2019福建省中考数学试题及答案

2019年福建省中考数学试题及答案

一、选择题(每小题4分，共40分)

1.计算22+(－1)°的结果是(   ).

 A.5           B.4          C.3           D.2

2.北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为(   ).

 A.72×104      B.7.2×105     C.7.2×106      D. 0.72×106

3.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是(   ).

 A.等边三角形  B.直角三角形 C.平行四边形  D.正方形

4.右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是(   ).

5.已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为(   ).

 A.12          B.10         C.8           D.6

6.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是(   ).

 A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定

 B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好

 C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高

 D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

7.下列运算正确的是(   ).

 A.a·a3= a3                 B.(2a)3=6a3

 C. a6÷a3= a2               D.(a2)3－(－a3)2=0

8.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是(   ).

A. x+2x+4x=34 685           B. x+2x+3x=34 685

 C. x+2x+2x=34 685           D. x+x+x=34 685

9.如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，

 且∠ACB＝55°，则∠APB等于(   ).

 A.55°           B.70°           C.110°             D.125°

10.若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是(   ).

 A. y1< y2< y3      B. y1 < y3< y2     C. y3< y2< y1        D. y2< y3< y1

二、填空题(每小题4分，共24分)

11.因式分解：x2－9=__( x+3)( x－3)_____.

12.如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2，

 点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是__－1_____.

13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有__1200_____人.

14.中在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、

 B(4,2),则其第四个顶点是是__(1,2)_____.

15.如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,

 E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积

 是__－1_____.(结果保留)

16.如图,菱形ABCD顶点A在例函数y=(x>0)的图象上，函数

  y=(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D

 两点，若AB＝2，∠DAB＝30°，则k的值为_6+2______.

三、解答题(共86分)

17. (本小题满分8分)

解方程组：

解：

18. (本小题满分8分)

如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE.

求证：AF=CE.

解：（略）

19. (本小题满分8分)

先化简，再求值：(x－1)÷(x－),其中x =+1

解：原式=,  1+

20. (本小题满分8分)

如图，已知△ABC为和点A'.

(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;

 (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.

(2)证明(略)

21. (本小题满分8分)

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.

(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；

(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.

22.(本小题满分10分)

某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.

(1)求该车间的日废水处理量m；

(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.

解：(1)∵处理废水35吨花费370，且＝>8，∴m<35,

   ∴30+8m +12(35－m)＝370，m＝20

(2)设一天生产废水x吨,则

   当0< x≤20时，8x+30≤10 x，  15≤x≤20

   当x>20时，12(x－20)+160+30≤10x，  20<x≤25

    综上所述，15≤x≤20

23.(本小题满分10分)

某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；

(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；

(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？

解：

(1)0.6

(2)购买10次时，

此时这100台机器维修费用的平均数

y1=(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝27300

购买11次时，

此时这100台机器维修费用的平均数

y2=(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500

所以，选择购买10次维修服务.

24. (本小题满分12分)

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.

(1)求证：∠BAC=2∠DAC；

(2)若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值.

解：

(1)∵BD⊥AC，CD=CD，

∴∠BAC=2∠CBD=2∠CAD;

(2)∵DF=DC，

∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=∠FBC,

∴CB=CF,

又BD⊥AC，

∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10.

又BC＝4，

设AE＝x, CE=10－x,

 AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6

∴AE=6,BE=8,CE=4,("1,2,";"3,4,5";Rt△组合)

∴DE===3,

作DH⊥AB，垂足为H，则

DH=BD·sin∠ABD=11×=,  BH= BD·cos∠ABD=11×=

∴AH=10－＝

∴tan∠BAD===

25.已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.

(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；

(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于

 直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线.

解：(1) y=a(x－2)2, c=4a;

(2) y=kx+1－k= k(x－1)+1过定点(1,1),

且当k＝0时，直线l变为y=1平行x轴,与轴的交点为(0,1)

又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点

①c=1，顶点A(1,0)

  抛物线的解析式: y= x2－2x+1.

②

   x2－(2+k)x+k＝0,

   x＝(2+k±)

  xD＝xB＝(2+k－), yD=－1；  D

  yC＝(2+k2+k, 

 C,  A(1,0)

∴直线AD的斜率k AD==,

  直线AC的斜率k AC=

∴k AD= k AC, 点A、C、D三点共线.