

2．测量与记录
(1)用两只弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条与绳的结点伸长到某一位置O.记录两弹簧测力计的读数F1、F2，用铅笔描下O点的位置及此时两细绳的方向．
(2)只用一只弹簧测力计通过细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O.记下弹簧测力计的读数F′和细绳套的方向．
(3)改变两弹簧测力计拉力的大小和方向，再重做两次实验．
五、数据处理
1．用铅笔和刻度尺从力的作用点(位置O)沿着两绳套的方向画直线，按选定的标度作这两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，利用刻度尺和三角板以F1和F2为邻边作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，即为合力F的图示．
2．用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出实验步骤中弹簧测力计的拉力F′的图示．
3．比较F与F′是否完全重合或几乎完全重合，从而验证平行四边形定则．
六、误差分析

七、注意事项
1．位置不变：在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要相同．
2．角度合适：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°～100°之间为宜．
3．尽量减少误差
(1)在合力不超出量程及在橡皮条弹性限度内形变应尽量大一些．
(2)细绳套应适当长一些，便于确定力的方向．
4．统一标度：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些.

考点一　实验原理及操作
[典例1]　某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB与OC为细绳．图乙是在白纸上根据实验结果画出的图．

(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________．
(2)本实验采用的科学方法是________．
A．理想实验法　 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O.记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；
E．只用一只弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出F′的图示；
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论．
上述步骤中：
①有重要遗漏的步骤的序号是________和________；
②遗漏的内容分别是_________和________________．
解析　(1)由一个弹簧测力计拉橡皮条至O点的拉力一定沿AO方向；而根据平行四边形定则作出的合力，由于误差的存在，不一定沿AO方向，故一定沿AO方向的是F′.
(2)一个力的作用效果与两个力的作用效果相同，它们的作用效果可以等效替代，故B正确．
(3)①根据“验证力的平行四边形定则”实验的操作规程可知，有重要遗漏的步骤的序号是C、E.
②在C中未记下两条细绳的方向，E中未说明是否把橡皮条的结点拉到同一位置O.
答案　(1)F′　(2)B　(3)①C　E　②C中应加上“记下两条细绳的方向”　E中应说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O”
考点二　数据处理及误差分析
[典例2]　将橡皮条的一端固定在A点，另一端拴上两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为5 N、最小刻度为0.1 N的弹簧测力计，沿着两个不同的方向拉弹簧测力计，当橡皮条的活动端拉到O点时，两根细绳相互垂直，如图甲所示．这时弹簧测力计的读数可从图中读出．

(1)由图甲可读得两个相互垂直的拉力的大小分别为________ N和________ N.
(2)在如图乙所示的方格纸上按作图法的要求画出这两个力及它们的合力．
(3)图丙中a、b两图是两位同学得到的实验结果，其中哪一个图符合实际？若合力测量值F′是准确的，则F与F′有误差的原因可能是哪些？
解析　(1)弹簧测力计的最小刻度为0.1 N，读数时应估读一位，所以读数分别为2.50 N和4.00 N.

(2)取一个小方格的边长表示0.50 N，作出两个力及它们的合力如图所示．
(3)F′是用一个测力计拉橡皮条所得到的，其方向一定在橡皮条所在直线上，所以b图符合实际．产生误差的原因主要是弹簧测力计读数偏差，确定分力方向不够准确等．
答案　(1)2.50　4.00(或4.00　2.50)　(2)见解析图　(3)b图 　误差原因见解析
考点三　实验改进　拓展创新
以本实验为背景，以实验中操作的注意事项、误差来源设置条件，或通过改变实验条件、实验仪器设置题目．
1．考查对实验原理的理解、实验方法的迁移
2．实验器材的改进
(1)橡皮条弹簧测力计
(2)钩码弹簧测力计

[典例3]　某同学找到一条遵循胡克定律的橡皮条来验证力的平行四边形定则，设计了如下实验：

(1)将橡皮条的两端分别与两条细线相连，测出橡皮条的原长；
(2)将橡皮条一端用细线固定在竖直板上的M点，在橡皮条的中点O再用细线系一重物，重物自然下垂，如图甲所示；
(3)将橡皮条另一端用细线固定在竖直板上的N点，如图乙所示．
为完成实验，下述操作中必须的是________(填正确答案标号)．
A．橡皮条两端连接的细线长度必须相同
B．要测量图甲中橡皮条Oa和图乙中橡皮条Oa、Ob的长度
C．M、N两点必须在同一高度处
D．要记录图甲中O点的位置及过O点的竖直方向
E．要记录图乙中结点O的位置、过结点O的竖直方向及橡皮条Oa、Ob的方向
解析　由于橡皮条的弹力大小与形变量成正比，故可以用橡皮条的形变量等效替代弹力大小来作平行四边形进行实验验证，与连接橡皮条的细线长度无关，故本题需要测量橡皮条的原长以及被重物拉伸后的长度，选项A错误，B正确；题图甲、乙中重物最终受力平衡，验证的依据为共点力的平衡，物体的平衡与否与M、N两点是否在同一高度无关，选项C错误；题图甲中的O点位置并不需要记录，受力平衡时橡皮条的拉力一定在竖直方向，需要记录的是橡皮条被拉伸后的长度及橡皮条的原长，选项D错误；对题图乙需要作出MO与NO的合力大小和方向与实际合力进行对比，故需要记录过结点O的竖直方向及橡皮条Oa、Ob的方向，选项E正确．
答案　BE

1．有同学利用如图所示的装置来验证力的平行四边形定则：在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力F1、F2和F3，回答下列问题：

(1)改变钩码个数，实验能完成的是____(填正确答案标号)．
A．钩码的个数N1＝N2＝2，N3＝4
B．钩码的个数N1＝N3＝3，N2＝4
C．钩码的个数N1＝N2＝N3＝4
D．钩码的个数N1＝3，N2＝4，N3＝5
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是________(填正确答案标号)．
A．标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向
B．量出OA、OB、OC三段绳子的长度
C．用量角器量出三段绳子之间的夹角
D．用天平测出钩码的质量
(3)在作图时，你认为下图中________是正确的．(填“甲”或“乙”)

解析：(1)实验中的分力与合力的关系必须满足：|F1－F2|≤F3≤F1＋F2，因此B、C、D选项是可以的．
(3)实验中F3是竖直向下的．
答案：(1)BCD　(2)A　(3)甲
2．(2017·湖北武汉模拟)在“验证力的平行四边形定则”实验中：
(1)部分实验步骤如下，请完成有关内容：
A．将一根橡皮条的一端固定在贴有白纸的竖直平整木板上，另一端绑上两根细线；
B．在其中一根细线上挂上5个质量相等的钩码，使橡皮条拉伸，如图甲所示，记录：________、________、________；

C．将步骤B中的钩码取下，分别在两根细线上挂上4个和3个质量相等的钩码，用两光滑硬棒B、C使两细线互成角度，如图乙所示，小心调整B、C的位置，使___________________，
记录________________．
(2)如果力的平行四边形定则得到验证，那么图乙中＝________.
解析：(1)验证力的平行四边形定则时，用一根细线拉橡皮条的力和用两根细线拉橡皮条的力效果相同，故两次拉橡皮条必须使橡皮条伸长到同一位置，因此需要记录的有，B步骤：钩码个数(或细线拉力大小)、橡皮条与细线的结点位置O、细线的方向(能反映细线方向的其他记录也可以)．C步骤：橡皮条与细线结点的位置与步骤B中结点位置重合，并记录钩码个数和对应的细线方向．
(2)水平方向有4mgcos α＝3mgcos β
解得＝
答案：(1)细线的方向　结点的位置O　钩码个数　结点位置与步骤B中结点位置重合　钩码个数和对应的细线方向　(2)
高效演练　跟踪检测
1．(多选)在“探究求合力的方法”的实验中，下列说法正确的是(　　)
A．用三个已校好的弹簧测力计才能完成此实验
B．用两个校好的弹簧测力计就可以完成此实验
C．用一个校好的弹簧测力计也能完成此实验
D．实验中弹簧测力计的外壳与纸面间的摩擦将会影响实验的结果
解析：选BC.由实验原理可知，当需要用两个弹簧测力计同时拉橡皮条时，在确定结点O及两个分力的方向的情况下，可以用一个弹簧测力计先拉一侧，另一侧直接用细绳拉，先确定一个分力的大小，然后用同样的方法再确定另外一个分力的大小，B、C正确，A错误：探究求合力的方法实验不要求数据处理，D错误．
2．(多选)在做“互成角度的两个力的合成”实验时，橡皮条的一端固定在木板上，用两个弹簧测力计把橡皮条的另一端拉到某一确定的O点，以下操作中错误的是(　　)
A．同一次实验过程中，O点位置允许变动
B．实验中，弹簧测力计必须与木板平行，读数时视线要正对弹簧测力计刻度
C．实验中，先将其中一个弹簧测力计沿某一方向拉到最大量程，然后只需调节另一弹簧测力计拉力的大小和方向，把橡皮条另一端拉到O点
D．实验中，把橡皮条的另一端拉到O点时，两弹簧测力计之间夹角应取90°，以便于算出合力的大小
解析：选ACD.从橡皮条固定点到O点的连线方向，是合力的作用线方向，如果O点变动，那么合力的方向会变化，就不能验证力的平行四边形定则，A错误；C选项中，因一个弹簧测力计已拉到最大量程，再通过另一个弹簧测力计拉橡皮条到O点时，第一个弹簧测力计可能超过最大量程，造成损坏，或读数不准，C错误；互成角度的两个力是利用平行四边形定则合成的，两个分力成任意角度都适用，不必成90°角，D错误．
3．某同学在做“互成角度的两个力的合成”的实验时，利用坐标纸记下了橡皮条的结点位置O点以及两只弹簧测力计拉力的大小和方向，如图所示：

(1)试在图中作出无实验误差情况下F1和F2的合力图示，并用F表示此力．
(2)(多选)有关此实验，下列叙述正确的是(　　)
A．两弹簧测力计的拉力可以同时比橡皮条的拉力大
B．橡皮条的拉力是合力，两弹簧测力计的拉力是分力
C．两次拉橡皮条时，需将橡皮条结点拉到同一位置O，这样做的目的是保证两次弹簧测力计拉力的效果相同
D．若只增大某一只弹簧测力计的拉力大小而要保证橡皮条结点位置不变，只需调整另一只弹簧测力计拉力的大小即可
(3)如图所示是甲和乙两位同学在做以上实验时得到的结果，其中哪一个比较符合实验事实(力F′是用一只弹簧测力计拉时的图示)?

答：________________________________________________.
(4)在以上比较符合实验事实的实验中，造成误差的主要原因是(至少写出两种情况)：
答：________________________________________________
________________________________________________.
解析：(1)以F1、F2为邻边作平行四边形，其对角线OF即为所求的合力(如图所示)．

(2)两只弹簧测力计的拉力与橡皮条的拉力的合力为零，它们之间不是合力与分力的关系，B错误；结点位置不变，合力不变，当一只弹簧测力计的拉力大小改变时，另一只弹簧测力计的拉力的大小和方向必须都改变，D错误；正确的选项只有A、C.
(3)用平行四边形定则求出的合力可以与橡皮条拉力的方向有偏差，但用一只弹簧测力计拉结点的拉力与橡皮条拉力一定在同一直线上，故甲同学实验得到的结果符合实验事实．
(4)①F1的方向比真实方向偏左；②F2的大小比真实值偏小且方向比真实方向偏左；③作图时两虚线没有分别与F1线和F2线平行．(任选其二，合理即正确)
答案：(1)见解析图　(2)AC　(3)甲同学实验得到的结果　(4)见解析
4．“探究求合力的方法”的实验装置如图甲所示．

(1)某次实验中，弹簧测力计的指针位置如图甲所示．其中，细绳CO对O点的拉力大小为________ N；
(2)请将图甲中细绳CO和BO对O点两拉力的合力F合画在图乙上．由图求出合力的大小F合＝________N(保留两位有效数字)；
(3)某同学对弹簧测力计中弹簧的劲度系数是多少很感兴趣，于是，他将刻度尺与弹簧测力计平行放置，如图丙所示，利用读得的数据，他得出了弹簧的劲度系数．那么，该弹簧的劲度系数k＝________ N/m(保留两位有效数字)．
解析：(1)由图甲可读出CO对O点的拉力大小为2.60 N.
(2)在图乙上的画图如图所示，结合作图可求知合力大小为5.1 N.

(3)由图丙可知，弹簧测力计0刻度线对应5.0 mm,2.60 N对应48.0 mm，由胡克定律，F＝kx，解得k＝F/x＝60 N/m.
答案：(1)2.60　(2)见解析图　5.1　(3)60
5．在“验证力的平行四边形定则”实验中
(1)其中两个实验步骤分别是
A．在水平放置的方木板上固定一张白纸，用图钉把橡皮条的一端固定在方木板上，另一端拴上两个细绳套，通过细绳套同时用两个弹簧测力计(弹簧测力计与方木板平面平行)互成角度地拉橡皮条，使它与细绳的结点到达某一位置O点，在白纸上用铅笔记下O点的位置并读出两个弹簧测力计的示数F1和F2.
B．只用一只弹簧测力计，通过细绳拉橡皮条，使它的伸长量与两个弹簧测力计拉时相同，读出此时弹簧测力计的示数F′并记下细绳的方向．
请指出以上步骤中的错误或疏漏：A中是________；B中是________．
(2)在某次实验中，两个弹簧测力计的拉力F1、F2已在图中画出，图中的方格的边长表示为2 N，O点是橡皮条的结点，请用两个直角三角板严格作出合力F的图示，并求出合力的大小为________ N.

解析：(1)A是出现疏漏，忘记记下此时两细绳套的方向．B是操作错误，当只用一只弹簧测力计拉时，应使结点拉到同样的位置O，并记下弹簧测力计的读数和细绳的方向．

(2)合力F的图示如图所示，由图可知F＝ N＝10 N.
答案：(1)未记下两条细绳的方向　应将橡皮条与细绳的结点拉到原来的位置O点　(2)10
6．某同学通过下述实验验证力的平行四边形定则．
实验步骤：
①将弹簧秤固定在贴有白纸的竖直木板上，使其轴线沿竖直方向．

②如图甲所示，将环形橡皮条一端挂在弹簧秤的秤钩上，另一端用圆珠笔尖竖直向下拉，直到弹簧秤示数为某一设定值时，将橡皮条两端的位置标记为O1、O2，记录弹簧秤的示数F，测量并记录O1、O2间的距离(即橡皮条的长度l)．每次将弹簧秤示数改变0.50 N，测出所对应的l，部分数据如下表所示：
F(N)
0
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
l(cm)
l0
10.97
12.02
13.00
13.98
15.05
③找出②中F＝2.50 N时橡皮条两端的位置，重新标记为O、O′，橡皮条的拉力记为FOO′.
④在秤钩上涂抹少许润滑油，将橡皮条搭在秤钩上，如图乙所示．用两圆珠笔尖成适当角度同时拉橡皮条的两端，使秤钩的下端达到O点，将两笔尖的位置标记为A、B，橡皮条OA段的拉力记为FOA，OB段的拉力记为FOB.
完成下列作图和填空：
(1)利用表中数据在图丙给出的坐标纸上画出F－l图线，根据图线求得l0＝________ cm.
(2)测得OA＝6.00 cm，OB＝7.60 cm，则FOA的大小为________ N.
(3)根据给出的标度，在图丁中作出FOA和FOB的合力F′的图示．
(4)通过比较F′与________的大小和方向，即可得出实验结论．

解析　(1)作出F－l图象，根据表格数据可知，力F为零时，l读数即为l0，由图1可得读数为10.0 cm.
(2)由图1可求得图象斜率即橡皮条的劲度系数k＝50 N/m，根据OA、OB长度可求橡皮条中的弹力F＝kΔl＝50×(6.00＋7.60－10.0)×10－2 N＝1.8 N，即FOA＝F＝1.8 N.

(3)如图2所示．
(4)在两个力和一个力作用效果相同的情况下，由平行四边形求得的力F′和一个力FOO′作用时比较，即可验证平行四边形定则．
答案　(1)如解析图1所示　10.0(9.8、9.9、10.1均正确)
(2)1.80(1.70～1.90均正确)
(3)如解析图2所示　(4)FOO′
章末检测二　相互作用
(时间：60分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分，1～5题每小题只有一个选项正确，6～8小题有多个选项符合题目要求，全选对得6分，选对但不全得3分，有选错的得0分)
1．两个质量为m1的小球套在竖直放置的光滑支架上，支架的夹角为120°，如图所示，用轻绳将两球与质量为m2的小球连接，绳与杆构成一个菱形，则m1∶m2为(　　)

A．1∶1　 B．1∶2
C．1∶ D.∶2
解析：选A.设轻绳中的拉力为F，隔离m1受力分析，由平衡条件得m1gcos 60°＝Fcos 60°，解得F＝m1g；隔离m2受力分析，由平衡条件得2Fcos 60°＝m2g，所以 m1∶m2＝1∶1，A正确．
2．如图所示，在高度不同的两水平台阶上放有质量分别为m1、m2的两物体，物体间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向夹角为θ.在m1左端施加水平拉力F，使m1、m2均处于静止状态，已知m1表面光滑，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)

A．弹簧弹力的大小为
B．地面对m2的摩擦力大小为F
C．地面对m2的支持力可能为零
D．m1与m2一定相等
解析：选B.对整体受力分析可知，整体受重力、支持力、拉力，要使整体处于平衡，则水平方向一定有向右的摩擦力作用在m2上，且大小与F相同，故B正确；因m2与地面间有摩擦力，则一定有支持力，故C错误；对m1受力分析可知，弹力水平方向的分力应等于F，故弹力为，因竖直方向上的受力不明确，无法确定两物体的质量关系，也无法求出弹簧弹力与重力的关系，故A、D错误．
3．在水平地面上固定一个上表面光滑的斜面体，在它上面放有质量为m的木块，用一根平行于斜面的细线连接一个轻环，并将轻环套在一根两端固定、粗糙的水平直杆上，整个系统处于静止状态，如图所示，则杆对环的摩擦力大小为(　　)

A．mgsin θ B．mgcos θ
C．mgtan θ D．mgsin θcos θ
解析：选D.设细线的弹力为F，对斜面上的物块由共点力平衡条件有F－mgsin θ＝0，对轻环由共点力平衡条件有Fcos θ－Ff＝0，解得杆对环的摩擦力大小为Ff＝mgsin θcos θ.
4．一轻绳一端系在竖直墙M上，另一端系一质量为m的物体A，用一轻质光滑圆环O穿过轻绳，并用力F拉住轻环上一点，如图所示．现使物体A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置．则在这一过程中，力F、绳中张力FT及力F与水平方向夹角θ的变化情况是(　　)

A．F保持不变，FT逐渐增大，夹角θ逐渐减小
B．F逐渐增大，FT保持不变，夹角θ逐渐增大
C．F逐渐减小，FT保持不变，夹角θ逐渐减小
D．F保持不变，FT逐渐减小，夹角θ逐渐增大
解析：选C.圆环受到三个力，拉力F以及绳子的两个拉力FT，三力平衡，故绳子两个拉力的合力与拉力F始终等值、反向、共线，由于绳子的拉力等于mg，夹角越大，合力越小，且合力在角平分线上，故拉力F逐渐变小，由于始终与两细线拉力的合力反向，故拉力F逐渐趋向水平，θ逐渐变小，选项C正确．
5．如图所示，吊环运动员将吊绳与竖直方向分开相同的角度，重力大小为G的运动员静止时，左边绳子张力为T1，右边绳子张力为T2.则下列说法正确的是(　　)

A．T1和T2是一对作用力与反作用力
B．吊绳与竖直方向的夹角减小时，T1和T2都会变小
C．T2一定大于G
D．T1＋T2＝G
解析：选B.作用力与反作用力必须作用在不同的物体上，T1和T2作用在同一个物体上，A错误；吊绳与竖直方向的夹角减小时，T1和T2夹角变小，T1和T2都会变小，B正确；当T1和T2的夹角为120°时，T2等于G，当夹角大于120°时，T2大于G，当夹角小于120°时，T2小于G，故C、D均错误．
6．如图所示，手推车的篮子里装有一篮球，女孩把手推车沿斜面向上匀速推动，篮子的底面平行于斜面，靠近女孩的一侧面垂直于底面，下列说法正确的有(不计摩擦力)(　　)

A．篮子底面受到的压力大于篮球的重力
B．篮子底面受到的压力小于篮球的重力
C．篮子右侧面受到的压力大于篮球的重力
D．篮子右侧面受到的压力小于篮球的重力
解析：选BD.设斜面倾角为θ，篮球质量为m，篮子底面、右侧面对篮球的弹力分别为FN1、FN2，不计摩擦力，对篮球由共点力平衡条件有FN1－mgcos θ＝0，FN2－mgsin θ＝0.由牛顿第三定律可知，篮球对篮子底面、右侧面的压力均小于重力．选项A、C错误，B、D正确．
7．如图所示，物体A、B用细绳与弹簧连接后跨过滑轮．A静止在倾角为45°的粗糙斜面上，B悬挂着．已知mA＝3mB，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角由45°减小到30°，B不会碰到地面，则(　　)

A．弹簧的弹力不变
B．物体A对斜面的压力将减小
C．物体A受到的静摩擦力将减小
D．弹簧的弹力及A受到的静摩擦力都不变
解析：选AC.对物体A受力分析如图所示，设此时FfA沿斜面向上，由平衡条件可得：mAgsin 45°＝F＋FfA，可得FfA＝mBg，当斜面倾角为30°时，可得FfA′＝mBg＝mBg.可见，物体A受到的静摩擦力方向沿斜面向上，且变小，物体A不会相对斜面滑动，弹簧的弹力始终等于物体B的重力，故选项A、C正确，D错误；物体A对斜面的压力的大小由FN＝mAgcos 45°变为FN′＝mAgcos 30°，压力变大，选项B错误．

8．如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b，两物体间用一根细线连接，在细线的中点加一与斜面垂直的拉力F，使两物体均处于静止状态．则下列说法正确的是(　　)

A．a、b两物体的受力个数一定相同
B．a、b两物体对斜面的压力相同
C．a、b两物体受到的摩擦力大小可能不相等
D．当逐渐增大拉力F时，物体b先开始滑动
解析：选BC.对a、b进行受力分析，如图所示．物体b处于静止状态，当细线沿斜面向上的分量与重力沿斜面向下的分量相等时，摩擦力为零，所以b可能只受3个力作用，而物体a必定受到摩擦力作用，肯定受4个力作用，选项A错误；a、b两个物体，垂直于斜面方向受力都平衡，则有：FN＋FTsin θ＝mgcos α，解得：FN＝mgcos α－FTsin θ，则a、b两物体对斜面的压力相同，选项B正确；因为b的摩擦力可以为零，而a的摩擦力一定不为零，故选项C正确；对a沿斜面方向有：FTcos θ＋mgsin α＝fa，对b沿斜面方向有：FTcos θ－mgsin α＝fb，又因为正压力相等，所以最大静摩擦力相等，则a先达到最大静摩擦力，先滑动，故选项D错误．

二、非选择题(共4小题，52分)
9．(10分)(1)在“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验中，以下说法正确的是(　　)
A．弹簧被拉伸时，所挂钩码越多，误差越小
B．用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态
C．用直尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量
D．用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与伸长量，得出拉力与伸长量之比相等
(2)某同学做“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验，他先把弹簧平放在桌面上使其自然伸长，用直尺测出弹簧的原长L0，再把弹簧竖直悬挂起来，挂上钩码后测出弹簧伸长后的长度L，把L－L0作为弹簧的伸长量x，这样操作，由于弹簧自身重力的影响，最后画出的图线可能是图中的(　　)

解析：(1)实验中应以所研究的一根弹簧为实验对象，在弹性限度内通过增减钩码的数目来改变对弹簧的拉力，以探索弹力与弹簧伸长的关系，并且拉力和重力平衡．
(2)由于考虑弹簧自身重力的影响，当不挂钩码时，弹簧的伸长量x＞0，所以选C.
答案：(1)B　(2)C
10．(12分)在做“验证力的平行四边形定则”实验时：
(1)除已有的器材：方木板、白纸、弹簧测力计、细绳套、刻度尺、图钉和铅笔外，还必须有________________和________________．
(2)要使每次合力与分力产生相同的效果，必须(　　)
A．每次把橡皮条拉到同样的位置
B．每次把橡皮条拉直
C．每次准确读出弹簧测力计的示数
D．每次记准细绳的方向
(3)某同学的实验结果如图所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与绳套结点的位置．图中________是力F1与F2的合力的理论值，________是力F1与F2的合力的实验值．

解析：(1)做探究共点力合成的规律实验：我们是让两个力拉橡皮条和一个力拉橡皮条产生的作用效果相同，测出两个力的大小和方向以及一个力的大小和方向，用力的图示画出这三个力，用平行四边形做出两个力的合力的理论值，和那一个力进行比较．所以我们需要的实验器材有：方木板(固定白纸)，白纸(记录方向画图)、刻度尺(选标度)、绳套(弹簧测力计拉橡皮条)、弹簧测力计(测力的大小)、图钉(固定白纸)、三角板(画平行四边形)，橡皮条(让力产生相同的作用效果的)．故还必须有的器材是橡皮条和三角板．
(2)要使每次合力与分力产生相同的效果，每次将橡皮条拉到同样的位置，即用一个力与用两个力的作用效果相同，测出两个力的大小和方向以及一个力的大小和方向，没有必要把橡皮条拉到最大长度，故B、C、D错误，A正确．
(3)用平行四边形画出来的是理论值，和橡皮条同线的那个是实际值，所以F是理论值，F′是实际值，该实验的实验目的就是比较F1、F2合力的理论值和实验值是否相等．
答案：(1)橡皮条　三角板　(2)A　(3)F　F′
11．(15分)如图所示，用三条完全相同的轻质细绳1、2、3将A、B两个质量均为m的完全相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，轻绳1与竖直方向的夹角为45°，轻绳3水平，求轻质细绳上1、2、3的拉力分别为多大？

解析：设三条绳上的拉力分别为FT1，FT2，FT3；把A、B两个小球视为整体，受力分析如图甲，由平衡条件可得2mg＝FT1cos 45°

FT3＝FT1sin 45°
解得FT1＝2mg，FT3＝2mg
隔离球B，受力分析如图乙：
FT2＝＝mg
答案：2mg　mg　2mg
12．(15分)如图所示，有一个重量为20 N的小物体放在斜面上，斜面底边长AB＝40 cm，高BC＝30 cm，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，物体在一沿斜面向上的力F的作用下刚好处于静止状态(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，现将力F顺时针转动至水平向右并保持不变，求此时物体与斜面之间的摩擦力．

解析：当力F沿斜面向上，物体恰好不向上滑动时对物体受力分析，有F＝Gsin θ＋μGcos θ，
由几何关系得：sin θ＝0.6，cos θ＝0.8，F＝20 N；
力F顺时针转动至水平向右时物体受力如图所示，

根据平衡条件得，
Fcos θ＋Ff－Gsin θ＝0，
解得Ff＝Gsin θ－Fcos θ＝20×0.6 N－20×0.8 N＝－4 N，负号表示方向沿斜面向下．
当力F沿斜面向上，物体恰好不向下滑动时，对物体受力分析，
有F＝Gsin θ－μGcos θ＝4 N；
力F顺时针转动至水平向右时，有
Fcos θ＋Ff－Gsin θ＝0，
解得，Ff＝8.8 N，方向沿斜面向上．
答案：4 N，方向沿斜面向下或8.8 N，方向沿斜面向上