2021新高考数学二轮总复习专题二函数与导数2.3热点小专题二导数的应用学案含解析

2.3　热点小专题二、导数的应用
必备知识精要梳理
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0).
2.常用的导数及求导法则
(1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(ex)'=ex,(ln x)'=1x,(ax)'=axln a,(logax)'=1xlna.
(2)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)g2(x)[g(x)≠0].
3.函数的极值、最值
(1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
关键能力学案突破

热点一
利用导数求曲线的切线


【例1】(1)(2020福建福州模拟,理7)已知函数f(x)为偶函数,当x0或f'(x)e2 C.m>1 D.m>e
(2)函数f(x)=ln x+12x2-ax(x>0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A.52,3 B.52,103
C.52,103 D.2,103
解题心得在有关函数不等式恒成立的情况下求参数的范围问题,通过对问题的转化,一般都变成通过研究函数的极值、最值得到参数的范围;能分离出参数更是直接求最值问题.已知函数的极值点求参数的问题,最终还是通过求最值得到解决.
【对点训练4】设函数f(x)=3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]20),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?









解题心得关于三角函数,几何体的表面积、体积及实际问题中的最值问题,一开始想到的往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.
【对点训练6】(1)(2020湖南湘潭三模,理7)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕(　　)
A.8万斤 B.6万斤
C.3万斤 D.5万斤

(2)(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为　　　　　cm. 

核心素养微专题(二)
例析“数学建模”在导数研究函数中的应用
【例1】已知f(x)=x+1,g(x)=ln x,若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2+ln 2
C.2-ln 2 D.2
核心素养分析要求x2-x1的最小值,需要建立关于x2-x1的函数模型,即用某一个量表示出x2-x1,依据已知条件,可设f(x1)=g(x2)=t,从而用t表示出x2和x1,从而得到关于x2-x1的函数模型,研究函数模型得出最值.
【例2】(2020安徽马鞍山二模,12)已知函数f(x)的定义域为-π2,π2,f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)cos x+f(x)sin x0,
所以h(t)在(0,1]上单调递增.
所以h(t)max=h(1)=-13.
所以a≥-13.
当-1≤t0,所以只需lnx+1x-a≤0,
即a≥lnx+1x在1e,e上恒成立.令g(x)=lnx+1x.
因为g'(x)=1x-1x2=x-1x2.由g'(x)=0,得x=1.则g(x)在1e,1内单调递减,在(1,e)内单调递增,
g1e=ln1e+e=e-1,g(e)=1+1e,因为e-1>1+1e,
所以g(x)max=g1e=e-1.
故a的取值范围为[e-1,+∞).
【例4】(1)B　(2)B　解析(1)若f(x)0,当x∈(6,8)时,g'(x)