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专题07 不等式（组）（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型
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这是一份专题07 不等式（组）（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型，文件包含专题07不等式组原卷版doc、专题07不等式组解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
专题07 不等式组
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。
【注意】
1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。
2.常用的不等号有“”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边的大小；“”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右两边不相等。
3.在不等式a>b或a
不等式的解与解集：
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。
不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等 式的所有的解，组成这个不等式的解集。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
不等式表示
数轴表示
【注意】
1. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac
基本性质6：如果，，那么.
【注意】
1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。
2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子
不同点：
1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立
2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变；
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法：
【注意】
1、 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。
2、 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
1. 求出不等式组中各不等式的解集
2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。
3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
【考查题型】
考查题型一 不等式的性质
【解题思路】熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键
典例1（2020·浙江杭州市·中考真题）若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
【答案】C
【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
【详解】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．
故选：C．
变式1-1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2 B．a+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；
B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；
C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
变式1-2．（2020·广西贵港市·中考真题）如果，，那么下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】
解：A、由a＜b，c＜0得到：a＋c＜b＋c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由a＜b，c＜0得到：ac＋1＞bc＋1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D．
变式1-3．（2020·山东济南市·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
考查题型二 解一元一次不等式
【解题思路】解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞”向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心．
典例2．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，
移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，
合并，得：x＞﹣1，
故选：A．
变式2-1．（2020·四川乐山市·中考真题）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．
【详解】解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入得，解得，
∴直线解析式为：，
将y=2代入得，
解得x=-2，
∴不等式的解集是，
故选：C．
变式2-2．（2020·湖南株洲市·中考真题）下列哪个数是不等式的一个解？（ ）
A．-3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．
【详解】解：解不等式，得
因为只有-3<,所以只有-3是不等式的一个解
故选：A
考查题型三 一元一次不等式的应用
【解题思路】根据题意列不等式，以及确定不等式的正整数解是解题的关键．
典例3．（2020·重庆中考真题）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元．小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】设小明最多还可以买个作业本，根据题意列出不等式，利用不等式的正整数解可得答案．
【详解】解：设小明最多还可以买个作业本，则
为正整数，
不等式的最大正整数解是：
小明最多还可以买4本作业本．
故选：B．
变式3-1．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ）
A．8 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据售价-进价=利润，利润=进价利润率可得不等式，解之即可．
【详解】设可以打x折出售此商品，
由题意得：240，
解得x6，
故选：B
变式3-2．（2019·重庆中考真题）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根据竞赛得分答对的题数未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．
【详解】解：设要答对x道．
，
，
，
解得：，
根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．
故选C．
考查题型四 求一元一次不等式的特解的方法
【解题思路】考查不等式的特殊解，正确理解题意求出解集是解决此类题的关键
典例4．（2019·江苏中考真题）不等式的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】
解：，
解得：，
则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个．
故选：D．
变式4-1．（2019·内蒙古中考模拟）不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故答案选C．
变式4-2．（2017·广东中考模拟）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
当时，对于，则．故的解集为．与的交点的横坐标为，观察图象可知的解集为．的解集为．为整数，．
变式4-3．（2019·内蒙古中考模拟）不等式的最小整数解是__．
【答案】0
【详解】
解的解集为x＞-1，
∴最小整数解为0
考查题型五 确定不等式中字母的取值范围的方法
【解题思路】先用含未知数的式子表示不等式的解集，在根据未知数的解集求未知数
典例5．（2019·黑龙江中考真题）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【详解】
解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，
∴4a-3a-1＜0，
解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，
∴2a-3a-1≥0，
解得：a≤-1，
∴a≤-1，
故答案为：a≤-1．
变式5-1．（2019·四川中考真题）关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：解不等式2x+a≤1得：,
不等式有两个正整数解，一定是1和2，
根据题意得：
解得：-5＜a≤-3．
故选：C．
变式5-2．（2019·江苏中考模拟）已知关于x的不等式x≥a-1的解集如图所示,则a的值为__.
【答案】0
【解析】
由图可得，,
考查题型六 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法
典例6．（2019·河南中考模拟）若不等式组的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．
【答案】-2 -3
【详解】
解：由题意得：
解不等式 ① 得: x>1+a ,
解不等式②得:x≤
不等式组的解集为: 1+a＜x≤
不等式组的解集是﹣1＜x≤1,
..1+a=-1, =1,
解得:a=-2,b=-3
故答案为: -2, -3.
考查题型七 一元一次不等式组的解集的确定方法
典例7．（2018·湖南中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解不等式x+2＞0，得：x＞-2，
解不等式2x-4≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为-2＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
故选C．
变式7-1．（2019·山东中考模拟）一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
详解：解不等式组得－3＜x≤2，
在数轴上表示为：
故选D.
变式7-2．（2019·江苏中考模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为，
故选D．
变式7-3．（2019·广东中考模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜1，
在数轴上表示为：，
故选A．
考查题型八 求一元一次不等式组的整数解的方法
典例8．（2019·台湾中考真题）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买盒蛋糕，花费的金额不超过元．若他将蛋糕分给位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：设阿慧购买盒桂圆蛋糕，则购买盒金爽蛋糕，依题意有
，
解得，
是整数，
，
（元）．
答：阿慧花元购买蛋糕．
故选：D．
变式8-1．（2019·四川中考真题）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【详解】
解：设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意，得：，
解得：，
∵为整数，∴、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种，
故选：C．
变式8-2．（2019·浙江中考模拟）如图，等腰三角形 ABC 的周长为 20cm，底边 BC 长为 y（cm），腰 AB 长为 x（cm）.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）求 x 的取值范围；
（3）腰长 AB=3 时，底边的长．
【答案】（1）y＝20﹣2x；（2）5＜x＜10；（3）14．
【详解】
（1）∵等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，周长为 20，
∴y＝20﹣2x，
（2），
解得：5＜x＜10．
所以x的取值范围为5＜x＜10.
（3）将代入y＝20﹣2x得，所以底边的长为14.
考查题型九 求一元一次方程组中的待定字母的值
典例9．（2017·内蒙古中考模拟）若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么(a+1)(b﹣1)的值等于_____．
【答案】4
【解析】
先解不等式组，再对照已知解集，即可求出a、b的值．
解不等式组，得对照已知解集有
变式9-1．（2012·四川中考真题）如果关于x的不等式组：，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有___________个．
【答案】6
【详解】
，
由①得：；由②得：．
∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：．
∵不等式组整数解仅有1，2，如图所示：
，
∴0＜≤1，2≤＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6．
∴a=1，2，3，b=4，5．
∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有3×2=6个．
变式9-2．（2018·四川中考真题）若不等式组的解集为，则________.
【答案】-1
【解析】
由不等式得x＞a+2，x＜b，
∵-1＜x＜1，
∴a+2=-1，b=1
∴a=-3，b=2，
∴（a+b）2009=（-1）2009=-1．
故答案为-1．
考查题型十 求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
典例10．（2018·山东省中考模拟）若不等式组的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）.
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【答案】C
【解析】
详解：，
解①得，x>3；
解②得，x>m，
∵不等式组的解集是x>3，
则m⩽3.
故选：C.
变式10-1．（2019·四川中考真题）若关于的代等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴这三个整数解为0、1、2，
∴，
解得，
故选：B．
变式10-2.若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解，
∵不等式组有解，∴2m＞2﹣m.
∴ .故选C.
考查题型十一 利用一元一次不等式（组）解决实际问题的方法
典例11．（2019·湖北中考真题）某县有A、B两个大型蔬菜基地，共有蔬菜700吨.若将A基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与B基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从A、B两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表:
（1）求A、B两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？
（2）现甲市需要蔬菜260吨，乙市需要蔬菜440吨.设从A基地运送吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使总运费最少？
【答案】（1）A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨；（2）当A基地运300吨到乙市，B基地运260吨到甲市，B基地运140吨到乙市时，总运费最少为14760元.
【详解】
（1）设A、B两基地的蔬菜总量分别为吨、吨.
根据题意得：
解得：，
答：A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨.
（2）由题可知：
∴
∵
.
∵4>0，
∴随的增大而增大，
∴=14760.
答：当A基地运300吨到乙市，B基地运260吨到甲市，B基地运140吨到乙市时，总运费最少为14760元.
变式11-1．（2019·辽宁中考模拟）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【答案】（1）乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；（2）该图书馆最多可以购买28本乙图书．
【详解】
解：（1）设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
则，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
（2）设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，
故，
解得：，
故，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
考查题型十二 方程组与不等式组相结合解决实际问题
典例12．（2018·山东中考模拟）今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗．若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．
(1)求购进A，B两种树苗的单价；
(2)若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵．
【答案】（1）A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元；（2）10棵
【解析】
（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元，
可得：，
解得：，
答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.
（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，
可得：200a+300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥10，
答：A种树苗至少需购进10棵．
变式12-1．（2019·湖南中考模拟）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是35元．
【解析】
（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得：
，
解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，
根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售价至少是35元．
考查题型十三 利用不等式计算获利问题
典例13．（2014·四川中考真题）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
【答案】（1）5 （2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
【解析】
（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意得，，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
（2）设总利润为W元，
y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，
=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
变式13-1．（2018·四川中考模拟）宜兴某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
【解析】
(1)、根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，
化简得：y=-5x+2200；
(2)、根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则x≥300且−5x+2200≥450
解得：300≤x≤350．
所以y与x之间的函数关系式为：y=-5x+2200（300≤x≤350）；
(3)、W=（x-200）（-5x+2200）， 整理得：W=-5+72000．
∵x=320在300≤x≤350内， ∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
变式13-2．（2018·山东中考模拟）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【答案】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）答案见解析
【详解】
（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x=550，
∴x=50，
经检验，符合题意，
∴3x=150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，
根据题意得，意，
∴
∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3中方案；
有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个，
②温馨提示牌51个，垃圾箱49个，
③温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
设总费用为w元
W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000，
∵k=-100，∴w随y的增大而减小
∴当y=52时，所需资金最少，最少是9800元．
考查题型十四 运用一元一次不等式组进行方案设计
典例14．（2018·河南中考模拟）某校计划购买篮球、排球共20个．购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案．
【答案】（1）篮球每个50元，排球每个30元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个；②购买篮球9，排球11个；③购买篮球10个，排球10个；方案①最省钱
【解析】
解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，依题意，得：
解得．
答：篮球每个50元，排球每个30元．
（2）设购买篮球m个，则购买排球（20-m）个，依题意，得：
50m+30（20-m）≤800．
解得：m≤10．
又∵m≥8，∴8≤m≤10．
∵篮球的个数必须为整数，∴只能取8、9、10．
∴满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个，费用为760元；②购买篮球9，排球11个，费用为780元；③购买篮球10个，排球10个，费用为800元．
以上三个方案中，方案①最省钱．
变式14-1．（2019·广西中考模拟）某文化商店计划同时购进A、B两种仪器，若购进A种仪器2台和B种仪器3台，共需要资金1700元；若购进A种仪器3台，B种仪器1台，共需要资金1500元．
（1）求A、B两种型号的仪器每台进价各是多少元？
（2）已知A种仪器的售价为760元/台，B种仪器的售价为540元/台．该经销商决定在成本不超过30000元的前提下购进A、B两种仪器，若B种仪器是A种仪器的3倍还多10台，那么要使总利润不少于21600元，该经销商有哪几种进货方案？
【答案】（1）A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；（2）有三种具体方案：①购进A种仪器18台，购进B种仪器64台；②购进A种仪器19台，购进B种仪器67台；③购进A种仪器20台，购进B种仪器70台．
【详解】
解：（1）设A、B两种型号的仪器每台进价各是x元和y元．
由题意得：，
解得：．
答：A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；
（2）设购进A种仪器a台，则购进A种仪器（3a+10）台．
则有：，
解得．
由于a为整数，
∴a可取18或19或20．
所以有三种具体方案：
①购进A种仪器18台，购进B种仪器64台；
②购进A种仪器19台，购进B种仪器67台；
③购进A种仪器20台，购进B种仪器70台．
变式14-2．（2019·贵州中考真题）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【答案】（1）租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）共有三种租车方案，方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
【详解】
（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，
，
解得，，
答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，
，
解得，，，，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
专题07 不等式组
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。
【注意】
1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。
2.常用的不等号有“”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边的大小；“”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右两边不相等。
3.在不等式a>b或a
不等式的解与解集：
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。
不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等 式的所有的解，组成这个不等式的解集。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
不等式表示
数轴表示
【注意】
1. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac
基本性质6：如果，，那么.
【注意】
1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。
2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子
不同点：
1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立
2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变；
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法：
【注意】
1、 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。
2、 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
1. 求出不等式组中各不等式的解集
2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。
3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
【考查题型】
考查题型一 不等式的性质
【解题思路】熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键
典例1（2020·浙江杭州市·中考真题）若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
【答案】C
【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
【详解】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．
故选：C．
变式1-1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2 B．a+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；
B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；
C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
变式1-2．（2020·广西贵港市·中考真题）如果，，那么下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】
解：A、由a＜b，c＜0得到：a＋c＜b＋c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由a＜b，c＜0得到：ac＋1＞bc＋1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D．
变式1-3．（2020·山东济南市·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
考查题型二 解一元一次不等式
【解题思路】解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞”向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心．
典例2．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，
移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，
合并，得：x＞﹣1，
故选：A．
变式2-1．（2020·四川乐山市·中考真题）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．
【详解】解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入得，解得，
∴直线解析式为：，
将y=2代入得，
解得x=-2，
∴不等式的解集是，
故选：C．
变式2-2．（2020·湖南株洲市·中考真题）下列哪个数是不等式的一个解？（ ）
A．-3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．
【详解】解：解不等式，得
因为只有-3<,所以只有-3是不等式的一个解
故选：A
考查题型三 一元一次不等式的应用
【解题思路】根据题意列不等式，以及确定不等式的正整数解是解题的关键．
典例3．（2020·重庆中考真题）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元．小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】设小明最多还可以买个作业本，根据题意列出不等式，利用不等式的正整数解可得答案．
【详解】解：设小明最多还可以买个作业本，则
为正整数，
不等式的最大正整数解是：
小明最多还可以买4本作业本．
故选：B．
变式3-1．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ）
A．8 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据售价-进价=利润，利润=进价利润率可得不等式，解之即可．
【详解】设可以打x折出售此商品，
由题意得：240，
解得x6，
故选：B
变式3-2．（2019·重庆中考真题）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根据竞赛得分答对的题数未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．
【详解】解：设要答对x道．
，
，
，
解得：，
根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．
故选C．
考查题型四 求一元一次不等式的特解的方法
【解题思路】考查不等式的特殊解，正确理解题意求出解集是解决此类题的关键
典例4．（2019·江苏中考真题）不等式的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】
解：，
解得：，
则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个．
故选：D．
变式4-1．（2019·内蒙古中考模拟）不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故答案选C．
变式4-2．（2017·广东中考模拟）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
当时，对于，则．故的解集为．与的交点的横坐标为，观察图象可知的解集为．的解集为．为整数，．
变式4-3．（2019·内蒙古中考模拟）不等式的最小整数解是__．
【答案】0
【详解】
解的解集为x＞-1，
∴最小整数解为0
考查题型五 确定不等式中字母的取值范围的方法
【解题思路】先用含未知数的式子表示不等式的解集，在根据未知数的解集求未知数
典例5．（2019·黑龙江中考真题）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【详解】
解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，
∴4a-3a-1＜0，
解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，
∴2a-3a-1≥0，
解得：a≤-1，
∴a≤-1，
故答案为：a≤-1．
变式5-1．（2019·四川中考真题）关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：解不等式2x+a≤1得：,
不等式有两个正整数解，一定是1和2，
根据题意得：
解得：-5＜a≤-3．
故选：C．
变式5-2．（2019·江苏中考模拟）已知关于x的不等式x≥a-1的解集如图所示,则a的值为__.
【答案】0
【解析】
由图可得，,
考查题型六 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法
典例6．（2019·河南中考模拟）若不等式组的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．
【答案】-2 -3
【详解】
解：由题意得：
解不等式 ① 得: x>1+a ,
解不等式②得:x≤
不等式组的解集为: 1+a＜x≤
不等式组的解集是﹣1＜x≤1,
..1+a=-1, =1,
解得:a=-2,b=-3
故答案为: -2, -3.
考查题型七 一元一次不等式组的解集的确定方法
典例7．（2018·湖南中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解不等式x+2＞0，得：x＞-2，
解不等式2x-4≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为-2＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
故选C．
变式7-1．（2019·山东中考模拟）一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
详解：解不等式组得－3＜x≤2，
在数轴上表示为：
故选D.
变式7-2．（2019·江苏中考模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为，
故选D．
变式7-3．（2019·广东中考模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜1，
在数轴上表示为：，
故选A．
考查题型八 求一元一次不等式组的整数解的方法
典例8．（2019·台湾中考真题）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买盒蛋糕，花费的金额不超过元．若他将蛋糕分给位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：设阿慧购买盒桂圆蛋糕，则购买盒金爽蛋糕，依题意有
，
解得，
是整数，
，
（元）．
答：阿慧花元购买蛋糕．
故选：D．
变式8-1．（2019·四川中考真题）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【详解】
解：设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意，得：，
解得：，
∵为整数，∴、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种，
故选：C．
变式8-2．（2019·浙江中考模拟）如图，等腰三角形 ABC 的周长为 20cm，底边 BC 长为 y（cm），腰 AB 长为 x（cm）.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）求 x 的取值范围；
（3）腰长 AB=3 时，底边的长．
【答案】（1）y＝20﹣2x；（2）5＜x＜10；（3）14．
【详解】
（1）∵等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，周长为 20，
∴y＝20﹣2x，
（2），
解得：5＜x＜10．
所以x的取值范围为5＜x＜10.
（3）将代入y＝20﹣2x得，所以底边的长为14.
考查题型九 求一元一次方程组中的待定字母的值
典例9．（2017·内蒙古中考模拟）若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么(a+1)(b﹣1)的值等于_____．
【答案】4
【解析】
先解不等式组，再对照已知解集，即可求出a、b的值．
解不等式组，得对照已知解集有
变式9-1．（2012·四川中考真题）如果关于x的不等式组：，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有___________个．
【答案】6
【详解】
，
由①得：；由②得：．
∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：．
∵不等式组整数解仅有1，2，如图所示：
，
∴0＜≤1，2≤＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6．
∴a=1，2，3，b=4，5．
∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有3×2=6个．
变式9-2．（2018·四川中考真题）若不等式组的解集为，则________.
【答案】-1
【解析】
由不等式得x＞a+2，x＜b，
∵-1＜x＜1，
∴a+2=-1，b=1
∴a=-3，b=2，
∴（a+b）2009=（-1）2009=-1．
故答案为-1．
考查题型十 求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
典例10．（2018·山东省中考模拟）若不等式组的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）.
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【答案】C
【解析】
详解：，
解①得，x>3；
解②得，x>m，
∵不等式组的解集是x>3，
则m⩽3.
故选：C.
变式10-1．（2019·四川中考真题）若关于的代等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴这三个整数解为0、1、2，
∴，
解得，
故选：B．
变式10-2.若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解，
∵不等式组有解，∴2m＞2﹣m.
∴ .故选C.
考查题型十一 利用一元一次不等式（组）解决实际问题的方法
典例11．（2019·湖北中考真题）某县有A、B两个大型蔬菜基地，共有蔬菜700吨.若将A基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与B基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从A、B两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表:
（1）求A、B两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？
（2）现甲市需要蔬菜260吨，乙市需要蔬菜440吨.设从A基地运送吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使总运费最少？
【答案】（1）A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨；（2）当A基地运300吨到乙市，B基地运260吨到甲市，B基地运140吨到乙市时，总运费最少为14760元.
【详解】
（1）设A、B两基地的蔬菜总量分别为吨、吨.
根据题意得：
解得：，
答：A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨.
（2）由题可知：
∴
∵
.
∵4>0，
∴随的增大而增大，
∴=14760.
答：当A基地运300吨到乙市，B基地运260吨到甲市，B基地运140吨到乙市时，总运费最少为14760元.
变式11-1．（2019·辽宁中考模拟）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【答案】（1）乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；（2）该图书馆最多可以购买28本乙图书．
【详解】
解：（1）设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
则，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
（2）设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，
故，
解得：，
故，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
考查题型十二 方程组与不等式组相结合解决实际问题
典例12．（2018·山东中考模拟）今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗．若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．
(1)求购进A，B两种树苗的单价；
(2)若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵．
【答案】（1）A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元；（2）10棵
【解析】
（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元，
可得：，
解得：，
答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.
（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，
可得：200a+300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥10，
答：A种树苗至少需购进10棵．
变式12-1．（2019·湖南中考模拟）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是35元．
【解析】
（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得：
，
解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，
根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售价至少是35元．
考查题型十三 利用不等式计算获利问题
典例13．（2014·四川中考真题）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
【答案】（1）5 （2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
【解析】
（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意得，，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
（2）设总利润为W元，
y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，
=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
变式13-1．（2018·四川中考模拟）宜兴某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
【解析】
(1)、根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，
化简得：y=-5x+2200；
(2)、根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则x≥300且−5x+2200≥450
解得：300≤x≤350．
所以y与x之间的函数关系式为：y=-5x+2200（300≤x≤350）；
(3)、W=（x-200）（-5x+2200）， 整理得：W=-5+72000．
∵x=320在300≤x≤350内， ∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
变式13-2．（2018·山东中考模拟）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【答案】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）答案见解析
【详解】
（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x=550，
∴x=50，
经检验，符合题意，
∴3x=150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，
根据题意得，意，
∴
∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3中方案；
有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个，
②温馨提示牌51个，垃圾箱49个，
③温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
设总费用为w元
W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000，
∵k=-100，∴w随y的增大而减小
∴当y=52时，所需资金最少，最少是9800元．
考查题型十四 运用一元一次不等式组进行方案设计
典例14．（2018·河南中考模拟）某校计划购买篮球、排球共20个．购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案．
【答案】（1）篮球每个50元，排球每个30元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个；②购买篮球9，排球11个；③购买篮球10个，排球10个；方案①最省钱
【解析】
解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，依题意，得：
解得．
答：篮球每个50元，排球每个30元．
（2）设购买篮球m个，则购买排球（20-m）个，依题意，得：
50m+30（20-m）≤800．
解得：m≤10．
又∵m≥8，∴8≤m≤10．
∵篮球的个数必须为整数，∴只能取8、9、10．
∴满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个，费用为760元；②购买篮球9，排球11个，费用为780元；③购买篮球10个，排球10个，费用为800元．
以上三个方案中，方案①最省钱．
变式14-1．（2019·广西中考模拟）某文化商店计划同时购进A、B两种仪器，若购进A种仪器2台和B种仪器3台，共需要资金1700元；若购进A种仪器3台，B种仪器1台，共需要资金1500元．
（1）求A、B两种型号的仪器每台进价各是多少元？
（2）已知A种仪器的售价为760元/台，B种仪器的售价为540元/台．该经销商决定在成本不超过30000元的前提下购进A、B两种仪器，若B种仪器是A种仪器的3倍还多10台，那么要使总利润不少于21600元，该经销商有哪几种进货方案？
【答案】（1）A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；（2）有三种具体方案：①购进A种仪器18台，购进B种仪器64台；②购进A种仪器19台，购进B种仪器67台；③购进A种仪器20台，购进B种仪器70台．
【详解】
解：（1）设A、B两种型号的仪器每台进价各是x元和y元．
由题意得：，
解得：．
答：A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；
（2）设购进A种仪器a台，则购进A种仪器（3a+10）台．
则有：，
解得．
由于a为整数，
∴a可取18或19或20．
所以有三种具体方案：
①购进A种仪器18台，购进B种仪器64台；
②购进A种仪器19台，购进B种仪器67台；
③购进A种仪器20台，购进B种仪器70台．
变式14-2．（2019·贵州中考真题）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【答案】（1）租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）共有三种租车方案，方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
【详解】
（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，
，
解得，，
答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；
（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，
，
解得，，，，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
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