专题07 高考创新与数学素养（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高三数学寒假辅导讲义（全国通用）

专题07 高考创新与数学素养

【重难点知识点网络】：

【重难点题型突破】：

一、与数学文化素养相关的高考题目

例1．【2017届四川省简阳市期末检测数学】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜概率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】齐王的马获胜概率为，选B.

【变式训练1-1】、北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共层，上底由个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】从题设及三视图中所提供的图形信息和数据信息可知，代入公式，应选答案C.

【变式训练1-2】、我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为.现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则__________．

【答案】6

【解析】这是一个等差数列问题，由题意得金杖的重量斤，且,设数列的公差为,则求得,,,,解得.

二、高考创新题目

例2．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：

把以上各步所得余数从下到上排列，得到

这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为进制数的方法，称为“除取余法”，那么用“除取余法”把89化为七进制数为__________．

【答案】

【解析】由题设中提供的计算方法可得

把以上各步所得余数从下到上排列，得到，应填答案.

【变式训练2-1】、设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]　　　　　　　　 B.

C.   D.[来源:学科网ZXXK]

【答案】C

【解析】由题意，方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1,4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间(1,4]上有解，即求函数a＝在区间(1,4]上的值域，

令t＝4x－5，则t∈(－1,11]，a＝，当t∈(－1,0]时，a≤0；

当t∈(0,11]时，0＜a＝≤＝，当且仅当t＝3时取等号．

综上，实数a的取值范围是.

【变式训练2-2】、在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（    ）

A.     B.     C.     D.

三、学科知识交叉的临界问题

例3、定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】函数的图象向左平移n（n＞0）个单位，

所得图象对应的函数为y=2cos（x+n+），根据所得函数为偶函数，可得n+=kπ，k∈z，

则n的最小值为，故选：D．

【变式训练3-1】、如图， 为等边三角形，四边形为正方形，平面平面．若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为（   ）

A． 椭圆的一部分    B． 双曲线的一部分    C． 一段圆弧    D． 一条线段

【答案】D

【解析】在空间中，存在过线段中点且垂直线段的平面，平面上点到两点的距离相等，记此平面为，平面与平面 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点在正方形及其内部的轨迹为一条线段，选A．

【变式训练3-2】、设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝，a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则（    ）

A． a∧b≥2，c∧d≤2    B． a∧b≥2，c∨d≥2    C． a∨b≥2，c∧d≤2    D． a∨b≥2，c∨d≥2

【答案】C

【解析】不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c．

若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2．故a∨b≥2．

若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2．故c∧d≤2．

本题选择C选项．