2020年四川省凉山州中考数学试卷

2020年四川省凉山州中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．

1．（4分）　　

A．1 B． C．2020 D．

2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是　　

A． B． C． D．

3．（4分）点 关于轴对称的点的坐标是　　

A． B． C． D．

4．（4分）已知一组数据1，0，3，，，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是　　

A． B．3 C．和3 D．1和3

5．（4分）一元二次方程的根为　　

A． B． C．或 D．或

6．（4分）下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

7．（4分）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（4分）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为　　

A． B． C． 或 D． 或

9．（4分）下列命题是真命题的是　　

A．顶点在圆上的角叫圆周角 

B．三点确定一个圆 

C．圆的切线垂直于半径 

D．三角形的内心到三角形三边的距离相等

10．（4分）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为　　

A． B． C．2 D．

11．（4分）如图，等边三角形和正方形都内接于，则　　

A． B． C． D．

12．（4分）二次函数的图象如图所示，有如下结论：

①；

②；

③；

④为实数）．

其中正确结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

13．（4分）函数中，自变量的取值范围是　 　．

14．（4分）因式分解：　　．

15．（4分）如图，的对角线、相交于点，交于点，若，的周长等于5，则的周长等于　　．

16．（4分）如图，点、分别是半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为　　．

17．（4分）如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（5分）解方程：．

19．（5分）化简求值：，其中．

20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？

21．（7分）某校团委在“五四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取、、、四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．

（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品　　件；在扇形统计图中表示班的扇形的圆心角的度数为　　；

（2）补全条形统计图；

（3）第一批评比中，班班各有一件、班班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．

22．（8分）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，平分交半圆于点，过点作与的延长线交于点．

（1）求证：是半圆的切线；

（2）若，，求半圆的直径．

四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则的取值范围是　　．

24．（5分）如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为　　．

五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25．（8分）如图，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点、点以相同的速度，同时从点、点出发．

（1）如图1，连接、．求证：；

（2）如图1，当点、分别在、边上运动时，、相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，当点、在、的延长线上运动时，直线、相交于，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

26．（10分）如图，已知直线．

（1）当反比例函数的图象与直线在第一象限内至少有一个交点时，求的取值范围．

（2）若反比例函数的图象与直线在第一象限内相交于点，、，，当时，求的值，并根据图象写出此时关于的不等式的解集．

27．（10分）如图，的半径为，其内接锐角三角形中，、、所对的边分别是、、．

（1）求证：；

（2）若，，，利用（1）的结论求的长和的值．

28．（12分）如图，二次函数的图象过、、，三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若线段的垂直平分线与轴交于点，与二次函数的图象在轴上方的部分相交于点，求直线的解析式；

（3）在直线下方的二次函数的图象上有一动点，过点作轴，交直线于，当线段的长最大时，求点的坐标．

2020年四川省凉山州中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．

1．（4分）　　

A．1 B． C．2020 D．

【解答】解：．

故选：．

2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；

、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；

、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；

、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．

故选：．

3．（4分）点 关于轴对称的点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是．

故选：．

4．（4分）已知一组数据1，0，3，，，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是　　

A． B．3 C．和3 D．1和3

【解答】解：数据1，0，3，，，2，3的平均数是1，

，

解得，

则这组数据为1，0，3，，，2，3，

这组数据的众数为和3，

故选：．

5．（4分）一元二次方程的根为　　

A． B． C．或 D．或

【解答】解：，

，

则，

或，

解得，，

故选：．

6．（4分）下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：．，此选项计算错误；

．，此选项错误；

．，此选项正确；

．无意义，此选项错误；

故选：．

7．（4分）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意得，

解得．

故选：．

8．（4分）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为　　

A． B． C． 或 D． 或

【解答】解：是线段的中点，，

，

点是线段的三等分点，

①当时，如图，

；

②当时，如图，

．

所以线段的长为或，

故选：．

9．（4分）下列命题是真命题的是　　

A．顶点在圆上的角叫圆周角 

B．三点确定一个圆 

C．圆的切线垂直于半径 

D．三角形的内心到三角形三边的距离相等

【解答】解：、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；

、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；

、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；

、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；

故选：．

10．（4分）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为　　

A． B． C．2 D．

【解答】解：如图，连接，由网格的特点可得，，

，，

，

故选：．

11．（4分）如图，等边三角形和正方形都内接于，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接、、，过作于，如图所示：

则，

正方形和等边三角形都内接于，

，，

，

是等腰直角三角形，，

，，

，

，

故选：．

12．（4分）二次函数的图象如图所示，有如下结论：

①；

②；

③；

④为实数）．

其中正确结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①对称轴在轴右侧，

、异号，

，

，

，

故①正确；

②对称轴，

；

故②正确；

③，

，

当时，，

，

，

故③正确；

④根据图象知，当时，有最小值；

当为实数时，有，

所以为实数）．

故④正确．

本题正确的结论有：①②③④，4个；

故选：．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

13．（4分）函数中，自变量的取值范围是　　．

【解答】解：由题意得，，

解得．

故答案为：．

14．（4分）因式分解：　　．

【解答】解：．

15．（4分）如图，的对角线、相交于点，交于点，若，的周长等于5，则的周长等于　16　．

【解答】解：四边形是平行四边形，

，，，

，

是的中位线，

，，

的周长等于5，

，

，

，

的周长；

故答案为：16．

16．（4分）如图，点、分别是半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为　3　．

【解答】解：连接、、．

和等底等高，

．

点，为半圆的三等分点，

，

阴影部分的面积，

阴影部分的面积是，

，

，

故答案为3．

17．（4分）如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为　12　．

【解答】解：设的坐标是，则的坐标是．

矩形的面积为，

，

．

把的坐标代入函数解析式得：，

．

故答案为12．

三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（5分）解方程：．

【解答】解：去分母，得：，

去括号，得：，

移项，得：，

合并同类项，得：，

系数化为1，得：．

19．（5分）化简求值：，其中．

【解答】解：原式

，

当时，

原式

．

20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？

【解答】解：四边形为正方形，

，

；

设正方形零件的边长为 ，则，，

，

，

，

，

，

解得：．

答：正方形零件的边长为．

21．（7分）某校团委在“五四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取、、、四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．

（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品　24　件；在扇形统计图中表示班的扇形的圆心角的度数为　　；

（2）补全条形统计图；

（3）第一批评比中，班班各有一件、班班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．

【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品（件，

则班级作品数为（件，

在扇形统计图中表示班的扇形的圆心角的度数为，

故答案为：24、；

（2）补全图形如下：

（3）列表如下：

由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，

抽取的作品来自两个不同班级的概率为．

22．（8分）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，平分交半圆于点，过点作与的延长线交于点．

（1）求证：是半圆的切线；

（2）若，，求半圆的直径．

【解答】（1）证明：连接，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

是半圆的切线；

（2）解：连接交于，

是半圆的直径，

，

四边形是矩形，

，，

，

，

，

，

即半圆的直径为12．

四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则的取值范围是　　．

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组有4个整数解，

，

解得：，

故答案为：．

24．（5分）如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为　10　．

【解答】解：如图，连接，，

四边形是矩形，

，

，，

，

，

，

由折叠得：，

，

当、、共线时，最小，

；

故答案为：10．

五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25．（8分）如图，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点、点以相同的速度，同时从点、点出发．

（1）如图1，连接、．求证：；

（2）如图1，当点、分别在、边上运动时，、相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，当点、在、的延长线上运动时，直线、相交于，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

【解答】解：（1）证明：如图1，是等边三角形

，，

又点、运动速度相同，

，

在与中，

，

；

（2）点、在、边上运动的过程中，不变．

理由：，

，

是的外角，

，

；

（3）如图2，点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变

理由：同理可得，，

，

是的外角，

，

，

即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为．

26．（10分）如图，已知直线．

（1）当反比例函数的图象与直线在第一象限内至少有一个交点时，求的取值范围．

（2）若反比例函数的图象与直线在第一象限内相交于点，、，，当时，求的值，并根据图象写出此时关于的不等式的解集．

【解答】解：（1）将直线的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：，

由题意得：△，解得：，

故的取值范围；

（2）设点，而，则点，

点、都在反比例函数上，故，解得：，

故点、的坐标分别为、；

将点的坐标代入反比例函数表达式并解得：，

观察函数图象知，当时，或．

27．（10分）如图，的半径为，其内接锐角三角形中，、、所对的边分别是、、．

（1）求证：；

（2）若，，，利用（1）的结论求的长和的值．

【解答】（1）证明：作直径，连接，如图所示：

则，，

，

，

同理：，，

；

（2）解：由（1）得：，

即，

，，

过作于，

，

，，

，

．

28．（12分）如图，二次函数的图象过、、，三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若线段的垂直平分线与轴交于点，与二次函数的图象在轴上方的部分相交于点，求直线的解析式；

（3）在直线下方的二次函数的图象上有一动点，过点作轴，交直线于，当线段的长最大时，求点的坐标．

【解答】解：（1）将点、、的坐标代入抛物线表达式得，解得，

故抛物线的表达式为：；

（2）由点的坐标知，直线的倾斜角为，则中垂线与负半轴的夹角为，

故设的表达式为：，而中点的坐标为，，

将该点坐标代入表达式并解得：，

故直线的表达式为：；

（3）设点，则点，

则，

，故有最大值，此时点的坐标为，．