必刷10　电磁感应中的四类综合问题-2021届高考物理二轮复习专项必刷（人教版）

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必刷10　电磁感应中的四类综合问题


必刷点1　电磁感应电路问题


考法1　转动切割的电路问题

典例1.如图甲所示,发光竹蜻蜓是一种常见的儿童玩具,它在飞起时能够持续闪烁发光.某同学对竹蜻蜓的电路作如下简化:如图乙所示,半径为L的导电圆环绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴O1O2以角速度ω匀速转动,圆环上接有电阻均为r的三根金属辐条OP、OQ、OR,辐条互成120°角.在圆环左半部分分布着垂直圆环平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场,在转轴O1O2与圆环的边缘之间通过电刷M、N与一个LED灯相连(假设LED灯电阻恒为r).其他电阻不计,从辐条OP进入磁场开始计时.

(1)在辐条OP转过60°的过程中,求通过LED灯的电流;
(2)求圆环每旋转一周,LED灯消耗的电能.
【答案】　(1)BL2ω4r　(2)5πωB2L464r
【解析】 (1)在辐条OP转过60°的过程中,OP、OQ均处在磁场中,电路的电动势为E=12BL2ω
电路的总电阻为R=r2+r2=r
由闭合电路欧姆定律可知,电路的总电流为I=ER=BL2ω2r
通过LED灯的电流I1=12I=BL2ω4r
(2)设圆环转动一周的周期为T,在辐条OP转过60°的过程中,LED灯消耗的电能Q1=I12r·T6
在辐条OP转过60°~120°的过程中,仅OP处在磁场中,电路的电动势为E'=12BL2ω
电路的总电阻为R'=r+r3=43r
由闭合电路欧姆定律可知,电路的总电流为I'=E'R'=3BL2ω8r
通过LED灯的电流I2=13I'=BL2ω8r
LED灯消耗的电能Q2=I22r·T6
圆环每旋转一周,LED灯消耗的电能发生三次周期性变化
所以Q=3×(Q1+Q2)=5πωB2L464r.
变式1.半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面内,一长为r、质量分布均匀的直导体棒MN置于圆导轨上,NM的延长线过圆导轨中心O,装置的俯视图如图所示.整个装置置于一磁感应强度大小为B的匀强磁场中,磁场的方向竖直向下.在内、外圆导轨间对称地接有三个阻值均为R的电阻.直导体棒在垂直作用于导体棒MN中点的水平外力F作用下,以角速度ω绕O点顺时针匀速转动,在转动过程中始终与导轨保持良好接触,导体棒和导轨电阻均可忽略.求:

(1)导体棒产生的感应电动势;
(2)流过导体棒的感应电流;
(3)外力的大小.
【答案】　(1)32Bωr2　(2)9Bωr22R　(3)9ωB2r32R
【解析】　(1)导体棒MN转动切割磁感线时产生的电动势为
E=12Bω(2r)2-12Bωr2=32Bωr2.
(2)外电路的三个电阻为并联关系,则外电路的总电阻为R总=R3
根据闭合电路欧姆定律有I总=ER总=32Bωr2R3=9Bωr22R.
(3) 外力F=BI总L=B·9Bωr22R·r=9ωB2r32R.

考法2　变化磁场的电路结构分析

典例2.(2016·全国卷Ⅲ)如图,两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内,其左端接一阻值为R的电阻;一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上;在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域,区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场,磁感应强度B1随时间t的变化关系为B1=kt,式中k为常量;在金属棒右侧还有一匀强磁场区域,区域左边界MN(虚线)与导轨垂直,磁场的磁感应强度大小为B0,方向也垂直于纸面向里.某时刻,金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动,在t0时刻恰好以速度v0越过MN,此后向右做匀速运动.金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好,它们的电阻均忽略不计.求:

(1)在t=0到t=t0时间间隔内,流过电阻的电荷量的绝对值;
(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小.
【答案】(1)kt0SR　(2)B0lv0(t-t0)+kSt　B0lv0+kSB0lR
【解析】(1)在金属棒未越过MN之前,t时刻穿过回路的磁通量为Φ=ktS　①
设在从t时刻到t+Δt的时间间隔内,回路磁通量的变化量为ΔΦ,流过电阻R的电荷量为Δq.
由法拉第电磁感应定律有E=-ΔΦΔt　②
由欧姆定律有i=ER　③
由电流的定义有i=ΔqΔt　④
联立①②③④式得|Δq|=kSRΔt　⑤
由⑤式得,在t=0到t=t0的时间间隔内,流过电阻R的电荷量q的绝对值为|q|=kt0SR　⑥
(2)当t>t0时,金属棒已越过MN,由于金属棒在MN右侧做匀速运动,有f=F　⑦
式中f是外加水平恒力,F是匀强磁场施加的安培力,设此时回路中的电流为I,则F的大小为F=B0Il　⑧
此时金属棒与MN之间的距离为s=v0(t-t0)　⑨
匀强磁场穿过回路的磁通量为Φ'=B0ls　⑩
回路的总磁通量为Φt=Φ-Φ'　
式中Φ仍如①式所示,由①⑨⑩可得在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量为Φt=B0lv0(t-t0)+kSt　
在t到t+Δt的时间间隔内,总磁通量的改变ΔΦt为ΔΦt=(B0lv0+kS)Δt　
由法拉第电磁感应定律可得,回路中感应电动势的大小为Et=ΔΦtΔt　
由欧姆定律有I=EtR　
联立⑦⑧可得f=B0lv0+kSB0lR.

变式2.(多选)在如图甲所示的电路中,螺线管匝数n=1 500,横截面积S=20 cm2.螺线管导线电阻r=1 Ω,R1=4 Ω,R2=5 Ω,C=30 μF.在一段时间内,穿过螺线管的磁场的磁感应强度B按如图乙所示的规律变化.下列说法正确的是(　　)

A.螺线管中产生的感应电动势为1.2 V
B.闭合S,电路中的电流稳定后电容器的上极板带正电
C.电路中的电流稳定后,电阻R1的电功率为5×10-2 W
D.S断开后,通过R2的电荷量为1.8×10-5 C
【答案】 AD
【解析】 由法拉第电磁感应定律可知,螺线管内产生的电动势为E=nΔBΔtS=1.2 V,选项A正确;根据楞次定律,当穿过螺线管的磁通量增加时,螺线管下部可以看成电源的正极,则电容器下极板带正电,选项B错误;电流稳定后,电流I=ER1+R2+r=0.12 A,电阻R1上消耗的电功率为P=I2R1=5.76×10-2 W,选项C错误;开关断开后通过电阻R2的电荷量为Q=CU=CIR2=1.8×10-5 C,选项D正确.


必刷点2　电磁感应的力学问题

考法1　单杆模型

典例3. (2020·湖北枣阳模拟)如图所示,水平面内有两根足够长的平行导轨L1、L2,其间距d=0.5 m,左端接有电容C=2 000 μF的电容器.质量m=20 g的导体棒可在导轨上无摩擦滑动,导体棒和导轨的电阻不计.整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场,磁感应强度B=2 T.现用一沿导轨方向向右的恒力F1=0.44 N作用于导体棒,使导体棒从静止开始运动,经t时间后到达B处,速度v=5 m/s.此时,突然将拉力方向变为沿导轨向左,大小变为F2,又经2t时间后导体棒返回到初始位置A处,整个过程电容器未被击穿.求:

(1)导体棒运动到B处时,电容器C上的电荷量;
(2)t的大小;
(3)F2的大小.
【答案】 (1)1×10-2 C　(2)0.25 s　(3)0.55 N
【解析】 (1)当导体棒运动到B处时,电容器两端电压为
U=Bdv=2×0.5×5 V=5 V
此时电容器积累的电荷量
Q=CU=2 000×10-6×5 C=1×10-2 C.
(2)棒在F1作用下由牛顿第二定律有F1-BId=ma1,
又I=ΔQΔt=CBdΔvΔt,a1=ΔvΔt
联立解得:a1=F1m+CB2d2=20 m/s2,可见棒的加速度不变,说明棒做匀加速运动,则t=va1=0.25 s.
(3)由(2)可知棒在F2作用下,先向右做匀减速运动,此时电容器放电,棒受到的安培力向右;当棒的速度减小为零时,电容器放电完毕,此后棒向左做匀加速运动,电容器被反向充电,此时棒受的安培力仍然向右,由(2)可知导体棒做匀加速直线运动的加速度大小a2=F2m+CB2d2,方向向左
而两种情况下位移等大、反向,则有
12a1t2=-a1t·2t-12a2(2t)2
将相关数据代入解得F2=0.55 N.

变式3.(2017·海南卷)(多选)如图,空间中存在一匀强磁场区域,磁场方向与竖直面(纸面)垂直,磁场的上、下边界(虚线)均为水平面;纸面内磁场上方有一个正方形导线框abcd,其上、下两边均与磁场边界平行,边长小于磁场上、下边界的间距.若线框自由下落,从ab边进入磁场时开始,直至ab边到达磁场下边界为止,线框下落的速度大小可能(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.始终减小 B.始终不变 C.始终增加 D.先减小后增加

【答案】 CD
【解析】 当ab边进入磁场时产生感应电动势,受到向上的安培力F=BIL=B2L2v0R作用,若安培力F=mg,则线框做匀速运动,当线框全部进入磁场后,不产生感应电流,在重力作用下加速运动,选项B错误;若安培力F=BIL=B2L2v0Rmg,则线框做减速运动,当F=mg时匀速运动,当线框全部进入磁场后,不产生感应电流,在重力作用下加速运动,即速度先减小后增加,选项A错误,D正确.

变式4.(足够长的平行金属导轨MN和PQ表面粗糙,与水平面间的夹角为θ=37°(sin 37°=0.6),间距为1 m.垂直于导轨平面向上的匀强磁场的磁感应强度的大小为4 T,P、M间所接电阻的阻值为8 Ω.质量为2 kg的金属杆ab垂直导轨放置,不计杆与导轨的电阻,杆与导轨间的动摩擦因数为0.25.金属杆ab在沿导轨向下且与杆垂直的恒力F作用下,由静止开始运动,杆的最终速度为8 m/s,取g=10 m/s2,求:

(1)当金属杆的速度为4 m/s时,金属杆的加速度大小;
(2)当金属杆沿导轨的位移为6.0 m时,通过金属杆的电荷量.
【答案】 　(1)4 m/s2　(2)3 C
【解析】 (1)对金属杆ab应用牛顿第二定律有
F+mgsin θ-F安-f=ma
f=μFN
FN=mgcos θ
ab杆所受安培力大小为F安=BIL
ab杆切割磁感线产生的感应电动势为E=BLv
由闭合电路欧姆定律可知I=ER
整理得F+mgsin θ-B2L2Rv-μmgcos θ=ma
代入vm=8 m/s时a=0,解得F=8 N
代入v=4 m/s及F=8 N,解得a=4 m/s2.
(2)设通过回路截面的电荷量为q,则q=It
回路中的平均电流强度为I=ER
回路中产生的平均感应电动势为E=ΔΦt
回路中的磁通量变化量为ΔΦ=BLx
联立解得q=3 C.

考法2　双杆模型

典例4. (1)如图1,两根平行的金属导轨,固定在同一水平面上,磁感应强度为B的匀强磁场与导轨所在平面垂直,导轨的电阻很小,可忽略不计,导轨间的距离为l.两根质量均为m、电阻均为R的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动,滑动过程中与导轨保持垂直.在t=0时刻,两杆都处于静止状态.现有一与导轨平行、大小恒为F的力作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上滑动,试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况.

(2)如图2所示,两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,导轨上横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路.在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场,设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行.开始时,棒cd静止,棒ab有指向棒cd的初速度.若两导体棒在运动中始终不接触,试定性分析两棒的收尾运动情况.

【答案】 见解析
【解析】 (1)设某时刻金属杆甲和乙的速度大小分别为v1和v2,加速度大小分别为a1和a2,受到的安培力大小均为F1,则感应电动势为E=Bl(v1-v2)　①
感应电流为I=E2R　②
对甲和乙分别由牛顿第二定律得F-F1=ma1,F1=ma2　③
当v1-v2=定值(非零),即系统以恒定的加速度运动时
a1=a2　④
解得a1=a2=F2m　⑤
可见,甲、乙两金属杆最终水平向右以相同的加速度做匀加速运动,速度一直增大.
(2) ab棒向cd棒运动时,两棒和导轨构成的回路面积变小,磁通量发生变化,回路中产生感应电流.ab棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动,cd棒则在安培力作用下做加速运动,在ab棒的速度大于cd棒的速度时,回路中总有感应电流,ab棒继续减速,cd棒继续加速.两棒达到相同速度后,回路面积保持不变,磁通量不变化,不产生感应电流,两棒以相同的速度v水平向右做匀速运动.

变式5.(2020·广西桂林模拟)如图所示,竖直放置的两光滑平行金属导轨,置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中,两根质量相同的导体棒a和b,与导轨紧密接触且可自由滑动.先固定a、释放b,当b的速度达到10 m/s时,再释放a,经过1 s后,a的速度达到12 m/s,求:

(1)此时b的速度大小;
(2)若导轨很长,a、b棒最后的运动状态.
【答案】(1)18 m/s　(2)a、b棒最后以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动
【解析】(1)当b棒先向下运动时,在a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流,于是a棒受到向下的安培力,b棒受到向上的安培力,且二者大小相等.释放a棒后,经过时间t,分别以a和b为研究对象,根据动量定理,则有:
(mg+F)t=mva
(mg-F)t=mvb-mv0
联立解得vb=18 m/s.
(2)在a、b棒向下运动的过程中,a棒产生的加速度a1=g+Fm,b棒产生的加速度a1=g-Fm.当a棒的速度与b棒接近时,闭合回路中的 ΔΦ逐渐减小,感应电流也逐渐减小,则安培力也逐渐减小.最后,两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动


必刷点3　电磁感应的图象问题

考法1　动生类图象

典例5. (多选)如图所示,一个边长为L的正方形线圈置于边界水平的匀强磁场上方L处,磁场宽也为L,方向垂直纸面向里,由静止释放线圈且线圈平面始终与磁场方向垂直.如果从线圈的一条边刚进入磁场开始计时,下列关于通过线圈横截面的电荷量q、感应电流i、线圈运动的加速度a、线圈具有的动能Ek随时间t变化的图象中,可能正确的是(　　)


【答案】ACD
【解析】若线圈进入磁场时受到的安培力等于重力,则线圈匀速进入,感应电流恒定,由q=It可知,通过线圈横截面的电荷量均匀增大,线圈离开时由楞次定律可知,感应电流方向改变,大小不变,通过的电荷量q=It均匀减小,选项A正确,选项B错误;由于线圈进入磁场时重力也可能大于安培力,因此继续做加速运动,但速度增大会导致安培力也增大,则加速度减小,当安培力增大到等于重力时,加速度变为零,选项C正确;如果线圈刚进入磁场时安培力就大于重力,则线圈做减速运动,速度减小则安培力减小,最后可能达到平衡,速度不变,动能不变,选项D正确.
变式6.如图所示,垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a,磁感应强度的大小为B.一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置开始沿水平向右方向以速度v匀速穿过磁场区域,在图中线框A、B两端的电压UAB与线框移动距离x的关系图象正确的是(　　)


【答案】 D
【解析】 线框进入磁场时,注意UAB是路端电压,大小应该是电动势的四分之三,此时E=Bav,所以UAB=3Bav4;完全进入磁场后,没有感应电流,但有感应电动势,则UAB=Bav;穿出磁场时,电压大小应该是感应电动势的四分之一,UAB=Bav4,方向始终相同,即φA>φB,选项D正确.


考法2　感生类图象

典例6. 将一段导线绕成图甲所示的闭合回路,并固定在水平面(纸面)内.回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中,回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ.以向里为磁场Ⅱ的正方向,其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示.用F表示ab边受到的安培力,以水平向右为F的正方向,下列能正确反映F随时间t变化的图象是(　　)




【答案】 B
【解析】 由图乙可知B在0~T2和T2~T是均匀变化的,根据E=ΔBSΔt,I=ER,F=BIL可知,在0~T2和T2~T时间段内安培力F是恒力,选项C、D错误;在0~T2时间内,根据楞次定律可知电流方向由b向a,由左手定则可知ab受向左的安培力,F为负值,选项A错误,B正确.

必刷点3　电磁感应中的能量和动量问题

典例7. (2019·海南卷)如图,一水平面内固定有两根平行的长直金属导轨,导轨间距为l;两根相同的导体棒AB、CD置于导轨上并与导轨垂直,长度均为l;棒与导轨间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力);整个装置处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向竖直向下.从t=0时开始,对AB棒施加一外力,使AB棒从静止开始向右做匀加速运动,直到t=t1时刻撤去外力,此时棒中的感应电流为i1;已知CD棒在t=t0(0