2019年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学模拟试卷（含答案）

2019年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学模拟试卷

一．选择题（满分21分，每小题3分）

1．的相反数是（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

2．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°

4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≤5 B．k≤5，且k≠1 C．k＜5，且k≠1 D．k＜5

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则tanA的值是（　　）

A． B． C． D．

6．一次函数y＝kx+b的图象如图，当x＜0时，y的取值范围是（　　）

A．y＞0 B．y＜0 C．﹣1＜y＜0 D．y＜﹣1

7．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（　　）

A．AH＝DH≠AD B．AH＝DH＝AD C．AH＝AD≠DH D．AH≠DH≠AD

二．填空题（满分21分，每小题3分）

8．某天银川市的最低温度是﹣2℃，最高温度是13℃，这一天的温差是________℃．

9．在函数中，自变量x的取值范围是________．

10．因式分解：9a2﹣12a+4＝____________．

11．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为_________cm．

12．如图，A.B两地相距200km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是_____

13．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，重复上述过程，经过10次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的_______倍．

14．已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆柱的侧面展开图的面积为_______cm2．

三．解答题（共6小题，满分58分）

15．（8分）已知y是x的反比例函数，且当x＝﹣2时，y＝．

（1）求这个反比例函数解析式；

（2）分别求当x＝3和x＝﹣时函数y的值．

16．（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．

（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．

（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）

17．（10分）已知关于x的方程：（2+k）x2+2kx+（k+1）＝0．

（1）如果此方程只有一个实数根，求k的值；

（2）如果此方程有两个实数根，求k的取值范围；

（3）如果此方程无实数根，求k的取值范围．

18．（10分）在南京地铁二号线某路段铺轨工程中，先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天．请你根据以上信息，就“工作量”或“工作时间”，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．

19．（10分）已知，如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝60°，AE交⊙O于点B，E，且AB＝OC，求：（1）∠A的度数；

（2）∠AEO度数．

20．（12分）某兴趣小组对部分中小学生去年暑假看电视的时间进行了抽样调查，根据调查的数据绘制了频数、频率分布表和频数分布直方图（小时数取整数）．

（1）此次调查的样本容量是多少？

（2）补全频数、频率分布表和频数分布直方图；

（3）请估计1200名中小学生大约有多少学生暑假期间看电视的时间会低于60小时．

四．解答题（共3小题，满分24分）

21．（7分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

（1）求此二次函数解析式；

（2）连接DC.BC.DB，求证：△BCD是直角三角形；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（8分）如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1.⊙O2.⊙O3.⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．

阅读理解：

（1）如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB＝c时，⊙O恰好自转1周；

（2）如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°，⊙O在点B处自转周．

实践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若AB＝2c，则⊙O自转_______-周；若AB＝l，则⊙O自转　   　周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转_______周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转________周；

（2）如图3，∠ABC＝90°，AB＝BC＝c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转_______周．

拓展联想：

（1）如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由；

（2）如图5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．

23．（9分）全世界每年都有大量的土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已称为一项十分紧迫的任务．某地元有沙漠100万公顷，为了了解该地区沙漠面积的变化情况，有关部门进行了连续3年的观察，并将每年年底的观察结果坐了记录（如下表所示），然后根据这些数据描点、连线，绘成曲线图如图所示，发现其连续且成直线状．预计该地区的沙漠面积将继续按此趋势扩大．

（1）如果不采取任何措施，那么到第m年底，该地区的沙漠面积将变为多少万公顷？

（2）如果在第5年底，采取植树造林等措施，每年改造0.8万公顷沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到95万公顷？

五．解答题（共3小题，满分16分）

24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，在BD的延长线上取点C，使DC＝BD，AC与⊙O交于点E，DF⊥AC于点F．求证：

（1）DF是⊙O的切线；

（2）DB2＝CF•AB．

25．（8分）唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣将军饮马问题：

如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？

做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．

（1）观察发现

再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB＝CD＝AD＝2，∠D＝120°，点E.F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．

作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为　   　．

（2）实践运用

如图3，已知⊙O的直径MN＝1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．

（3）拓展迁移

如图4，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．

①求这条抛物线所对应的函数关系式；

②在抛物线的对称轴直线x＝1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）

26．如图，在某海域内有三个港口A.D.C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，测得港口C在B处的南偏东75°方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．

（1）试判断此时哪个港口离B处最近，说明理由，并求出最近距离．

（2）若海水以每小时48吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？

参考答案

一．选择题

1．解：的相反数是﹣．

故选：B．

2．解：∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限，

∴a+1＜0，b﹣2＞0，

解得：a＜﹣1，b＞2，

则﹣a＞1，1﹣b＜﹣1，

故点B（﹣a，1﹣b）在第四象限．

故选：D．

3．解：∵OB＝OC

∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，

∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°

故选：B．

4．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，

∴，

解得：k≤5且k≠1．

故选：B．

5．解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，

∴BC＝＝3，

∴tanA＝＝，

故选：C．

6．解：根据图象和数据可知，当x＜0即图象在y轴左侧时，y的取值范围是y＜﹣1．

故选：D．

7．解：由图形的对称性可知：AB＝AH，CD＝DH，

∵正方形ABCD，

∴AB＝CD＝AD，

∴AH＝DH＝AD．

故选：B．

二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）

8．解：13﹣（﹣2）

＝13+2

＝15（℃）．

故答案为：15．

9．解：根据题意，知，

解得：x≥4，

故答案为：x≥4．

10．解：9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2．

11．解：连接OA，

∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，

∴OD＝10﹣4＝6cm，

在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，

∵OC⊥AB，OC过O，

∴AB＝2AD＝16cm．

故答案为16．

12．解：∵A.B两地相距200km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，

∴离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是y＝200+120t（t≥0）．

故答案为：y＝200+120t（t≥0）．

13．

解：∵此六边形是正六边形，

∴∠1＝180°﹣120°＝60°，

∵AD＝CD＝BC，

∴△BCD为等边三角形，

∴BD＝AC，

∴△ABC是直角三角形

又BC＝AC，

∴∠2＝30°，

∴AB＝BC＝CD，

同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长（）2＝3倍，

∴经过10次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的（）10＝243倍．

故答案为：243．

14．解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即4π，宽为母线长为3cm，

所以它的面积为12πcm2．

三．解答题（共6小题，满分58分）

15．解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k 为常数且 k≠0），

将x＝﹣2，y＝代入y＝，得 k＝﹣1，

所以，所求函数解析式为y＝﹣；

（2）当x＝3时，y＝﹣；当x＝﹣时，y＝3．

16．解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，

∴∠FHE＝45°，

答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；

（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，

则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，

∴GM＝AB，HN＝EG，

在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，

∴AB＝BCtan60°＝1×＝，

∴GM＝AB＝，

在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，

∴HN＝AHsin45°＝×＝，

∴EM＝EG+GM＝+，

答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．

17．解：（1）当方程是一次方程时，方程只有一个实数根，

此时2+k＝0，解得k＝﹣2

当k＝﹣2时，2k＝﹣4≠0，

即方程只有一个实数根，k的为：k＝﹣2时；

（2）若方程有两个实数根，需满足：

△＝（2k）2﹣4（2+k）（k+1）≥0，且2+k≠0

解得：k≤﹣且k≠﹣2；

即方程有两个实数根，k的取值范围为：k≤﹣且k≠﹣2；

（3）当△＜0时，方程无实数根，

即（2k）2﹣4（2+k）（k+1）＜0，

解得：k＞﹣．

即方程无实数根，k的取值范围为：k＞﹣．

18．解：本题答案不惟一，下列解法供参考．

解法一问题：甲工程队单独完成这项任务需要多少天？（2分）

解：设甲工程队单独完成这项任务需要x天，则乙工程队单独完成这项任务需要（x+2）天．

根据题意，得（4分），

解得x1＝4，x2＝﹣1（舍去），

∴x＝4（5分）

答：甲工程队单独完成这项任务需要4天．（6分）

解法二问题：乙工程队单独完成这项任务需要多少天？（2分）

解：设乙工程队单独完成这项任务需要x天，则乙工程队单独完成这项任务需要（x﹣2）天．

根据题意，得，（4分）

解得x1＝6，x2＝1（舍去），

∴x＝6．（5分）

答：乙工程队单独完成这项任务需要6天．（6分）

19．解：（1）连接OB，

∵∠EOD＝60°，

∵AB＝OC，OC＝OB＝OE，

∴∠AOB＝∠A，∠OBE＝∠E，

∵∠OBE＝∠A+∠AOB＝2∠A，

∴∠E＝2∠A，

∵∠EOD＝∠A+∠E，

∴3∠A＝60°，

∴∠A＝20°；

（2）∵AB＝OC＝OB，

∴∠OBE＝2∠A＝40°，

∵OB＝OE，

∴∠AEO＝∠EBO＝40°．

20．解：（1）由频率分布表可知，此次调查的样本容量是100；

（2）如图：

（3）1200×（0.2+0.25+0.3）＝1200×＝900，即1200名中小学生大约有900学生暑假期间看电视的时间会低于60小时．

四．解答题（共3小题，满分24分）

21．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根据题意，得，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），

∴CD＝＝，

BC＝＝3，

BD＝＝2，

∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，

∴CD2+BC2＝BD2，

∴△BCD是直角三角形；

（3）存在．

y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．

①若以CD为底边，则P1D＝P1C，

设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，

因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，

即y＝4﹣x．

又P1点（x，y）在抛物线上，

∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，

即x2﹣3x+1＝0，

解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，

∴x＝，

∴y＝4﹣x＝，

即点P1坐标为（，）．

②若以CD为一腰，

∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，

此时点P2坐标为（2，3）．

∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．

22．解：实践应用

（1）2；．；．

（2）．

拓展联想

（1）∵△ABC的周长为l，

∴⊙O在三边上自转了周．

又∵三角形的外角和是360°，

∴在三个顶点处，⊙O自转了＝1（周）．

∴⊙O共自转了（+1）周．

（2）∵多边形外角和等于360°

∴所做运动和三角形的一样：（+1）周．

23．解：（1）设沙漠的面积与时间x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得

，

解得：，

解得：y＝0.2x+100

当x＝m时，y＝0.2m+100．

答：第m年底，该地区的沙漠面积将变为（0.2m+100）万公顷；

（2）当x＝5时，y＝0.2×5+100＝101（万公顷）．

设需要a年，该地区的沙漠面积能减少到95万公顷，由题意，得

101﹣0.8a＝95，

解得：a＝7.5．

答：需要7.5年，该地区的沙漠面积能减少到95万公顷．

五．解答题（共3小题，满分16分）

24．证明（1）如图1，连接OD，

∵OA＝OB，BD＝DC，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）如图2，连接AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴AD⊥BC，

又∵BD＝DC，

∴AB＝AC，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝90°，

∴∠DFC＝∠ADC＝90°，

又∵∠C＝∠C，

∴△CDF∽△CAD，

∴，即：CD2＝CF•AC．

又∵BD＝CD，AB＝AC，

∴DB2＝CF•AB．

25．解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，且∠BAD＝∠D＝120°，

∴∠ABC＝60°；

在△ADC中，AD＝CD＝2，∠D＝120°，所以∠DAC＝∠DCA＝30°；

∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，即△BAC为直角三角形；

在Rt△BAC中，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°﹣60°＝30°，AB＝2，所以AC＝AB•tan60°＝2；

由于B.C关于直线EF对称，根据阅读资料可知BP+AP的最小值为线段AC的长，即2．

（2）如图（2），作点A关于直径MN的对称点C，连接BC，则BC与直径MN的交点为符合条件的点P，BC的长为BP+AP的最小值；

连接OA，则∠AON＝2∠AMN＝60°；

∵点B是的中点，

∴∠BON＝∠AON＝30°；

∵A.C关于直径MN对称，

∴＝，则∠CON＝∠AON＝60°；

∴∠BOC＝∠BON+∠CON＝90°，又OC＝OB＝MN＝，

在等腰Rt△BOC中，BC＝OB＝；

即：BP+AP的最小值为．

（3）①依题意，有：

，解得

∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；

②取点C关于抛物线对称轴x＝1的对称点D，根据抛物线的对称性，得：D（2，﹣3）；

连接AD，交抛物线的对称轴于点M，如图（3）﹣②；

设直线AD的解析式为y＝kx+b，代入A（﹣1，0）、D（2，﹣3），得：

，解得

∴直线AD：y＝﹣x﹣1，M（1，﹣2）；

∴△ACM的周长最小值：lmin＝AC+AD＝+3．

26．解：（1）连接AC.AD.BC.BD，过B作BP⊥AC于点P．

由已知得∠BAD＝90°，∠BAC＝30°，AB＝3×25＝75（海里），

从而（海里）．

∵港口C在B处的南偏东75°方向上，

∴∠CBP＝45°．在等腰Rt△CBP中，（海里），

∴BC＜AB．

∵△BAD是Rt△，

∴BD＞AB．

综上，可得港口C离B点位置最近，为海里．

（2）设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，

则据题意有，

解不等式，得（海里）．

答：此船应以速度至少不低于每小时海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．