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寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第七讲 二次函数与面积问题（学生版）
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这是一份寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第七讲 二次函数与面积问题（学生版），共9页。教案主要包含了变式训练1，规律方法，变式训练2，变式训练3，变式训练4等内容，欢迎下载使用。
明确目标﹒定位考点
二次函数是初中代数的重要内容之一，中考通常放在压轴题的位置来考查，主要考查二次函数的图像及性质（解析式、增减性、最值），并且通常以二次函数图像抛物线为背景，综合考查函数图像与几何图形性质。占比15分左右。
热点聚焦﹒考点突破
考点1 直接求三角形的面积
若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为________。
【变式训练1】 已知二次函数与x轴交于AB两点，顶点为C，则△ABC的面积为________。
【规律方法】直接套三角形面积公式。
考点2 分割法求图形的面积
【例2】）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线交于A，B两点．
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
【变式训练2】已知二次函数的图像与x轴的交点从右向左为A、B两点，与y轴交点为C，顶点为D，求四边形ABCD的面积。
【规律方法】分割法求图形面积适于斜三角形及四边形。三角形分割成两个底和高与坐标轴平行（或垂直）的三角形，四边形分割成几个三角形。
考点3 扩充法求图形面积
【例3】已知：如图抛物线过点A（0,3），抛物线与抛物线关于y轴对称，抛物线的对称轴交轴于点B，点Q是第四象限内抛物线上的一点。
（1）求出抛物线的解析式；
（2）是否存在点Q使得△QAB的面积最大？若存在，请求出△QAB的最大面积；若不存在，说明理由.
【变式训练3】如图， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
【规律方法】 扩充法求图形面积即把原图扩为可求的图形，再用减法求所求图形的面积。
考点4 动态问题与面积
【例4】如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米。
（1）当t=4时，求S的值
（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值
【变式训练4】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值。
【规律方法】 动态问题中求图形的最大面积，利用二次函数的最值性质来解决。
归纳总结﹒思维升华
抛物线背景下，常见的有以下几何图形：
注意：
取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边。
三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解。（即采用割补法的方法把它分解成易于求出面积的图形）
在求图形的面积时常常使用到以下公式：
抛物线解析式：
抛物线与x轴两交点的距离AB=
抛物线顶点坐标
抛物线与y轴交点（0，c）
专题训练﹒对接中考
一、解答题。
1.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C，A点在原点的左侧，B点的坐标为。点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。
作业：
一、解答题。
1.已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；
2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；求此抛物线的表达式与点D的坐标；
（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
明确目标﹒定位考点
二次函数是初中代数的重要内容之一，中考通常放在压轴题的位置来考查，主要考查二次函数的图像及性质（解析式、增减性、最值），并且通常以二次函数图像抛物线为背景，综合考查函数图像与几何图形性质。占比15分左右。
热点聚焦﹒考点突破
考点1 直接求三角形的面积
若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为________。
【变式训练1】 已知二次函数与x轴交于AB两点，顶点为C，则△ABC的面积为________。
【规律方法】直接套三角形面积公式。
考点2 分割法求图形的面积
【例2】）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线交于A，B两点．
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
【变式训练2】已知二次函数的图像与x轴的交点从右向左为A、B两点，与y轴交点为C，顶点为D，求四边形ABCD的面积。
【规律方法】分割法求图形面积适于斜三角形及四边形。三角形分割成两个底和高与坐标轴平行（或垂直）的三角形，四边形分割成几个三角形。
考点3 扩充法求图形面积
【例3】已知：如图抛物线过点A（0,3），抛物线与抛物线关于y轴对称，抛物线的对称轴交轴于点B，点Q是第四象限内抛物线上的一点。
（1）求出抛物线的解析式；
（2）是否存在点Q使得△QAB的面积最大？若存在，请求出△QAB的最大面积；若不存在，说明理由.
【变式训练3】如图， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
【规律方法】 扩充法求图形面积即把原图扩为可求的图形，再用减法求所求图形的面积。
考点4 动态问题与面积
【例4】如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米。
（1）当t=4时，求S的值
（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值
【变式训练4】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值。
【规律方法】 动态问题中求图形的最大面积，利用二次函数的最值性质来解决。
归纳总结﹒思维升华
抛物线背景下，常见的有以下几何图形：
注意：
取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边。
三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解。（即采用割补法的方法把它分解成易于求出面积的图形）
在求图形的面积时常常使用到以下公式：
抛物线解析式：
抛物线与x轴两交点的距离AB=
抛物线顶点坐标
抛物线与y轴交点（0，c）
专题训练﹒对接中考
一、解答题。
1.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C，A点在原点的左侧，B点的坐标为。点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。
作业：
一、解答题。
1.已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；
2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；求此抛物线的表达式与点D的坐标；
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