2021年中考数学专题复习 专题10 分式方程及其应用（教师版含解析）

专题10 分式方程及其应用

1．的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

(1)去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);

(2)按解整式方程的步骤求出未知数的值;

(3)验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。

【例题1】(2020•哈尔滨)方程的解为(　　)

A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9

【答案】D

【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．

【解析】方程的两边同乘(x+5)(x﹣2)得：

2(x﹣2)＝x﹣5，

解得x＝9，

经检验，x＝9是原方程的解．

【对点练习】(2019▪黑龙江哈尔滨)方程＝的解为(　　)

A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝

【答案】C

【解析】将分式方程化为，即可求解x＝；同时要进行验根即可求解。

＝，

，

∴2x＝9x﹣3，

∴x＝；

将检验x＝是方程的根，

∴方程的解为x＝

【点拨】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．

【例题2】(2020•齐齐哈尔)若关于x的分式方程5的解为正数，则m的取值范围为(　　)

A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 

C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6

【答案】D

【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．

【解析】去分母得：3x＝﹣m+5(x﹣2)，

解得：x，

由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，

则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，

【对点练习】(2019•江苏宿迁)关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是　　．

【答案】a＜5且a≠3．

【解析】去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，

解得：x＝5﹣a，

5﹣a＞0，

解得：a＜5，

当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，

故a＜5且a≠3．

【点拨】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．

【例题3】(2020•长沙)随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得(　　)

A． B． 

C． D．

【答案】B

【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，

依题意，得：．

【对点练习】(2019吉林长春)为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.

【答案】300套．

【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，

由题意得：，

解得：x=300，

经检验，x=300是原方程的解，且符合题意。

【点拨】这样考虑理解容易一些：原计划m天完成，有mx=9000，实际(m-5)天完成，有(m-5)2x=9000.

【例题4】(2020贵州黔西南)“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

(1)A型自行车去年每辆售价多少元；

(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．

【答案】(1) 2000元；(2) A型车20辆，B型车40辆．

【解析】(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x﹣200)元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；

(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60﹣a)辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．

【详解】解：(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x﹣200)元，由题意，得

，

解得：x=2000．

经检验，x=2000是原方程的根．

答：去年A型车每辆售价为2000元；

(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60﹣a)辆，获利y元，由题意，得

y=a+(60﹣a)，

y=﹣300a+36000．

∵B型车进货数量不超过A型车数量的两倍，

∴60﹣a≤2a，

∴a≥20．

∵y=﹣300a+36000．

∴k=﹣300＜0，

∴y随a的增大而减小．

∴a=20时，y最大=30000元．

∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．

∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．

【点拨】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

【对点练习】(2020•广东)某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．

(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？

(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．

【答案】见解析。

【分析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的这个等量关系列出方程即可．

(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90﹣a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．

【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，

根据题意得：，

解得：x＝3，

经检验x＝3是原方程的解，

所以3+2＝5，

答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；

(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90﹣a)个，

由题意得：90﹣a≥3a，

解得a≤22.5，

∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，

∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，

此时最大费用为：22×40×5+30×(90﹣22)×3＝10520，

答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．

一、选择题

1．(2020•黑龙江)已知关于x的分式方程4的解为正数，则k的取值范围是(　　)

A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2

【答案】B

【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可．

【解析】分式方程4，

去分母得：x﹣4(x﹣2)＝﹣k，

去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，

解得：x，

由分式方程的解为正数，得到0，且2，

解得：k＞﹣8且k≠﹣2．

2．(2020•泸州)已知关于x的分式方程2的解为非负数，则正整数m的所有个数为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．

【解析】去分母，得：m+2(x﹣1)＝3，

移项、合并，得：x，

∵分式方程的解为非负数，

∴5﹣m≥0且1，

解得：m≤5且m≠3，

∴正整数解有1，2，4，5共4个.

3．(2020•成都)已知x＝2是分式方程1的解，那么实数k的值为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．

【解析】把x＝2代入分式方程得：1＝1，

解得：k＝4．

4.(2019•广东省广州市)甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是(　　)

A．＝ B．＝ 

C．＝ D．＝

【答案】

【解析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．

设甲每小时做x个零件，可得：

5.(2019黑龙东地区)已知关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是(   )

A．m≤3   B．m＜3   C．m＞－3   D．m≥－3

【答案】A

【解析】知识点是分式方程的增根。

由得x=m-3，

∵方程的解是非正数，

∴m-3≤0，∴m≤3.

当x-3=0即x=3时，3=m-3，m=6，

∵m=6不在m≤3内，∴m≤3.故选A.

6.(2019山东淄博)解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是(　　)

A．﹣1+x＝﹣1﹣2(x﹣2) B．1﹣x＝1﹣2(x﹣2) 

C．﹣1+x＝1+2(2﹣x)D．1﹣x＝﹣1﹣2(x﹣2)

【答案】D

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．

去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2(x﹣2)

7.(2019•广西贵港)若分式的值等于0，则x的值为(　　)

A．±1B．0C．﹣1D．1

【答案】D

【解析】化简分式＝＝x﹣1＝0即可求解。

＝＝x﹣1＝0，

∴x＝1；

经检验：x＝1是原分式方程的解。

8.(2019•湖北十堰)十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是(　　)

A．﹣＝15 B．﹣＝15 

C．﹣＝20 D．﹣＝20

【答案】A

【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．

设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程．

设原计划每天铺设钢轨x米，可得：

9. (2019•山东省济宁市)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是(　　)

A．﹣＝45B．﹣＝45 

C．﹣＝45D．﹣＝45

【答案】A

【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案．

设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：

﹣＝45．

10.(2019•江苏苏州)小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为(   )

A． B． C．  D．

【答案】A

【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量

二、填空题

11．(2020•徐州)方程的解为　     　．

【答案】x＝9．

【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可．

【解析】去分母得：

9(x﹣1)＝8x

9x﹣9＝8x

x＝9

检验：把x＝9代入x(x﹣1)≠0，

所以x＝9是原方程的解．

12．(2020•盐城)分式方程0的解为x＝　   　．

【答案】1

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解析】分式方程0，

去分母得：x﹣1＝0，

解得：x＝1，

经检验x＝1是分式方程的解．

13．(2020•广元)关于x的分式方程2＝0的解为正数，则m的取值范围是　     　．

【答案】m＜2且m≠0．

【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．

【解析】去分母得：m+4x﹣2＝0，

解得：x，

∵关于x的分式方程2＝0的解是正数，

∴0，

∴m＜2，

∵2x﹣1≠0，

∴21≠0，

∴m≠0，

∴m的取值范围是m＜2且m≠0．

14.(2019•甘肃)分式方程＝的解为　　．

【答案】x＝

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

去分母得：3x+6＝5x+5，

解得：x＝，

经检验x＝是分式方程的解．

15.(2019•山东省滨州市)方程+1＝的解是　　．

【答案】x＝1．

【解析】本题考查了解分式方程．(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，(2)解分式方程一定注意要验根．

去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，

移项、合并，得2x＝2，

解得x＝1，

检验：当x＝1时，x﹣2≠0，

所以，原方程的解为x＝1

16.(2019▪湖北黄石)分式方程：﹣＝1的解为　　．

【答案】x＝﹣1

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

去分母得：4﹣x＝x2﹣4x，即x2﹣3x﹣4＝0，

解得：x＝4或x＝﹣1，

经检验x＝4是增根，分式方程的解为x＝﹣1

17.(2019四川巴中)若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为　　．

【答案】1

【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．

方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m(x﹣2)

∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣2＝0，

解得x＝2，

当x＝2时，m＝1

故m的值是1

18.(2019•江苏宿迁)关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是　　．

【答案】a＜5且a≠3．

【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．

去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，

解得：x＝5﹣a，

5﹣a＞0，

解得：a＜5，

当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，

故a＜5且a≠3．

19.(2019•贵州省安顺市)某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为　　．

【答案】﹣＝20．

【解析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，

依题意，得：﹣＝20．

故答案为：﹣＝20．

20. (2019黑龙江绥化)甲乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200km的B地,甲,乙两车的速度之比是4:5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车速度为______km/h.

【答案】80

【解析】分式方程的应用。

设甲车速度为4x,乙车速度为5x,根据题意得:,

解之,得x＝20,∴甲车速度为4x＝80.

三、解答题

21．(2020•湘潭)解分式方程：2．

【答案】见解析。

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解析】

去分母得，3+2(x﹣1)＝x，

解得，x＝﹣1，

经检验，x＝﹣1是原方程的解．

所以，原方程的解为：x＝﹣1．

22．(2020•陕西)解分式方程：1．

【答案】见解析。

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解析】方程1，

去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，

解得：x，

经检验x是分式方程的解．

24．(2020•牡丹江)某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：

(1)A，B两种书包每个进价各是多少元？

(2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？

(3)该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？

【答案】见解析。

【分析】(1)设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为(x+20)元，根据数量＝总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)设该商场购进m个A种书包，则购进(2m+5)个B种书包，根据购进A，B两种书包的总费用不超过5450元且A种书包不少于18个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；

(3)设销售利润为w元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有(5﹣a)个，样品中A种书包有(4﹣b)个，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，(5﹣a)，(4﹣b)均为正整数，即可求出结论．

【解析】(1)设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为(x+20)元，

依题意，得：2，

解得：x＝70，

经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，

∴x+20＝90．

答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元．

(2)设该商场购进m个A种书包，则购进(2m+5)个B种书包，

依题意，得：，

解得：18≤m≤20．

又∵m为正整数，

∴m可以为18，19，20，

∴该商场有3种进货方案，方案1：购买18个A种书包，41个B种书包；方案2：购买19个A种书包，43个B种书包；方案3：购买20个A种书包，45个B种书包．

(3)设销售利润为w元，则w＝(90﹣70)m+(130﹣90)(2m+5)＝100m+200．

∵k＝100＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m＝20时，w取得最大值，此时2m+5＝45．

设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有(5﹣a)个，样品中A种书包有(4﹣b)个，

依题意，得：90×[20﹣(5﹣a)﹣(4﹣b)]+0.5×90(4﹣b)+130(45﹣a﹣b)+0.5×130b﹣70×20﹣90×45＝1370，

∴b＝10﹣2a．

∵a，b，(5﹣a)，(4﹣b)均为正整数，

∴．

答：赠送的书包中B种书包有4个，样品中B种书包有2个．