湘教版1.3 不共线三点确定二次函数的表达式教案及反思

1.3  不共线三点确定二次函数的表达式

教学目标

1．掌握用待定系数法确定二次函数的表达式.

2．知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.

教学重点、难点

重点：用待定系数法确定二次函数的表达式.

难点：知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.

教学设计

一.预习导学

学生通过自主预习P21-P23完成下列各题：

1. 二次函数的表达式

一般式：y= ax2+bx+c       

顶点式：y= y=a(x-h)2+k     

交点式： y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是抛物线与 x 轴的两个交点的 横 坐标.

2.用待定系数法确定二次函数表达式的步骤有哪些？

（1）设出合适的函数表达式；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程（方程组）；

（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数表达式.

设计意图：通过学生自主预习教材，初步理解掌握用待定系数法确定二次函数的表达式，知道满足何种条件的三点确定一个二次函数，培养学生的自学能力.

二.探究展示

(一)合作探究

我们学习过用待定系数法求一次函数的表达式， 一次函数的表达式是 y=ax+b        ，只要求出  a  和  b   的值，就可以确定一次函数的表达式.二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，因此，要确定这个表达式，就需要求出a，b，c的值.

与一次函数相类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标（也就是函数的三组对应值）， 将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值， 就可以确定二次函数的表达式. [来源:学科网]

1.已知一个二次函数的图象经过三点（1,3）（-1，-5），（3，-13 ）求这个二次函数的表达式.

解 设该二次函数的表达式为  y=ax2+bx+c 

将三个点的坐标（1，3），（-1，-5），（3，-13），分别代入函数表达式， 得

   到关于a，b，c的三元一次方程组：

解得 a=  -3  ，b= 4  ， c=  2

因此，所求的二次函数的表达式为   y=-3x2+4x+2   .

2.已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？

（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；

（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.

解 （1）设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过  P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：

解得 a=  2   ，b=  -4    ，c=  -3     .

因此，二次函数   y=2x2-4x-3   的图象经过P，Q，R 三点.

（2）设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过  P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：

解得 a=  0  ，b=  -4    ，c=  -1     .

因此，一次函数 y=-4x-1   的图象经过P，Q，M 三点.这说明没有一个这样的二次函数， 它的图象能经过P，Q，M三点.

例2中， 两点P（1，-5）， Q（-1，3）确定了一个一次函数y=-4x-1.点R（2，-3）的坐标不适合y=-4x-1，因此点R不在直线PQ 上，即P，Q，R三点不共线.

点M （ 2，-9）的坐标适合y=-4x-1，因此点M在直线PQ上， 即P，Q，M三点共线.

例2表明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数； 而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数.

可以证明：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 还可以证明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.[来

设计意图：通过探究，进一步理解掌握用待定系数法确定二次函数的表达式，知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.培养学生通过解决问题的能力.

(二)展示提升[来源XK]

1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（0，2）， B（1，3），C（-1，-1），

求这个二次函数的表达式.

2.已知二次函数的图象经过A（1，3）， B（-4，-12），C（3，-5）三点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求出这条抛物线与x轴、y轴的交点P、Q、R的坐标.

3.已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1=-3，x2=1，且与y轴的交点为（0,2），求这个二次函数的表达式.

设计意图： 可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题的能力；同时增强学生团结协作的精神。老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律。

三.知识梳理

以“本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.

1. 用待定系数法确定二次函数表达式的步骤:

（1）设出合适的函数表达式；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程（方程组）；

（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数表达式.

2. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.

四.当堂检测

1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1,0），B（0,2），C（2,0），求这个二次函数的表达式.

2.已知二次函数y=ax2+bx+c中的部分自变量x与所对应的函数值y如下表：

求当x=1时，y的函数值.

3.已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？

（1） P（1，6）， Q（2，11）， R（-1，14）；

（2） P（1，6）， Q（2，11）， M（-1，-4）

五.教学反思

这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识.通过充分的过程探究，学生容易掌握利用待定系数法求二次函数的表达式，知道满足何种条件的三点确定一个二次函数. 在教学过程中不断向学生渗透数形结合的方法，让学生在活动中感数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题.